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08/04/2011

Equações Diferenciais Ordinárias

8: Apêndice 1: Revisão de Tópicos Úteis

A.1: Logaritmo e Exponencial

As funções exponencial e logaritmo são utilizadas com frequência na solução de equações diferenciais. Elas podem ser definidas de várias formas. Por exemplo, o logaritmo neperiano (de base e) é a área sob o gráfico da função 1/x de x' = 1 até x, ou seja

\ln x = \int_{1}^{x} \frac{d x'}{x'}

Observamos desta definição que ln 1 = 0, que o logaritmo é uma função estritamente crescente e não está definida em x = 0. A função exponencial, exp(x) = e^x, é a inversa do logaritmo, ou seja,

\ln x = y \Rightarrow e^{y} = x

Podemos usar as propriedades da exponencial para nos lembrar de algumas propriedades do logaritmo: observando que as seguintes igualdades são equivalentes

y = \ln x^{n} ⟺ e^{y} = x^{n},

tomamos a raiz enésima dos dois lados $x = e^{y / n} \Rightarrow \frac{y}{n} = \ln x ou ainda, y = n \ln x$ . Portanto

\ln x^{n} = n \ln x

Além disto, se

\ln x + \ln y = z

então

e^{z} = e^{\ln x + \ln y} = e^{\ln x} e^{\ln y} = x y \Rightarrow z = \ln (x y)

e, portanto

\ln (x y) = \ln x + \ln y

Observe ainda que

\ln x - \ln y = \ln x + \ln y^{- 1} = \ln (\frac{x}{y})

A partir da exponencial definimos as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico da seguinte forma

\begin{array}{lllll} senh x = \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x}), & \cosh x = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x}), & \tanh x = \frac{senh x}{\cosh x} . \end{array}

Observe que $senh x$ é uma função ímpar enquanto $\cosh x$ é par.

Exercício: Mostre que valem as seguintes relações:

\frac{d}{d x} senh x = \cosh x, \frac{d}{d x} \cosh x = senh x, \cosh^{2} x - {senh}^{2} x = 1 .

A fórmula de Euler, que usaremos com frequência ao longo do texto, pode ser justificada da seguinte maneira: partimos da expansão de Taylor para as funções exponencial, seno e cosseno, válidas para todo x real:

\begin{matrix} e^{x} = & \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots \\ \cos x = & \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n} x^{2 n}}{(2 n)!} = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} + \dots \\ sen x = & \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n} x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + \dots . \end{matrix}

Em seguida fazemos x = iθ na expansão da exponencial, para obter

\begin{matrix} e^{i θ} = & 1 + i θ + \frac{{(i θ)}^{2}}{2!} + \frac{{(i θ)}^{3}}{3!} + \frac{{(i θ)}^{4}}{4!} + \frac{{(i θ)}^{5}}{5!} + \frac{{(i θ)}^{6}}{6!} + \dots \\ = 1 + i θ - \frac{θ^{2}}{2!} - \frac{i θ^{3}}{3!} + \frac{θ^{4}}{4!} + \frac{i θ^{5}}{5!} - \frac{θ^{6}}{6!} + \dots . \end{matrix}

onde usamos o fato de que $i^{2} = - 1,$ $i^{3} = - i,$ etc. Agrupando os termos reais e imaginários temos

e^{i θ} = 1 - \frac{θ^{2}}{2!} + \frac{θ^{4}}{4!} - \frac{i θ^{6}}{6!} + \dots + i (θ - \frac{θ^{3}}{3!} + \frac{θ^{5}}{5!} + \dots),

ou seja,

e^{i θ} = \cos θ + i s e n θ

Desta forma podemos definir a função exponencial de um número complexo qualquer, z = x + iy φ como

e^{z} = e^{x + i y} = e^{x} e^{i y} = e^{x} (\cos y + i sen y)

A.2: Técnicas de Integração

Dizemos que $F (x)$ é uma primitiva de $f (x)$ se

\frac{d F (x)}{d x} = f (x)

A diferencial da função F é definida como

d F (x) = f (x) d x

Se F é primitiva de f definimos a integral de f(x) como

\int f (x) d x = F (x) + c

onde c é uma constante qualquer. Esta constante, a chamada constante de integração, é essencial na solução de equações diferenciais. Observe que, se F(x) é uma primitiva, F(x) + c também é. Algumas integrais mais simples podem ser calculadas por simples inspecção, se conhecemos uma primitiva do integrando.

Por exemplo

\int \cos x d x = sen x + c porque \frac{d}{d x} sen x = \cos x

Outros exemplos

\int \frac{d x}{x} = \ln x + c, \int e^{x} d x = e^{x} + c, \int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + c

Mudança de Variáveis: Algumas vezes uma integral pode ser colocada sob a forma de uma integral conhecida ou tabelada através de uma substituição de variáveis. Por exemplo, para calcular a integral

I_{1} = \int sen (2 x + 1) d x

fazemos a substituição $u = 2 x + 1$ . A diferencial de u é $d u = 2 d x$ . Resolvemos a integral em termos da variável u e, em seguida, reinserimos a variável inicial $x,$

I_{1} = \frac{1}{2} \int sen u d u = - \frac{1}{2} \cos u + c = - \frac{1}{2} \cos (2 x + 1) + c

Como outro exemplo, calculamos a integral

I_{2} = \int x e^{- x^{2}} d x,

através da troca de variável, $u = - x^{2}$ , portanto $d u = - 2 x d x$ . Escrevendo a integral em termos da nova variável temos

I_{2} = - \frac{1}{2} \int e^{u} d u = - \frac{1}{2} e^{u} + c = - \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + c

Outro exemplo:

I_{3} = \int \frac{1}{x - 1} d x

Faça $u = x - 1, d u = d x$ . A integral é

I_{3} = \int \frac{1}{u} d u = \ln u + c = \ln (x - 1) + c

Integração por partes: Se $u (x)$ e $v (x)$ são funções deriváveis então vale a relação

\int u d v = u v - \int v d u

Para compreender esta expressão basta integrar a diferencial de

d (u v) = u d v + v d u

Vamos usar esta relação para calcular a seguinte integral

I_{4} = \int x e^{- 2 x} d x

Identificando u e v da seguinte forma,

u = x \Rightarrow d u = d x; d v = e^{- 2 x} d x \Rightarrow v = \int e^{- 2 x} d x = - \frac{e^{- 2 x}}{2},

temos

I_{4} = - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x = - \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2}) e^{- 2 x} + c

Outro exemplo: para calcular

I_{5} = \int e^{2 x} sen x d x

identificamos agora as funções

\begin{array}{ll} u = e^{2 x} & \Rightarrow d u = 2 e^{2 x} d x, \\ d v = sen x d x & \Rightarrow v = - \cos x . \end{array}

Usando a fórmula para a integração por partes temos

I_{5} = - e^{2 x} \cos x + 2 \int e^{2 x} \cos x d x,

onde trataremos a integral, mais uma vez, por partes, fazendo

\begin{array}{ll} u = e^{2 x} & \Rightarrow d u = 2 e^{2 x} d x, \\ d v = \cos x d x & \Rightarrow v = sen x . \end{array}

Agora temos

I_{5} = - e^{2 x} \cos x + 2 e^{2 x} sen x - 4 \int e^{2 x} sen x d x

ou, observando que a última integral é exatamente a integral que procuramos resolver,

I_{5} = - e^{2 x} \cos x + 2 e^{2 x} sen x - 4 I_{5}

Isto nos permite concluir que

I_{5} = \frac{1}{5} (2 sen x - \cos x) e^{2 x} + c

Frações Parciais: A técnica de frações parciais pode ser bastante útil em várias situações. Ela consiste em modificar o integrando, quando possível, para reescrevê-lo sob a forma de uma soma de frações mais simples de serem integradas. Por exemplo, vamos calcular a integral

I_{6} = \int \frac{d x}{x^{2} - 1}

Reescrevemos o integrando como a soma de duas frações

\frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A}{(x + 1)} + \frac{B}{(x - 1)},

onde A e B são constantes a serem determinadas. Para encontrar estas constantes somamos os dois últimos termos e comparamos o resultado com a fração original

\frac{A (x - 1) + B (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A + B) x + B - A}{x^{2} - 1} = \frac{1}{x^{2} - 1},

igualdade que só pode ser obtida se

{\begin{cases} A + B & = 0 \\ B - A & = 1 \end{cases} \Rightarrow A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}

Portanto o integrando é

\frac{1}{x^{2} - 1} = - \frac{1}{2} \frac{1}{(x + 1)} + \frac{1}{2} \frac{1}{(x - 1)}

e a integral procurada é

I_{6} = - \frac{1}{2} \int \frac{d x}{(x + 1)} + \frac{1}{2} \int \frac{d x}{(x - 1)} = - \frac{1}{2} \ln (x + 1) + \frac{1}{2} \ln (x - 1) + c,

ou, usando as propriedades do logaritmo,

I_{6} = \frac{1}{2} \ln (\frac{x - 1}{x + 1}) + c

A integral definida: se F(x) é uma primitiva qualquer de f(x) então a integral definida de f no intervalo [a , b] é

\int_{a}^{b} f (x) d x = {F (x) |}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

Mostraremos um exemplo de integral definida realizada por substituição de variável,

I_{7} = \int_{1}^{2} x e^{1 - x^{2}} d x

A substituição de variável agora envolve também a alteração dos limites de integração:

\begin{array}{lll} u = 1 - x^{2}, & d u = - 2 x d x \\ x = 1 \to u = 0, & x = 2 \to u = - 3 . \end{array}

A integral então se torna

I_{7} = - \frac{1}{2} \int_{0}^{- 3} e^{u} d u = \frac{1}{2} \int_{- 3}^{0} e^{u} d u = \frac{1}{2} {e^{u} |}_{- 3}^{0} = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{e^{3}})

A.3: Sequências e Séries Infinitas

A.3.1: Sequências Infinitas

Definiremos uma sequência infinita como um conjunto infinito de números que podem ser colocados em uma relação biunívoca com o conjunto dos números inteiros positivos. Denotaremos por ${a_{n}}$ a uma sequência, sendo que $a_{n},$ com $n = 1, 2, . .$ . são os elementos individuais desta sequência.

Exemplo 1. ${a_{n}}$ é a sequência com termo genérico $a_{n} = 1 / n$ . Neste caso

{a_{n}} = {1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots}

Definição: Dizemos que a sequência converge para um número $L,$ ou tem limite $L,$ se, dado qualquer número $ε > 0$ existe um número N tal que

n > N \Rightarrow | a_{n} - L | < ε

Usaremos como notação

L = {lim}_{n \to \infty} a_{n}, ou a_{n} \to L ._{}

Observe que, se $| a_{n} - L | < ε$ então

- ε < a_{n} - L < ε ⟺ L - ε < a_{n} < L + ε

Portanto, dizer que uma sequência converge para L significa dizer que a_n fica arbitrariamente próximo de L tomando-se n suficientemente grande. Se uma sequência não converge para nenhum número dizemos que ela diverge.

Exemplo 2. A sequência do exemplo 1, $a_{n} = 1 / n$ converge para $L = 0$ .

Exemplo 3. A seguinte sequência converge para $L = 2 / 3$

a_{n} = \frac{2 n^{2} + n - 1}{3 n^{2} - n}

Para ver isto dividimos o numerador e o denominador por $n^{2}$ ,

L = {lim}_{n \to \infty} \frac{2 n^{2} + n - 1}{3 n^{2} - n} = {lim}_{n \to \infty} \frac{2 + 1 / n - 1 / n^{2}}{3 - 1 / n} = \frac{2}{3},

onde usamos o fato de que $1 / n \to 0$ e $1 / n^{2} \to 0$ .

A.3.2: Séries Infinitas

Definiremos uma série infinita como a soma dos elementos de uma sequência ${a_{n}}$ . Denotaremos esta série por

S = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots

A soma de infinitos termos não tem um significado óbvio e imediato. Para atribuir a ela um sentido inequívoco definiremos antes a soma dos N primeiros termos da série, denominada a soma reduzida,

S_{N} = \sum_{n = 1}^{N} a_{n}

Observe agora que o conjunto destas somas reduzidas forma uma sequência ${S_{n}}$

S_{1}, S_{2}, S_{3}, \dots,

que pode convergir ou não. Dizemos que a série infinita converge para um número L se a sequência ${S_{n}}$ converge para $L,$ ou seja

S_{n} \to L ⟺ \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = L

Caso contrário a série diverge e denotamos

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \infty ou \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = - \infty,

conforme o caso.

Exemplo 4. Um exemplo interesssante de uma série convergente é o seguinte:

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots = e,

onde, por convenção, fazemos $0! = 1$ . Este é um caso particular da série mais geral

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots = e^{x}

No último exemplo a função exponencial foi escrita como uma soma infinita de termos em potências de x. As séries de potências são particularmente importantes no estudo das equações diferenciais e são o motivo pelo qual revisamos aqui este tema. Voltaremos a elas em breve.

A.3.3: Testes de convergência

Os seguintes testes são os mais utilizados para a verificação de convergencia de uma série.

Teste da Comparação: Se duas séries $Σ a_{n}$ e $Σ b_{n}$ são séries de termos não negativos (i.e. $a_{n} \geq 0$ e $b_{n} \geq 0$ para todo $n)$ e $a_{n} \leq$ $b_{n}$ para todo $n,$ então

(i) se Σ b_{n} converge \Rightarrow Σ a_{n} converge

(i i) se Σ a_{n} diverge \Rightarrow Σ b_{n} diverge.

Teste da Razão: Se $Σ a_{n}$ é uma séries de termos positivos, definimos o limite

R = {lim}_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}

Então, se

\begin{matrix} R < 1 \Rightarrow & Σ a_{n} converge \\ R > 1 \Rightarrow & Σ a_{n} diverge \\ R = 1, & o teste é inconclusivo. \end{matrix}

Teste da Integral: Se $f (x)$ é uma função positiva não crescente para $x > 0,$ então a série $Σ f (n)$ converge se, e somente se, a integral imprópria $\int_{1}^{\infty} f (x) d x$ converge. Além disto vale a desigualdade

\sum_{n = 2}^{N} f (n) \leq \int_{1}^{N} f (x) d x \leq \sum_{n = 1}^{N - 1} f (n)

Exemplo 5. Usamos o teste da razão para testar a convergência da série

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!}

Temos, neste caso,

a_{n} = \frac{n^{2}}{n!}, a_{n + 1} = \frac{{(n + 1)}^{2}}{(n + 1)!}

Calculamos o limite

R = {lim}_{n \to \infty} \frac{{(n + 1)}^{2}}{(n + 1)!} \frac{n!}{n^{2}} = {lim}_{n \to \infty} \frac{1}{n + 1} {(\frac{n + 1}{n})}^{2} = {lim}_{n \to \infty} \frac{n + 1}{n^{2}} = 0

Como $R < 1$ concluimos que a série converge.

A.3.4: Séries de Maclaurin e de Taylor

Uma função que pode ser expressa em termos de uma série infinita de potências em torno do ponto $x = x_{0},$

f (x) = a_{0} + a_{1} (x - x_{0}) + a_{2} {(x - x_{0})}^{2} + \dots = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(x - x_{0})}^{n}

(1)

é dita uma função analítica (neste ponto). Os coeficientes $a_{n}$ podem ser obtidos do seguinte modo. Calcule o valor de f e suas derivadas no ponto x₀.

f (x_{0}) = a_{0},

f^{'} (x) = a_{1} + 2 a_{2} (x - x_{0}) + 3 {(x - x_{0})}^{2} + \dots = \sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} {(x - x_{0})}^{n - 1},

f^{'} (x_{0}) = a_{1},

f^{''} (x) = 2 a_{2} + 2.3 a_{3} (x - x_{0}) + \dots = \sum_{n = 2}^{\infty} n (n - 1) a_{n} {(x - x_{0})}^{n - 2},

f^{''} (x_{0}) = 2 a_{2} \Rightarrow a_{2} = \frac{1}{2} f^{''} (x_{0}),

f^{(3)} (x) = 2.3 a_{3} (x - x_{0}) + \dots = \sum_{n = 3}^{\infty} n (n - 1) (n - 2) a_{n} {(x - x_{0})}^{n - 3},

f^{(3)} (x) = 2.3 a_{3} \Rightarrow a_{3} = \frac{1}{6} f^{(3)} (x_{0})

Continuando este procedimento podemos calcular qualquer um dos coeficientes da série 1, obtendo

a_{n} = \frac{1}{n!} f^{(n)} (x_{0})

Com estes coeficientes a série é a chamada série de Taylor,

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} f^{(n)} (x_{0}) {(x - x_{0})}^{n}

(2)

onde $f^{(n)} (x_{0})$ indica a derivada n-ésima calculada no ponto x = x₀. Uma série de Maclaurin é uma série de Taylor que descreve o comportamento de uma função em torno do ponto $x_{0} = 0$ .

Resumindo: Sobre a série de potências

S = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(x - x_{0})}^{n}

podemos coletar as seguintes propriedades:

(i) S converge (escolhido um valor para x) se existe o limite

{lim}_{N \to \infty} \sum_{n = 0}^{N} a_{n} {(x - x_{0})}^{n}

(ii) Se a série converge absolutamente, ou seja, existe o limite

{lim}_{N \to \infty} \sum_{n = 0}^{N} | a_{n} {(x - x_{0})}^{n} |,

então ela converge.

(iii) Teste da razão: Definindo

R = {lim}_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1} {(x - x_{0})}^{n + 1}}{a_{n} {(x - x_{0})}^{n}} | = | x - x_{0} | {lim}_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} |

então a série é absolutamente convergente no ponto x se R < 1 e é divergente se R > 1. O teste é inconclusivo se R = 1.

(iv) Se a série S converge em x = a então ela converge absolutamente para x no intervalo [x - a, x+a]. Se a série S diverge em x = a então ela diverge para x fora deste intervalo.

(v) O intervalo máximo de valores de x para os quais a série converge absolutamente é chamado o intervalo de convergência. O raio de convergência é ρ é definido de forma que [x₀− ρ , x₀+ρ] é este intervalo.

Algumas considerações finais sobre o uso do sinal de somatório podem ser úteis. O índice usado pode ser substituído de acordo com as conveniências

\sum_{i = 1}^{N} a_{i} = \sum_{j = 1}^{N} a_{j},

e as parcelas da soma podem ser agrupadas ou isoladas, como no exemplo a seguir:

\sum_{i = 1}^{N} a_{i} = \sum_{i = 1}^{N - 1} a_{i} + a_{N} = a_{1} + \sum_{i = 2}^{N} a_{i},

\sum_{i = 1}^{N} a_{i} = \sum_{i = 1}^{P} a_{i} + \sum_{i = P + 1}^{N} a_{i}, 1 < P < N

Pode ser mostrado por indução que

\sum_{i = 1}^{N} (a_{i} + b_{i}) = \sum_{i = 1}^{N} a_{i} + \sum_{i = 1}^{N} b_{i},

\sum_{i = 1}^{N} k a_{i} = k \sum_{i = 1}^{N} a_{i}, \forall k \in R

Se $a_{i} = a,$ uma constante, então

\sum_{i = 1}^{N} a_{i} = \sum_{i = 1}^{N} a = N a

Uma série de potências, se convergente, pode ser derivada termo a termo e a derivada obtida desta forma será uma representação fiel da derivada da função que ela representa:

y (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{r} x^{r} + \dots,

y^{'} (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} x^{n - 1} = a_{1} + 2 a_{2} x + \dots + r a_{r} x^{r - 1} + \dots,

y^{''} (x) = \sum_{n = 2}^{\infty} n (n - 1) a_{n} x^{n - 2} = 2 a_{2} x + \dots + r (r - 1) a_{r} x^{r - 2} + \dots

Na solução de equações diferenciais usando o método de séries de potências será útil alterar o índice para iniciar o somatório em valores diversos de $n$ . Por exemplo, podemos querer escrever a última série começando em $n = 0$ . Para fazer isto redefinimos o índice

m = n - 2 \Rightarrow n = m + 2

A derivada segunda será escrita como

y^{''} (x) = \sum_{m = 0}^{\infty} (m + 2) (m + 1) a_{m + 2} x^{m} = \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 2) (n + 1) a_{n + 2} x^{n},

onde, no último sinal de soma restauramos o índice mudo n.

A.4: Algumas Fórmulas úteis

(1) Veja, por exemplo, Spiegel, Murray R.: Fórmulas Matemáticas, Coleção Schaum.

Para o estudo e trabalho com a matemática, ou outra ciência exata qualquer, sempre é útil ter à disposição um bom resumo de fórmulas e propriedades matemáticas⁽¹⁾.

As seguintes fórmulas de uso mais frequente neste texto estão listadas abaixo para facilitar uma consulta rápida.

$A sen λ x + B \cos λ x = C sen (λ x + δ)$	onde	$C = \sqrt{A^{2} + B^{2}}$ e $δ = \arctan (\frac{B}{A})$

$sen (x \pm y) = sen x \cos y \pm \cos x sen y$		$\cos 2 x = \cos^{2} x - {sen}^{2} x$
$\cos (x \pm y) = \cos x cox y \pm \mp sen x sen y$		${sen}^{2} x = \frac{1}{2} (1 - \cos 2 x)$
$sen 2 x = 2 sen x \cos x$		$\cos^{2} x = \frac{1}{2} (1 + \cos 2 x)$

$sen x + sen y = 2 sen (\frac{x + y}{2}) \cos (\frac{x - y}{2})$		$sen x sen y = \frac{1}{2} {\cos (x - y) - \cos (x + y)}$
$sen x - sen y = 2 \cos (\frac{x + y}{2}) sen (\frac{x - y}{2})$		$\cos x \cos y = \frac{1}{2} {\cos (x - y) + \cos (x + y)}$
$\cos x + \cos y = 2 \cos (\frac{x + y}{2}) \cos (\frac{x - y}{2})$		$sen x \cos y = \frac{1}{2} {sen (x - y) + sen (x + y)}$
$\cos x - \cos y = 2 sen (\frac{x + y}{2}) sen (\frac{x - y}{2})$

$e^{x} = y \Leftrightarrow x = \ln y$		$\ln x y = \ln x + \ln y$
$a^{x} = e^{x \ln a}$		$\ln (\frac{x}{y}) = \ln x - \ln y$
$e^{i θ} = \cos θ + i sen θ$		$\ln x^{r} = r \ln x$

$senh x = \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$		$\frac{d}{d x} senh x = \cosh x$
$senh x = \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$		$\frac{d}{d x} \cosh x = senh x$
$\cosh^{2} x - {senh}^{2} x = 1$

Alguns desenvolvimentos de Taylor:

${(1 + x)}^{- 1} = 1 - x + x^{2} - x^{3} + x^{4} - \dots$	$= \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} x^{n}, - 1 < x < 1$ .
${(1 - x)}^{- 1} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + \dots$	$= \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n},$ $- 1 < x < 1$ .
$e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} + \dots$	$= \sum_{n = 0}^{\infty} {\frac{x^{n}}{n!}}^{},$ $- \infty < x < \infty$ .

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