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31/03/2012

Álgebra Linear

2: Exercícios, Capítulo 1

Exercícios propostos, algumas respostas e soluções

1) Mostre que, se A e B são matrizes de dimensões compatíveis para a sua multiplicação, então, no caso geral, ${(A + B)}^{2} \neq A^{2} + 2 A B + B^{2}$ . Em que situações ocorrem as dimensões compatíveis para o produto de matrizes?

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Solução: ${(A + B)}^{2} =$ $(A + B) (A + B) = A^{2} + B A + A B + B^{2} .$ Em geral o produto de matrizes não é comutativo e, portanto, $B A + A B \neq 2 A B .$

2) Dada a matriz A abaixo, ache a matriz B de forma que $B^{2} = A :$

A = [\begin{array}{rr} 3 & - 2 \\ - 4 & 3 \end{array}] .

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Resposta:

B = [\begin{array}{rr} 1 & - 1 \\ - 2 & 2 \end{array}] .

3) Dadas as matrizes abaixo calcule o produto AA^TB onde A^T é a transposta de A:

A = [\begin{array}{rrr} 2 & - 3 & 5 \\ 6 & - 5 & 4 \end{array}]; B = [\begin{array}{r} 2 \\ - 1 \end{array}] .

4) Encontra a reta interseção dos planos $π : x + 2 y - z = 3$ e $ρ$ : $2 x + 3 y + z = 1$ .

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Resposta: A reta procurada é dada por

\begin{array}{r} x + 5 z = - 7, \\ y - 3 z = 5 . \end{array}

Tomando z = t a equação paramétrica desta reta é

[\begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{r} - 7 \\ 5 \\ 0 \end{array}] + t [\begin{array}{r} - 5 \\ 3 \\ 1 \end{array}],

ou seja, a reta passando pelo ponto $(- 7, 5, 0)$ e na direção de $(- 5, 3, 1)$ .

5) Resolva o sistema de equações lineares reduzindo a matriz ampliada à forma escada:

\begin{array}{rr} 2 x + 4 y - 2 z & = 5 \\ 4 x - 2 y + z & = 0 \\ 2 x - 6 y + 3 z & = - 5 . \end{array}

Quantas soluções existem? Qual delas também satisfaz à equação adicional $x + y = 2 ?$

6) Resolva o sistema escrevendo a matriz ampliada e encontrando sua equivalente na forma escalonada:

{\begin{array}{r} 2 x - y + 3 z = 11 \\ 4 x - 3 y + 2 z = 0 \\ x + y + z = 6 \\ 3 x + y + z = 4 \end{array}

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Resposta: $x = - 1, y = 2, z = 5 .$

7) Resolva o sistema de equações lineares, reduzindo a matriz ampliada à forma escada:

\begin{array}{rc} 2 x + y + 2 z + w = 3 \\ 3 x + 2 y + 3 z + w = 5 \\ x + 3 y + z + 3 w = - 6 \\ 4 x - y + 2 z + 4 w = 1 \end{array}

8) Encontre a matriz reduzida à forma escalonada da seguintes matrizes:

\begin{array}{rr} A = & [\begin{array}{rrrrrr} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 5 & 7 & 11 \\ 1 & 0 & - 1 & - 2 & - 64 \end{array}] \end{array}, \begin{array}{rr} B = & [\begin{array}{rrrrrr} 0 & 2 & 3 & - 4 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 2 & - 5 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & - 6 & 9 & 7 \end{array}] \end{array} .

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Resposta:

\begin{array}{rr} \begin{array}{rr} A \sim & [\begin{array}{rrrrrr} 1 & 0 & - 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] \end{array}, B \sim & [\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 9 & 19 / 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 17 / 2 & - 5 / 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 / 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] \end{array} .

9) Uma pessoa precisa consumir diariamente 11 unidades de vitamina A, 9 unidades de vitamina B e 20 unidades de vitamina C. Ela tem à sua disposição três tipos de alimentos $A_{1}, A_{2}$ e $A_{3}$ que possuem estas vitaminas, para cada grama de acordo com a tabela abaixo.

	A₁	A₂	A₃
A	1	2	3
B	3	3	0
C	4	5	3

(a) Que combinação destes alimentos ela deve consumir para obter a quantidade certa de vitaminas? (b) Se o alimento A₁ custa R$ 0,60, os alimentos A₂ e A₃ custam R$ 0,60 o grama, é possível conseguir uma combinação destes satisfazendo o item (a) e custando R$ 1,00 ?

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Solução: (a) Consumindo x gramas de A₁, y gramas de A₂ e z de A₃ ela terá consumido

x A₁+y A₂+z A₃ = x (A+3B+4C)+y (2A+3B+5C)+z (3A+3C)

unidades das três vitaminas. Identificando isto com a quantidade desejada temos

(x+2y+3z) A + (3x+3y) B + (4x+5y+3z) C = 11A + 9B + 20C.

Esta última equação se equivale ao sistema

\begin{array}{r} x + 2 y + 3 z = 11 \\ 3 x + 3 y = 9 \\ 4 x + 5 y + 3 z = 20 \end{array}

que, por sua vez, pode ser posta sob a forma de matriz ampliada

A = [\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 11 \\ 3 & 3 & 0 & 9 \\ 4 & 5 & 3 & 20 \end{array}] .

Recorrendo as operações elementares sobre as linhas desta matriz encontramos as matrizes equivalentes até obter a forma escalonada,

A \sim [\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 11 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] \sim [\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 11 \\ 0 & 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] \sim [\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & - 3 & - 5 \\ 0 & 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] .

(A seguinte operação foi feita para obter a primeira equivalência, na linha 3: $L_{3} - L_{2} - L_{1} \to L_{3}$ ).

A matriz escalonada equivale ao sistema

\begin{array}{r} x = 3 z - 5, \\ y = - 3 z + 8, \end{array}

onde z permanece como variável livre. Como não é possível ingerir quantidades negativas temos as restrições

\begin{array}{r} x = 3 z - 5 \geq 0 \Rightarrow z ⩾ 5 / 3, \\ y = - 3 z + 8 \geq 0 \Rightarrow z ⩽ 8 / 3, \end{array}

ou seja, $5 / 3 ⩽ z ⩽ 8 / 3 .$ Interpretando este resultado, qualquer combinação destes alimentos, na forma de x gramas de $A_{1}$ , y gramas de $A_{2}$ e z gramas de $A_{3}$ , satisfazendo as relações

\begin{array}{r} x = 3 z - 5, \\ y = - 3 z + 8, \end{array} com \frac{5}{3} ⩽ z ⩽ \frac{8}{3}

fará com que a pessoa ingira a quantidade ideal destas vitaminas.

(b) Esta nova condição,

0, 60 x + 0, 10 y + 0, 10 z = 1, 00

equivalente à $6 x + y + z = 10,$ juntamente com as condições acima, $x = 3 z - 5,$ $y = - 3 z + 8$ leva a

6 (3 z - 5) - 3 z + 8 + z = 10,

com solução única $z = 2$ . Observando que $z \in [5 / 3, 8 / 3]$ a solução procurada é (1,2,2), em gramas.

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