Precálculo

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23/03/2011

Precálculo

1: Introdução

Introdução

A palavra cálculo vem do latim calculus, que significa pedregulho e é uma reminiscência da técnica primitiva de executar operações matemáticas simples por meio de pequenas pedras. O Cálculo Diferencial e Integral é o nome de um sistema ou método desenvolvido em grande parte por Newton e Leibniz, independentemente, no século XVII. Esta disciplina representa uma parte importante da matemática tanto em aplicações à física, engenharia, estatística, economia e muitas outras disciplinas, como para a matemática em si. Pode-se dizer com tranquilidade que, do ponto de vista de um aluno de matemática ou outra ciência que emprega a matemática, o conhecimento do cálculo significa um marco importante. Sem ele quase nenhum progresso pode ser obtido em matemática de nível superior.

Leia, neste site, um texto sobre a História do Cálculo

Historicamente o Cálculo é o resultado de uma longa série de avanços que se iniciaram com a geometria grega, na tentativa de estabelecer áreas de figuras com forma arbitrária, volumes de sólidos quaisquer, no estudo do movimento dos corpos e de sua velocidade instantânea bem como, no que consiste o problema inverso, o cálculo das distâncias percorridas conhecida sua velocidade a cada momento.

Muitos alunos encontram alguma dificuldade no estudo desta disciplina. Parte desta dificuldade pode vir de alguma deficiência na formação básica em matemática, parte pode ser resultado de um medo sem muito fundamento e a impressão de que a matemática é necessariamente muito difícil de se aprender. Este curso serve para procurar sanar estes problemas, para fornecer os fundamentos básicos e os tópicos necessários para o progresso neste entendimento. Não existe a intenção de esgotar todo o conteúdo do ensino médio mas sim de facilitar a entrada nesta nova e fascinante área do conhecimento.

Teste

Faça o teste abaixo, sem olhar as respostas, e confira o seu conhecimento de matemática básico necessário para um curso de cálculo.

1) Qual é o valor da função $f (x) = \frac{1}{1 - x}$ no ponto $x = 1 / 2 ?$

(a) 1 (b) 2 (c) 0 (d) $- 1$ (e) A função não está definida neste ponto.

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Solução: Resposta (b).

O valor da função no ponto é

f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{1 - 1 / 2} = \frac{1}{1 / 2} = 2 .

Observe no gráfico que esta função é uma hipérbole do tipo 1/-x deslocado de uma unidade para a direita.

Uma das muitas utilizações do cálculo consiste em nos permitir a visualização, pelo menos aproximada, do gráfico de uma função.

2) Qual é o domínio da função real $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ ?

(a) Um conjunto vazio (b) Toda a reta real (c) O intervalo fechado [-1, 1] (d) O intervalo aberto (0, 1) (e) o intervalo $(0, ?]$

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Solução: Resposta (c).

Para que a raiz seja real é necessário que seu argumento seja positivo ou nulo, isto é, $1 - x^{2} ? 0$ . Mas $y = 1 - x^{2}$ é representada graficamente por uma parábola com concavidade para baixo (porque o coeficiente do termo quadrático é —1). Esta parábola tem raízes em $x^{2} = 1$ ou $x = \pm 1 .$ Portanto esta função é real no intervalo fechado [-1, 1].

No gráfico ao lado está representada a parábola, argumento da raiz em f(x).

3) Quais são as raízes da equação do segundo grau: $y = x^{2} + x - 12$ ? (c)

(a) 1 e 3 (b) raiz dupla, 2 (c) $- 4$ e 3 (d) 0 e 5 (e) esta equação não tem raízes reais.

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Solução: Resposta (c).

As raízes de uma equação do segundo grau da forma $y = a x^{2} + b x + c$ são dadas pela fórmula

x_{\pm} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .

Neste caso $a = 1, b = 1$ e $c = - 12$ e as raízes são

x_{1, 2} = \frac{1}{2} (- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \times 12}) = \frac{1}{2} (- 1 \pm 7) ? {\begin{cases} x_{1} = 3 \\ x_{2} = - 4 . \end{cases}

4) Qual é a equação da reta que passa pelos pontos $(1, 1)$ e $(3, 5)$ ?

(a) $y = 3 x - 2$ (b) $y = - 3 x - 2$ (c) $y = - x + 2$ (d) $y = 2 x - 1$ (e) $y = 1$

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Solução: Resposta (d).

Uma reta no plano tem equação geral $a x + b y + c = 0 .$ Exceto para o caso de retas verticais, $x = constante$ , ela pode ser escrita como $y = m x + n .$ Devemos então achar as constantes $m$ e $n .$ Como $(1, 1)$ e $(3, 5)$ são pontos desta retas as duas equações seguintes devem ser satisfeitas

\begin{array}{l} 1 = m + n, \\ 5 = 3 m + n . \end{array}

Subtraindo a primeira da segunda temos que $2 m = 4,$ logo $m = 2$ e, substituindo em qualquer uma delas, $n = - 1 .$

5) A reta $y = - 3 x - 2$ interceta (corta) a reta $y = - x + 2$ no ponto:

(a) Elas não se interceptam (b) (-1, 1) (c) ( $- 1, 3)$ (d) (0,0) (e) $(- 2, 4)$

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Solução: Resposta (e).

A interseção das retas é um ponto, quando existir, que pertence a ambas. Identificando o ponto $y$ das duas retas temos

- 3 x - 2 = - x + 2,

o que leva à conclusão que $x = - 2$ . Substituindo este valor em qualquer uma das retas temos $y = 4 .$

6) Quantos números diferentes existem com três digitos sem que nenhum dígito seja repetido? E se os dígitos podem ser repetidos?

(a) 648 e 900 (b) 845 e 1000 (c) 648 e 1000 (d) 89 e 100 (e) 678 e 999

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Solução: Resposta (a).

Nosso sistema de numeração tem dez dígitos, de 0 até 9. Para o dígito das centenas podemos escolher entre 9 dígitos (o zero não pode entrar na primeira casa ou o número não teria três dígitos). Para a dezena podemos escolher também entre 9 dígitos, pois um deles já foi usado na primeira casa das centenas. Para a unidade resta a escolha entre 8 dígitos, tendo dois já sido usados. São portanto $9 \times 9 \times 8 = 648$ números diferentes, sem repetição de dígitos. Se os dígitos podem ser repetidos temos, por raciocínio análogo, $9 \times 10 \times 10 = 900$ números diferentes (de 100 até 999, inclusive).

7) Para que valor, ou valores, de $x$ a seguinte equação fica satisfeita: $2^{x^{2} - x} = 4 ?$

(a) 2, 3 (b) 3 (c) nenhum valor (d) $- 2, 1, 3$ (e) $- 1$ e 2

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Solução: Resposta (e).

Podemos escrever $2^{x^{2} - x} = 2^{2} .$ Como a função $f (x) = 2^{x}$ é estritamente crescente se $2^{a} = 2^{b}$ então, necessariamente $a = b .$ Identificamos os expoentes para achar a equação do segundo grau $x^{2} - x - 2 = 0,$ cujas raízes são -1 e 2. De modo análogo, podemos tomar o logaritmo de base 2 em ambos os lados da expressão

\log_{2} 2^{x^{2} - x} = x^{2} - x, \log_{2} 4 = 2,

de onde obteremos a mesma solução.

8) Uma escada com 3m de comprimento está sobre um piso liso e horizontal, e encostada em uma parede vertical com sua base afastada de 1m desta parede. Em que altura, em metros, está encostado o topo da escada?

(a) $2 \sqrt{2}$ (b) 3 (c) 2 (d) 1,5 (e) 3,5

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Solução: Resposta (a).

Como a parede é vertical ela forma um ângulo reto com o chão e temos um triângulo retângulo como o da figura. De acordo com o teorema de Pitágoras temos que

3^{2} = x^{2} + 1^{2}

ou seja x² = 8 ou $x = 2 \sqrt{2} .$ Observe que $x = - 2 \sqrt{2}$ também é uma solução matemática para esta equação, solução que desprezamos porque trata-se de um comprimento, algo que não pode ser negativo.

9) Quais das seguintes afirmativas estão corretas?

(i) Todos os múltiplos de 15 são múltiplos de 3 e 5.

(ii) Nenhum número primo é par.

(iii) Não existe nenhum primo múltiplo de 3, exceto o próprio 3.

(iv) A interseção entre o conjunto vazio e qualquer outro conjunto é vazio.

(a) somente ii (b) ii, iv (c) todas estão corretas (d) i, iii, iv (e) ii, iii, iv.

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Solução: Resposta (d).

(i) Certo: se um número n é múltiplo de 15 então ele pode ser escrito como

n = 15 k = 3 \times 5 \times k,

onde $k$ é um inteiro. Logo $n$ é múltiplo de 3 e de 5.

(ii) Errado: um número primo é aquele que pode ser dividido apenas por 1 e por ele mesmo, sem deixar resto. O número 2 satisfaz esta condição, logo é primo. Todos os demais pares são múltiplos de 2.

(iii) Certo: se um número é múltiplo de 3 então ele admite como divisores o 3, 1 e ele mesmo.

(iv) Certo: A interseção entre dois conjuntos A e B é definida como o conjunto de elementos que pertencem simultaneamente aos conjuntos A e B, que denotamos simbolicamente por $A ? B .$ A interseção entre um conjunto qualquer e o conjunto vazio é o conjunto vazio, $A ? ? = ?$ .

10) Resolva o seguinte sistema:

\begin{array}{lll} x + 2 y - 2 z & = - 1 \\ 3 x + y - z & = 2 \\ 4 x - 2 y + z & = 3 \end{array}

(a) $x = 1, y = 2, z = 3$ (b) $x = 1, y = - 2, z = - 1$ (c) $x = 0, y = 2, z = 3$
(d) $x = 3, y = 2, z = 1$ (e) $x = 4, y = 2, z = - 3 .$

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Solução: Resposta (a).

Este sistema pode ser colocado sob forma matricial

(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & - 2 \\ 3 & 1 & - 1 \\ 4 & - 2 & 1 \end{array}) (\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}),

e pode ser resolvido pela regra de Cramer. Primeiro calculamos o determinante

? = | \begin{array}{ccc} 1 & 2 & - 2 \\ 3 & 1 & - 1 \\ 4 & - 2 & 1 \end{array} | = 1 + 12 - 8 + 8 - 2 - 6 = 5 .

Os valores de $x, y$ e $z$ são dados, respectivamente, por

x = \frac{| \begin{array}{ccc} - 1 & 2 & - 2 \\ 2 & 1 & - 1 \\ 3 & - 2 & 1 \end{array} |}{?} = \frac{5}{5} = 1,

y = \frac{| \begin{array}{ccc} 1 & - 1 & - 2 \\ 3 & 2 & - 1 \\ 4 & 3 & 1 \end{array} |}{?} = \frac{10}{5} = 2,

z = \frac{| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & - 1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 4 & - 2 & 3 \end{array} |}{?} = \frac{15}{5} = 3 .

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