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Equações Diferenciais Ordinárias

Guilherme Santos Silva

1.1   O que são Equações Diferenciais

Equações diferenciais são equações que envolvem uma função desconhecida de uma ou mais variáveis, e suas derivadas. Para uma função real de uma única variável, y = y(x) podemos expressar estas equações sob a forma geral de

onde usamos a notação

As equações que envolvem derivadas em apenas uma variável são chamadas equações diferenciais ordinárias. Caso contrário, equações que envolvem derivadas em mais de uma variável são chamadas de equações diferenciais parciais. Para não sobrecarregar a notação, sempre que não houver risco de ambiguidade, escreveremos apenas y em lugar de $y\left(x\right),y\text{'}$ em lugar de $y\text{'}\left(x\right)$ ou $dy\left(x\right)/dx,$ e assim por diante.

Estas equações representam uma parte da matemática muito utilizada em aplicações na física, na engenharia e diversas outras áreas do conhecimento. A absoluta maioria das leis da física são expressas por meio de equações diferenciais, como por exemplo a lei de Newton F = ma, ou as equações de Maxwell para o eletromagnetismo.

Alguns exemplos podem ajudar a esclarecer os conceitos envolvidos:

Exemplo 1. Que função é idêntica à sua própria derivada? A resposta para esta pergunta é a solução da equação diferencial $y\text{'}=y$. Ora, podemos nos lembrar, sem o uso de nenhuma técnica de solução, que a função $y\left(x\right)={\text{e}}^x$ satisfaz este requisito. Observe que a resposta mais geral é $y\left(x\right)=C{\text{e}}^x,$ onde c é uma constante qualquer.

No exemplo anterior, encontramos não apenas uma mas infinitas soluções para a equação proposta. Uma constante de integração está sempre presente na solução de uma equação diferencial de primeira ordem. Uma solução de uma equação diferencial é uma função que, quando substituída na equação original, a transforma em uma identidade.

Exemplo 2. Qual é a solução (ou soluções, se existirem mais de uma) de $y\mathrm{\text{'}\text{'}}+y=0?$

Conhecemos duas funções elementares que satisfazem esta equação: $y_1=\mathrm{sen}x$ e $y_2=\cos x$. Verifique, derivando duas vezes e substituindo na equação diferencial, que

onde $C_1$ e $C_2$ são constantes arbitrárias, é solução.

Exemplo 3. Vamos procurar a equação de movimento para uma partícula submetida a uma aceleração constante $g$. Iniciamos por descrever a posição da partícula como $x\left(t\right),$ onde a variável independente agora é $t,$ o tempo. Usaremos a notação inventada por Newton que consiste em representar a derivada em relação ao tempo por meio de um ponto sobre a quantidade derivada. Assim sua velocidade é a derivada primeira

enquanto a aceleração é a derivada segunda

A segunda lei nos diz que

Resolvendo primeiro para a velocidade temos que

onde $c_1$ é uma constante qualquer, notando que esta é a expressão mais geral de uma função que, quando derivada, resulta na constante $g$. Já a posição da partícula é dada pela função que, ao ser derivada, resulta na velocidade acima, ou seja

como pode ser verificado diretamente, por dupla derivação e substituição na equação inicial. Podemos ainda utilizar este exemplo para esclarecer um pouco mais sobre o papel das constantes de integração, $c_1$ e $c_2$. No instante $t=0$ temos que

o que mostra que $c_1$ é posição inicial da partícula e $c_2$ é sua velocidade inicial. Isto reflete um fato físico: para descrever completamente a posição de uma partícula submetida a uma aceleração g é necessário fornecer sua posição e sua velocidade iniciais. Renomeando $c_1=v_0,c_2=x_0,$ respectivamente velocidade e posição iniciais, podemos escrever

que é a conhecida expressão para o movimento uniformemente acelerado.

Exemplo 4. As equações diferenciais surgem com frequência em problemas de geometria. Por exemplo, a equação da circunferência com centro na origem e raio r é

Considerando y uma função de x e fazendo a derivação implícita da expressão acima em relação a x obtemos

ou seja,

que é a equação diferencial cuja solução é a equação da circunferência. Observe que $y\text{'}$ é a inclinação da curva em cada ponto e que o raio não aparece nesta equação. Ele fica determinado pelas condições de contorno, como veremos mais tarde.

1.2.   Classificações e Definições

1.2.1   Equações Ordinárias e Parciais

Já vimos que as equações diferenciais ordinárias são aquelas que envolvem apenas derivadas em uma variável dependente. Todos os exemplos acima são de equações ordinárias. As equações diferenciais parciais são igualmente importantes, mas não serão tratadas neste curso. Frequentemente elas são resolvidas através de uma separação de variáveis que as transformam em um sistema de equações ordinárias. São exemplos de equações parciais a equação de onda em uma dimensão

(1) Ou vetor de onda, para o caso em que não existe um meio de propagação, como ocorre com as ondas eletromagnéticas.

onde u representa um deslocamento no meio de propagação¹ e c é uma constante (pode-se mostrar que c é a velocidade de propagação da onda) e a equação de difusão do calor

onde k é uma constante que depende do material por onde o calor se difunde e T é a temperatura. Em três dimensões, o potencial elétrico descrito por φ(x, y, z) satisfaz a equação de Laplace

na ausência de cargas elétricas, onde ∇² ou Δ, é o Laplaciano. Em coordenadas cartesianas,

Na presença de cargas elétricas o potencial satisfaz a equação de Poisson

onde ρ é a distribuição de cargas e ε₀ uma constante característica do meio. Neste curso trataremos apenas das equações diferenciais ordinárias (edo), e não das diferenciais parciais (edp). O leitor, no entanto, deve saber que a solução das edps muitas vezes envolve separá-las em edos.

Capítulos deste Artigo

1. Introdução às EDOs
2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem
3. Equações Lineares de Segunda Ordem
4. Método das Séries de Potências
5. A Transformada de Laplace
6. A Transformada de Laplace (2)
7. Transformada de Laplace (3)
8. Apêndice 1: Revisão de Tópicos Úteis

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