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06/03/2011

Os Primórdios Gregos

As idéias principais que formam a base do cálculo diferencial e integral foram desenvolvidas durante um longo intervalo de tempo, sendo que os primeiros passos foram dados pelos matemáticos gregos, em particular buscando soluções para problemas geométricos. Para os gregos, e em particular para a escola pitagórica que teve grande influência nas gerações posteriores de pensadores, o número um era considerado um átomo ou mônada formadora de todos os outros números. Desta forma os demais números eram compostos por uma quantidade de uns ou razões, entendidas como a divisão entre segmentos de comprimento inteiro. Daí o apreço pelos racionais e a dificuldade em aceitar números que não pertencem a este conjunto, como o número $\pi$ ou $\sqrt{2}$. Neste sentido eles acreditavam que nem todos os comprimentos pudessem ser representados por números. Tampouco trabalhavam com números negativos e não possuiam grande desenvolvimento em álgebra.

Zenão de Eléia (~450 a.C.) foi um dos primeiros pensadores a propor problemas baseados no conceito de infinito. Segundo um paradoxo famoso imaginado por ele, se uma flecha é atirada do ponto $A$ até o ponto $B$ ela deverá passar pela metade do caminho, digamos pelo ponto $B_1,$ antes de chegar ao ponto $B.$ Mas, antes de chegar a $B_1$ deverá passar por $B_2,$ o ponto médio entre $A$ e $B_1,$ e assim sucessivamente, realizando um número infinito de etapas em um intervalo finito de tempo. Desta forma ele concluiu que o movimento era impossível. Sabemos hoje que o conceito de limite é o que falta para a plena compreensão do paradoxo. Leucipo, Demócrito e Antífon fizeram contribuições para o método de exaustão mais tarde aprimorado por Eudóxo $$~370 a.C. e Arquimedes. O método é assim chamado porque as áreas medidas são tomadas em aproximações sucessivas e crescentes até que cubram a figura considerada.

Na visão de alguns historiadores o verdadeiro precursor do cálculo foi Arquimedes que viveu de 287 até 212 a.C. e, segundo se acredita, foi aluno de Euclides em Alexandria. Arquimedes aperfeiçoou o método da exaustão para a prática da integração buscando encontrar áreas de figuras planas. Em seu livro A Medida do Círculo ele mostrou que o valor exato do número $\pi$ está entre $310/71$ e $31/7,$ aproximação que obteve inscrevendo e circunscrevendo o círculo em um polígono regular de 96 lados. Ele também descreveu uma técnica para o cálculo de raízes e inventou um sistema para a expressão de números grandes. Em O Contador de Areia (ou O Arenário) ele sugeriu um sistema de notação numérica capaz de expressar números até $8\times {10}^{63}$ argumentando que este é um número suficientemente grande para contar todos os grãos de areia do universo. Para estimar as dimensão do universo ele se baseava no sistema de Aristarco, que tinha o Sol no centro do sistema planetário que incluia a Terra.

Arquimedes também enunciou teoremas fundamentais concernentes ao centro de gravidade de figuras planas e sólidos. Seu teorema mais famoso, o chamado Princípio de Arquimedes, permite o cálculo do peso de um objeto imerso em água. Mais tarde ele introduziu algumas das contribuições mais significativas feitas na Grécia. Em primeiro lugar mostrou que a área de um segmento de parábola é $4/3$ da área de um triângulo de mesma base e vértice e $2/3$ da área de um paralelogramo circunscrito. Arquimedes construiu uma seqüência infinita de triângulos partindo de um triângulo com área $A$ e somando repetidamente novos triângulos entre os existentes e a parábola, até chegar a

A área do segmento de parábola é, portanto

Este é o primeiro exemplo histórico da soma de uma série infinita. Arquimedes também usou o método da exaustão para calcular aproximadamente a área de um círculo, no que consiste em um exemplo bem antigo do uso da integração para uma avaliação aproximada do número $\pi$.

Figura 1: Quadratura do círculo e da parábola

Usando este método Arquimedes foi capaz de calcular o volume da esfera, o volume e a área do cone, a superfície subentendida por uma elipse, o volume obtido por revolução de qualquer segmento de uma parábola ou hipérbole.

Arquimedes foi morto em 212 a.C. quando Siracusa foi tomada pelos soldados romanos durante a Segunda Guerra Púnica apesar da ordem expressa do imperador romano para que sua vida fosse poupada. Esta morte se tornou um símbolo da destruição da civilização grega e de seu ímpeto na busca de resposta para questões científicas e filosóficas. Estes eventos determinaram, pelo menos parcialmente, a entrada da civilização ocidental em um longo período de estagnação cultural durante os princípios da Idade Média.

Desenvolvimento na Idade Média e Renascimento

Com o progresso das invasões romanas e o declínio geral da civilização grega a matemática passou por longos anos sem receber aprimoramentos importantes. A civilização romana era voltada para o uso pragmático da matemática e poucas descobertas marcaram este período. Mais tarde, com a expansão do império, tornou-se difícil mantê-lo unificado, o que motivou sua separação em império do ocidente, dirigido por Roma, e império bizantino, com sede em Constantinopla. O enfraquecimento do poder de Roma, as invasões dos germanos e outros povos vindos do norte da Europa, e o fortalecimento da igreja romana deram origem ao período conhecido como Idade Média, durante o qual grande parte dos textos científicos e filosóficos foi destruída e a cultura clássica foi quase totalmente esquecida⁽¹⁾. Esta situação durou até o final do século XVI d.C. com o Renascimento, caracterizado pelo avivamento do interesse pelos problemas relacionados ao movimento, tais como o estudo dos corpos em queda livre e de centros de gravidade. As idéias principais que se sucederam na formação da base do cálculo foram desenvolvidas durante um longo intervalo de tempo.

Luca Valério (1552-1618), um doutor em filosofia e teologia, publicou em Roma, 1604, seu livro De centro gravitatis onde empregava os métodos de Arquimedes para calcular volumes e centros de gravidade de corpos sólidos. Em 1606 ele publicou De quadratura parabolae onde empregava os métodos gregos para calcular áreas de figuras planas. Valério se encontrou com Galileu Galilei na cidade de Pisa em 1590 e iniciou com ele uma troca de correspondência. Em 1916 o Cardeal Belarmino, o principal teólogo da igreja Católica Romana da época, emitiu uma declaração oficial de que eram falsas as idéias de Copérnico e Valério se viu obrigado a interromper seu contato com Galilei, um dos principais defensores das idéias copernicanas.

Kepler (1571-1630) também era um homem profundamente religioso que acreditava ser uma obrigação cristã a tarefa de compreender e revelar os segredos de Deus. Ele defendia que o ser humano, sendo feito a imagem de seu criador, deveria ser capaz de entender o Universo por Ele criado e que a criação de tudo havia sido elaborada sobre um plano matemático⁽²⁾. Uma vez que a matemática era, já na época, tida como um instrumento eficaz de se chegar à verdade ele elaborou sua estratégia para a obtenção do conhecimento.

Em seu estudo sobre o movimento planetário Kepler precisava encontrar a área de setores de uma elipse. Seu método consistia em considerar as áreas como uma soma de linhas, outra forma primitiva de abordar uma integração. No entanto Kepler não se esforçou para manter um grande rigor em seu trabalho, tendo cometido erros que, por sorte, se cancelavam permitindo a obtenção de resultados corretos. Há um relato de que, durante a cerimônia de seu segundo casamento em 1613, Kepler teria notado que o volume dos barris de vinho era calculado por meio de uma barra inserida pelo orifício do barril para medir sua diagonal. Ele passou a considerar como este método poderia funcionar e, como resultado de suas meditações, publicou diversos artigos sobre volumes de sólidos de revolução. Seus métodos foram aperfeiçoados por Cavalieri e constituem parte importante do legado ancestral do cálculo diferencial.

As próximas contribuições importantes foram alcançadas por três matemáticos nascidos aproximadamente na mesma época: Cavalieri, Roberval e Fermat. O primeiro deles, Bonaventura Cavalieri (1598 - 1647), se tornou jesuíta quando ainda era criança e estudou em um monastério de Pisa. Assim como ocorreu com Luca Valério, seu interesse pela matemática foi despertado pelo estudo das obras de Euclides e seu contato com Galileu, de quem ele se considerava discípulo.

Em 1629 Cavalieri foi indicado como professor de matemática em Bologna. Nesta época ele já tinha desenvolvido seu método dos indivisíveis para o cálculo de áreas, um fator importante para o desenvolvimento do cálculo integral. A teoria dos indivisíveis de Cavalieri, apresentada em 1635 era um aprimoramento do método da exaustão de Arquimedes, incorporando a teoria das quantidades geométricas infinitesimalmente pequenas de Kepler. Por meio desta teoria Cavalieri podia calcular de forma prática e eficiente a área e volume de diversas figuras geométricas. Ele não era muito rigoroso em seu trabalho e não é fácil hoje entendermos como ele concebia seu método. Aparentemente Cavalieri considerava uma área como composta de componentes que eram retas e, a partir dai, somava um número infinito de “indivisíveis” . Usando esta técnica ele mostrou que a área sob a curva $x^n,$ avaliada de $0$ até um número arbitrário $a,$ era $a^{n+1}/(n+1),$mostrando inicialmente que o resultado valia para alguns valores de $n$ e depois inferindo sua validade para o caso geral.

Como resposta às críticas de que seus métodos não possuíam um embasamento teórico muito rigoroso Cavaliere publicou Exercitationes geometricae onde aperfeiçoava os fundamentos de sua teoria. Este texto se tornou a principal fonte de estudos dos matemáticos do século XVII. Cavalieri foi também um dos grandes responsáveis pela introdução dos logaritmos⁽³⁾ na Itália como um instrumento computacional, tendo publicado tabelas de logaritmos e funções trigonométricas para uso dos astrônomos da época. Cavalieri também escreveu sobre as seções cônicas, trigonometria, óptica, astronomia e astrologia.

Gilles Personne de Roberval (1602-1675, França) iniciou seus estudos de matemática com 14 anos de idade. Ele viajou por toda a França fazendo contato com matemáticos da época e foi um dos pensadores sob influência do grupo de Mersenne⁽⁴⁾. Roberval considerou problemas do mesmo tipo que os de Cavalieri embora procurasse manter maior rigor que ele. Assim como fazia Torricelli, ele procurou descrever uma curva plana como um movimento gerado por um ponto cujo movimento se pode decompor em dois movimentos conhecidos, o que corresponde à descrição moderna de uma curva sob forma paramétrica. A resultante das velocidades dos dois movimentos conhecidos fornece a tangente da curva em cada ponto. Roberval desenvolveu métodos para a integração escrevendo Traité des indivisibles onde apresenta o cálculo da integral definida da função sen x. Ele também calculou o comprimento de arco de uma espiral, trabalhou com ciclóides e apresentou a descrição de diversas curvas planas, desenvolvendo um método já sugerido por Torricelli para se traçar retas tangentes a curvas dadas. Ele considerava a área entre uma curva e uma reta como sendo composta por um grande número de faixas muito estreitas. Usando este processo na avaliação da área sob de $x^m$ de $0$ até $1$ ele obteve o valor aproximado de

e mostrou depois, aplicando técnicas precursoras do conceito de limite, que este valor tendia para

calculando desta forma a área procurada.

Pierre de Fermat (1601-1665, França) também procurou trabalhar com rigor, embora não tenha fornecido provas de suas afirmações e nem mostrado de forma clara quais foram os métodos empregados para se obter um determinado resultado. Ele se formou em Direito pela Universidade de Toulouse mas logo se interessou pela matemática praticamente como um amador, estudando em suas horas vagas. Em 1629 ele produziu uma restauração da obra de Apolônio, Plane loci e, na mesma época, escreveu um trabalho importante sobre máximos e mínimos de funções procurando pelos pontos onde as tangentes às suas curvas são paralelas ao eixo $Ox.$ Ele escreveu a Descartes descrevendo seu método, que era essencialmente o mesmo usado hoje que consiste em encontrar pontos de derivada nula. Devido a este episódio Lagrange afirmou considerar Fermat o inventor do cálculo.

Fermat considerou parábolas e hipérboles generalizadas do seguinte modo:

Enquanto examinava expressões como $y/a={(x/b)}^p$, Fermat calculou a soma de $r^p$ de $r=1$ até $r=n$. No período de 1643 até 1654 Fermat esteve em contato com seus colegas cientistas em Paris, sob a influência de Mersenne. Surgiu então o seu interesse pela teoria dos números. Ele se tornou amplamente conhecido particularmente pelo que hoje conhecemos como Último Teorema de Fermat que afirma que a expressão

não admite solução⁽⁵⁾ inteira diferente de zero para $n\ge 3.$ Fermat escreveu na margem de seu livro Aritmetica de Diofante: "descobri uma prova realmente maravilhosa para este teorema mas estas margens são estreitas demais para contê-la" . Acredita-se hoje que a prova de Fermat, se existiu, era incorreta. As tentativas de demonstração do teorema motivaram muitas gerações de matemáticos e deu origem a diversas novas áreas na matemática, particularmente na álgebra. Apesar disto o teorema permaneceu sem demonstração por séculos, problema que só foi resolvido em 1994 pelo matemático inglês Andrew Wiles.

Além de sua contribuição fundamental para a geometria analítica René Descartes (1596-1650, França) foi responsável pelo desenvolvimento de um método para a determinação de normais, publicado no livro La Géométrie, 1637. Este livro é considerado o mais importante de seus trabalhos em matemática devido à inserção do formalismo algébrico na geometria. Nele se toma o primeiro passo na direção da teoria dos invariantes que remove a arbitrariedade de escolha de um referencial. A adoção do formalismo algébrico no tratamento da geometria torna possível a consideração de problemas que seriam difíceis ou impossíveis sem esta técnica.

De Beaune ampliou o método de Descartes e o aplicou à determinação de tangentes. Hudde descobriu um método mais simples, hoje conhecido como Regra de Hudde, onde as tangentes são obtidas através das derivadas. Tanto o trabalho de Descartes quanto o de Hudde foram de primordial importância para influenciar Newton e conduzi-lo a sua formulação do Cálculo.

Huygens foi um crítico das provas apresentadas por Cavalieri. Ele afirmava que é necessário pelo menos produzir uma prova que, mesmo que incompleta, leve à convicção de que uma prova posterior, totalmente rigorosa, possa ser estabelecida. Ele exerceu uma influência profunda em Leibniz e, através deste, representa papel importante na construção de uma abordagem mais satisfatória do cálculo.

Triângulo de Barrow

Os esforços de Torricelli e Barrow representam os passos seguintes de maior importância. Barrow foi o responsável pelo método de construção de tangentes a uma curva como o limite de uma corda secante quando os pontos que a definem se aproximam um do outro. Este método é conhecido como o triângulo diferencial de Barrow.

Tanto Torricelli como Barrow trataram do problema do movimento com velocidade variável. A derivada da distância em função do tempo é uma velocidade, enquanto a operação inversa permite que, conhecida a função velocidade a cada instante se possa obter, por integração, a distância percorrida. A partir dai foi desenvolvido o conceito de integração como o inverso da diferenciação. Barrow compreendia que a derivada e a integral são processos complementares, um o inverso do outro. Embora Barrow nunca tenha afirmado explicitamente o teorema fundamental do cálculo ele estava trabalhando nesta direção. Coube a Newton, que foi aluno de Barrow, continuar este trabalho e fazer a primeira afirmação explícita do teorema.