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08/04/2011

Equações Diferenciais Ordinárias

7: Transformada de Laplace (3)

5.4 Equações Diferenciais com Entradas Descontínuas

A transformada de Laplace é apropriada para o tratamento de uma equação diferencial com um termo não homogêneo, também denominado a função de entrada, descontínua, como já mencionado.

Exemplo 5.18. Considere a equação diferencial

y'' + y' + \frac{5}{4} y = g (t), y (0) = 0, y' (0) = 0,

onde $g (t) = 1 - u_{π} (t),$ uma função descontínua. Transformando a equação obtemos

s^{2} Y (s) + s Y (s) + \frac{5}{4} Y (s) = L {1} - L {u_{π} (t)} = \frac{1}{s} (1 - e^{π s}),

de onde se pode concluir que

Y (s) = \frac{1 - e^{π s}}{s (s^{2} + s + \frac{5}{4})} .

Vamos denotar $H (s)$ a transformada de $h (t),$ onde

H (s) = \frac{1}{s (s^{2} + s + \frac{5}{4})}, h (t) = L^{- 1} {H (s)} .

Então, com esta notação

Y (s) = (1 - e^{π s}) H (s)

e, pelo teorema 1 da seção anterior

y (t) = L^{- 1} {H (s) - e^{π s} H (s)} = h (t) - u_{π} (t) h (t - π) .

Resta então encontrar $L^{- 1} {H (s)} .$ Para fazer isto escrevemos H em termos das frações parciais

H (s) = \frac{a}{s} + \frac{b s + c}{s^{2} + s + \frac{5}{4}}

o que pode ser conseguido se as constantes são $a = 4 / 5, b = - 4 / 5$ e $c = - 4 / 5$ . Logo

H (s) = \frac{4}{5} \frac{1}{s} - \frac{4}{5} \frac{s + 1}{s^{2} + s + \frac{5}{4}} .

Usando as transformadas conhecidas e suas propriedades encontramos

h (t) = \frac{4}{5} - \frac{4}{5} (\cos t + \frac{1}{2} sen t) e^{- t / 2}

e, portanto,

y (t) = {\begin{cases} \frac{4}{5} - \frac{4}{5} (\cos t + \frac{1}{2} sen t) e^{- t / 2}, & t < π \\ - \frac{4}{5} (1 + e^{π / 2}) (\cos t + \frac{1}{2} sen t) e^{- t / 2}, & t \geq π . \end{cases}

Exemplo 5.19 Veremos como utilizar a transformada acima para resolver uma equação diferencial que tem como função de entrada uma distribuição delta. Considere o problema

y'' + y = 4 δ (t - 2 π), y (0) = 1, y' (0) = 0 .

Este problema pode ser visto como a equação de movimento de uma partícula presa a uma mola com constante elástica unitária e em meio sem atrito, submetida a uma força de curta duração, como uma colisão, no momento $t = 2 π .$ Ela parte afastada de uma unidade de distância da posição de equilíbrio no instante $t = 0$ e tem velocidade inicial nula $.$ Transformando toda a equação temos

s^{2} Y (s) - s + Y (s) = 4 e^{- 2 π s}

ou seja

Y (s) = \frac{s}{s^{2} + 1} + \frac{4 e^{- 2 π s}}{s^{2} + 1} .

Utilizando os teoremas e transformadas inversas pertinentes temos

y (t) = \cos t + 4 s e n (t - 2 π) u_{2 π} (t) .

Como o seno é periódica com período $T = 2 π$ temos sen $(t - 2 π) =$ sen $(t)$ e

y (t) = {\begin{cases} \cos t, & 0 \leq t \leq 2 π, \\ \cos t + 4 sen t, & t \geq 2 π . \end{cases}

Figura 6: Exemplo 5.19

O gráfico desta solução mostra que a mola oscila com amplitude $1$ até o instante $t = 2 π .$ Depois disto passa a oscilar com maior amplitude, devido ao impulso sofrido.

5.4.1 Exercícios

Encontre a solução dos problemas de valor inicial

1. $y'' + y = f (t),$ $y (0) = 0, y' (0) = 1$ onde $f (t) = {\begin{cases} 1, & 0 \leq t < π / 2 \\ 0, & t \geq π / 2 \end{cases}$

2. $y'' + 2 y' + 2 y = f (t),$ $y (0) = 0, y' (0) = 1$ onde $f (t) = {\begin{cases} 1, & π \leq t < 2 π \\ 0, & 0 \leq t < π e t \geq 2 π \end{cases}$

3. $y'' + 4 y =$ sen $t - u_{2 π} (t)$ sen $(t - 2 π),$ $y (0) = 0, y' (0) = 0$

4. $y'' + 4 y =$ sen $t + u_{π} (t)$ sen $(t - π),$ $y (0) = 0, y' (0) = 0$

5. $y'' + 2 y' + y = f (t),$ $y (0) = 1, y' (0) = 0$ onde $f (t) = {\begin{cases} 1, & 0 \leq t < 1 \\ 0, & t \geq 1 \end{cases}$

Encontre a solução dos problemas de valor inicial involvendo deltas de Dirac:

6. $y'' + 2 y' + 2 y = δ (t - π),$ $y (0) = 1, y' (0) = 0$

7. $y'' + 4 y = δ (t - π) - δ (t - 2 π),$ $y (0) = 0, y' (0) = 0$

8. $y'' + 2 y' + y = δ (t) + u_{2 π} (t),$ $y (0) = 0, y' (0) = 1$

9. $y'' - y = 2 δ (t - 1),$ $y (0) = 1, y' (0) = 0$

10. $y'' + 2 y' + 3 y =$ sen $t + δ (t - π),$ $y (0) = 0, y' (0) = 1$

11. $y'' + ω^{2} y = δ (t - π / ω),$ $y (0) = 1, y' (0) = 1$

Algumas Soluções:

1. $y = 1 - \cos t +$ sen $t - u_{π / 2} (t) (1 - sen t)$

3. $y = \frac{1}{6} [1 - u_{2 π} (t)] (2 sen t - sen 2 t)$

5. $y = 1 - u_{1} (t) [1 - e^{- (t - 1)} - (t - 1) e^{- (t - 1)}]$

6. $y = e^{t} \cos t + e^{- t}$ sen $t - u_{π} (t) e^{- (t - π)}$ sen $t$

7. $y = \frac{1}{2} u_{π} (t)$ sen $2 t - \frac{1}{2} u_{2 π} (t)$ sen $2 t$

9. $y = \cosh t + 2 u_{1} (t) senh (t - 1)$

11. $y = \cos ω t - ω^{- 1} u_{π / ω} (t)$ sen $ω t$

5.5 A Integral de Convolução

Pode ocorrer, na solução de uma equação diferencial, que a solução transformada $Y (s)$ seja dada em termos do produto de duas transformadas conhecidas. Se $F (s) = L {f (t)}$ e $G (s) = L {g (t)}$ queremos saber qual é a transformada inversa do produto $H (s) = F (s) G (s),$ ou seja $L^{- 1} {F (s) G (s)}$ . O teorema da convolução nos fornece a transformada inversa deste produto.

Teorema 1: Seja $f (t)$ e $g (t)$ duas funções que possuem transformadas de Laplace, e $F (s) = L {f (t)}, G (s) = L {g (t)}$ as suas transformadas. Se $H (s) = F (s) G (s)$ é o produto das transformadas então sua transformada inversa, $h (t) = L^{- 1} {H (s)}$ é

h (t) = \int_{0}^{t} f (t' - τ) g (τ) d τ = \int_{0}^{t} f (τ) g (t' - τ) d τ .

$h (t)$ é a convolução de $f$ e $g$ e as integrais são chamadas de integrais de convolução.

Demonstração: por definição temos as expressões para $F$ e $G,$

F (s) = \int_{0}^{\infty} f (u) e^{- s u} d u, G (s) = \int_{0}^{\infty} g (v) e^{- s v} d v,

H (s) = F (s) G (s) = \int_{0}^{\infty} g (v) e^{- s v} d v \int_{0}^{\infty} f (u) e^{- s u} d u = \int_{0}^{\infty} g (v) [\int_{0}^{\infty} f (u) e^{- s (u + v)} d u] d v .

Para avaliar esta última integral introduzimos a variável u = t + v. Neste caso t = v quando u = 0 e du = dt o que permite escrever

H (s) = \int_{0}^{\infty} g (v) [\int_{v}^{\infty} f (t - v) e^{- s t} d t] d v .

Admitindo que a ordem de integração pode ser invertida, integramos primeiro em $v .$ Observe que os limites de integração, inicialmente $v < t < \infty,$ passam a ser $0 < v < t$ (veja figura 6) e temos

H (s) = \int_{0}^{\infty} e^{- s t} [\int_{0}^{t} f (t - v) g (v) d v] d t .

Figura 6: Teorema da convolução

Concluimos, portanto, que $H (s)$ é a transformada da função $h (t),$ dentro dos colchetes, ou seja $H (s) = L {h (t)}$ onde

h (t) = \int_{0}^{t} f (t - v) g (v) d v .

é usada também a seguinte notação para a integral de convolução

h (t) = \int_{0}^{t} f (t - τ) g (τ) d τ = (f * g) (t) .

Exemplo 5.20: Vamos usar o teorema da convolução para encontrar a transformada inversa de

F (s) = \frac{1}{{(s^{2} + a^{2})}^{2}}, a = constante.

Como conhecemos a transformada inversa

L^{- 1} {\frac{1}{s^{2} + a^{2}}} = \frac{1}{a} sen a t,

podemos encontrar

I = L^{- 1} {\frac{1}{s^{2} + a^{2}} \frac{1}{s^{2} + a^{2}}} = \frac{1}{a^{2}} \int_{0}^{t} sen (a t) sen a (t - τ) d τ .

Para calcular esta integral podemos usar a relação trigonométrica

sen A sen B = [\cos (a - b) + \cos (a + b)] / 2

ou, no caso presente

sen a τ sen a (t - τ) = \frac{1}{2} [\cos a (2 τ - t) - \cos a t],

para obter

I = \frac{1}{2 a^{2}} [\int_{0}^{t} \cos a (2 τ - t) d τ - \cos a t \int_{0}^{t} d τ] = \frac{1}{2 a^{3}} (sen a t - a t \cos a t) .

A primeira integral pode ser avaliada por meio de uma substituição de variáveis, $u = a (2 τ - t),$ $d u = 2 a d τ .$

5.5.1 Exercícios

1. Determine as transformadas inversas:

a. $F (s) = \frac{1}{s^{4} (s^{2} + 1)}$	b. $F (s) = \frac{s}{(s + 1) (s^{2} + 4)}$
c. $F (s) = \frac{1}{{(s + 1)}^{3} (s^{2} + 4)}$	d. $F (s) = \frac{G (s)}{s^{2} + 1}$

Encontre a solução dos problemas de valor inicial

2. $y'' + ω^{2} y = g (t),$ $y (0) = 0, y' (0) = 1$

3. $y'' + 2 y' + y =$ sen $a t,$ $y (0) = 0, y' (0) = 0$

4. $4 y'' + 4 y' + 17 y = g (t),$ $y (0) = 0, y' (0) = 0$

5. $y'' + y' + 5 / 4 y = 1 - u_{π} (t),$ $y (0) = 1, y' (0) = - 3$

6. $y'' + 4 y' + 4 y = g (t),$ $y (0) = 2, y' (0) = - 3$

Prove as seguintes propriedades da integral de convolução

7. $f * g = g * f$

8. $f * (g_{1} + g_{2}) = f * g_{1} + f * g_{2}$

9. $f * (g * h) = (f * g) * h$

Algumas Soluções:

1a. $f (t) = \frac{1}{6} \int_{0}^{t} {(t - τ)}^{3}$ sen $τ d τ$

1b. $f (t) = \int_{0}^{t} e^{- (t - τ)} \cos 2 τ d τ$

1c. $f (t) = \frac{1}{2} \int_{0}^{t} (t - τ) e^{- (t - τ)}$ sen $2 τ d τ$

1d. $f (t) = \int_{0}^{t}$ sen $(t - τ) g (τ) d τ$

2. $y = \frac{1}{ω}$ sen $ω t + \frac{1}{ω} \int_{0}^{t}$ sen $ω (t - τ) g (τ) d τ$

3. $y = \int_{0}^{t} e^{- (t - τ)}$ sen $(t - τ)$ sen $a τ d τ$

4. $y = \frac{1}{8} \int_{0}^{t} e^{- (t - τ) / 2}$ sen $2 (t - τ) g (τ) d τ$

5. $y = e^{- t / 2} \cos t - \frac{1}{2} e^{- t / 2}$ sen $t + \int_{0}^{t} e^{- (t - τ) / 2}$ sen $(t - τ) [1 - u_{π} (τ)] d τ$

5.6 Algumas Transformadas de Laplace e Propriedades

Listamos nesta seção um resumo das principais transformadas e as propriedades mais importantes.

Para n inteiro positivo:

$\begin{array}{lll} L {1} = \frac{1}{s} & L {\cosh a t} = \frac{s}{s^{2} - a^{2}} \\ L {t} = \frac{1}{s^{2}} & L {senh a t} = \frac{a}{s^{2} - a^{2}} \\ L {t^{n}} = \frac{n!}{s^{n + 1}} & L {t e^{a t}} = \frac{1}{{(s - a)}^{2}} \\ L {e^{a t}} = \frac{1}{s - a} & L {t^{n} e^{a t}} = \frac{n!}{{(s - a)}^{n + 1}} \\ L {sen a t} = \frac{a}{s^{2} + a^{2}} & L {u_{a} (t)} = \frac{e^{- as}}{s} \\ L {\cos a t} = \frac{s}{s^{2} + a^{2}} & L {δ (t - a)} = e^{- s a} \end{array}$

Denotando $F (s) = L {f (t)} :$

$L {e^{a t} f (t)} = F (s - a) \Rightarrow$	$L^{- 1} {F (s - a)} = e^{a t} f (t)$
$L {u_{a} (t) f (t - a)} = e^{- a s} F (s) \Rightarrow$	$L {e^{- a s} F (s)} = u_{a} (t) f (t - a) .$

Se $f$ é função periódica, $f (t + T) = f (t)$ então

$L {f (t)} = \frac{1}{1 - e^{- s T}} \int_{0}^{T} f (t) e^{- s t} d t .$

Transformada das derivadas:

$L {f (t)} = s L {f (t)} - f (0),$

$L {f'' (t)} = s^{2} L {f (t)} - s f (0) - f' (0) .$

Integral de Convolução:

$h (t) = L^{- 1} [F (s) G (s)] = \int_{0}^{t} f (t - τ) g (τ) d τ .$

A Transformada de Laplace (2)

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