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01/04/2011

Matemática Básica

Guilherme Santos Silva

Raízes da Equação do Segundo Grau

Como demonstrar a fórmula das raízes de uma equação do segundo grau?

Queremos encontrar a solução da equação

a x² + b x + c = 0

onde a, b e c são números reais quaisquer, desde que a ≠ 0. Observe que se a = 0 ficamos com uma equação do primeiro grau, muito mais fácil de resolver. Como a não é nulo podemos dividir a equação por a. Temos então

x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0 .

A operação seguinte é chamada de “completar quadrados” e é muito útil em muitos contextos. Note que

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{b^{2}}{4 a^{2}},

ou seja, temos ai uma boa parte da equação que queremos resolver, que pode, portanto ser escrita assim:

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}} + \frac{c}{a} = 0,

ou ainda

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} .

Uma convenção útil consiste em denotar Δ = b² − 4ac. Δ é a letra grega delta, que aqui define o que chamamos de discriminante da equação. (Já veremos o porque deste nome.) Temos agora

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{Δ}{4 a^{2}} .

Extraindo as raízes de ambos os lados temos

x + \frac{b}{2 a} = \pm \sqrt{\frac{Δ}{4 a^{2}}} = \pm \frac{\sqrt{Δ}}{2 a},

e esta é a solução que procuramos, ou seja,

x = \frac{- b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .

Esta tem sido chamada de fórmula de Bhaskara. Bhaskara foi um grande matemático e algebrista hindu que escreveu sobre tópicos variados. Existem textos que atribuem a ele descobertas importantes até mesmo na área do cálculo diferencial. Parece, no entanto, que não foi ele quem inventou ou provou esta fórmula. Alguns textos atribuem esta autoria a Sridhara, um matemático que viveu quase um século antes de Bhaskara.

O termo Δ é chamado de discriminante porque podemos saber se a equação tem raízes reais ou não apenas pelo estudo de seu sinal. Existem três casos:

Δ > 0; existe $\sqrt{Δ}$ real e a equação tem as duas soluções, dadas acima;

Δ = 0; $\sqrt{Δ} = 0$ e a equação tem apenas uma solução real; x = -b/2a,

Δ < 0; não existe $\sqrt{Δ}$ real a equação e a equação não possui raízes reais.

As três situações estão ilustradas na figura 1, onde usamos o fato de que, se a > 0 a concavidade da parábola está voltada para cima, se a < 0 a concavidade está voltada para baixo.

Figura 1.

Professor, e se Δ for negativo e
não existirem raízes reais?

Raízes complexas

Este é um tópico um pouco mais avançado, normalmente só visto nos últimos semestres do ensino médio. No entanto não há porque um aluno curioso não possa ler e compreender esta seção!
Leia também, neste site, a história dos números complexos e (muitas) outras mais operações que se pode fazer com eles, na seção sobre história do cálculo e no texto sobre variáveis complexas.

Este é um bom momento para antecipar um tópico muito interessante e útil da matemática - os números complexos. Historicamente os complexos só foram compreendidos com o estudo das equações do terceiro grau. No entanto não precisamos de tanto para introduzir e compreender estes números. Suponha, por exemplo, que precisamos resolver a seguinte equação do segundo grau: x² + 1 = 0..

Ela corresponde ao caso a = 1, b = 0, c = 1, da equação geral, ou seja Δ = -1; e não temos solução real. É claro que não precisamos de uma fórmula longa para compreender isto. Temos

x² + 1 = 0 ⇒ x² = -1 ou ainda

x = \sqrt{− 1}

A expressão (afirmação A) ⇒ (afirmação B) significa que a primeira afirmação implica na segunda, ou seja, que a segunda afirmação decorre logicamente da primeira. Ocorre que, sabemos que nenhum número real é raiz quadrada de −1 pois (−1)² = + 1 e (+1)² = + 1. Este problema intrigou os matemáticos por muito tempo, até que se propôs tratar $x = \sqrt{− 1}$ da mesma forma como se trata um número real, e depois verificar suas propriedades. Raízes quadradas de números negativos foram chamados de imaginários e se definiu a unidade imaginária como sendo

i = \sqrt{− 1} .

Esta abordagem se mostrou bastante eficaz e hoje os números complexos são de grande importância teórica e aplicada. Uma vez que $i = \sqrt{− 1} .$ temos as seguintes consequências:

i² = i × i = ( $\sqrt{− 1}$ )² = − 1;

i³ = i × i × i = i² i = − i;

i⁴ = i² × i² = (− 1) × (− 1) = + 1; etc.

Vamos ver um exemplo de como isto funciona, resolvendo a seguinte equação do segundo grau:

x² − 2 x + 2 = 0

Identificamos a = 1, b = − 2, c = 2. O discriminante é Δ = b² − 4.a.c = − 4. Opa! Temos ai um caso de equação que não possui raíz real. Mas, como combinado, usaremos $i = \sqrt{− 1} .$ Então

\sqrt{Δ} = \sqrt{− 4} = \sqrt{4} . \sqrt{− 1} = 2 i .

A expressão para as raízes é, portanto,

x = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{2 \pm 2 i}{2} = 1 \pm i

Isto significa que encontramos duas raízes distintas: x₁ = 1 + i e x₂ = 1 − i . Vamos verificar que de fato x₁ = 1 + i é uma raíz. Substituindo este valor na equação temos

( 1 + i )² − 2 ( 1 + i ) + 2 =

1 + 2i + i² − 2 − 2i + 2 =

1 + 2i −1 − 2 − 2i + 2 = 0,

O que mostra que x₁ = 1 + i é realmente uma raíz. Fica como um exercício para o leitor mostrar que x₂ = 1 − i também é raiz!

Figura 2.

Um número na forma de uma destas raízes, a + ib é denominado número complexo. Ele possui uma parte real, a, e uma parte imaginária, b. Eles podem ser representados por meio do chamado plano de Argand, figura 2, onde a parte real é desenhada ao longo do eixo x (horizontal), a parte imaginária ao longo do eixo y (vertical).

A expressão matemática para expressar este conceito é a seguinte: o conjunto dos números complexos é o conjunto de pares ordenados da forma de (x, y) onde x e y são números reais. O mesmo, escrito de forma compacta na notação matemática moderna é

C = { x + i y : x, y ∈ R}

O primeiro capítulo do no texto sobre variáveis complexas contém uma descrição da álgebra (das operações que se pode fazer com estes números) e deve ser acessível para um estudante de nível médio. Os demais capítulos exigem um conhecimento de cálculo diferencial e integral.

Sobre o autor ...

Guilherme Santos Silva

guilhermeestudos.de

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