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11/03/2011

Variáveis Complexas

1: Números Complexos e sua Álgebra

1.1 História das Números Complexos

Veja a introdução deste texto ou o artigo sobre História da Matemática.

1.2 Números complexos

1.2.1 A álgebra dos complexos

Embora historicamente a necessidade de estudar os números complexos tenha surgido junto com o estudo de equações do terceiro grau, para compreender esta necessidade basta considerarmos a solução de equações do tipo

x^{2} + 1 = 0 .

(1)

Para obter uma solução definimos $\sqrt{- 1} = i,$ a que damos o nome de unidade imaginária. Como conseqüência desta definição as raízes da equação 1 são i e — i pois

i^{2} = {(\sqrt{- 1})}^{2} = - 1; {(- i)}^{2} = - 1 .

Um número complexo é um número na forma a + i b , possuindo, portanto, uma parte real a e uma parte imaginária b. O conjunto dos complexos é

ℂ = {x + i y; x, y \in R} .

Um número complexo qualquer, z = x + i y é composto de parte real e parte imaginária, respectivamente

\begin{aligned} Re (z) = & x, \\ Im (z) = & y . \end{aligned}

Dados dois complexos

z_{1} = x_{1} + i y_{1} e z_{2} = x_{2} + i y_{2}

as seguintes operações podem ser definidas:

Adição: $z_{1} + z_{2} = (x_{1} + i y_{1}) + (x_{2} + i y_{2}) = (x_{1} + x_{2}) + i (y_{1} + y_{2})$

Subtração: $z_{1} - z_{2} = (x_{1} + i y_{1}) - (x_{2} + i y_{2}) = (x_{1} - x_{2}) + i (y_{1} - y_{2})$

Multiplicação: $z_{1} \cdot z_{2} = (x_{1} + i y_{1}) \cdot (x_{2} + i y_{2}) = (x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2}) + i (x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1})$

Divisão: para $z_{2}$ $\neq 0 :$

\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{x_{1} + i y_{1}}{x_{2} + i y_{2}} = \frac{x_{1} + i y_{1}}{x_{2} + i y_{2}} \frac{x_{2} - i y_{2}}{x_{2} - i y_{2}} = \frac{(x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}) + i (x_{2} y_{1} - x_{1} y_{2})}{{(x_{2})}^{2} + {(y_{2})}^{2}} .

Observe que z₁ = z₂ se, e somente se,

x₁ = x₂ e y₁ = y₂

de forma que uma equação complexa envolve, na verdade, duas equações reais.

1.2.2 Representação cartesiana e polar

O conjunto dos complexos pode ser representado por meio do plano complexo, em sua forma cartesiana, mostrada na figura 1(a) ou polar, figura 1(b).

Figuras 1(a) e 1(b)

As coordenadas cartesianas e polares se relacionam da seguinte forma:

{\begin{cases} x = & r \cos θ \\ y = & r sen θ \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} r = & \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ θ = & \arctan (\frac{y}{x}) . \end{cases}

(2)

Podemos portanto escrever $z = x + i y$ como

z = r (\cos θ + i sen θ),

onde as variáveis $(r, θ)$ e $(x, y)$ se relacionam de acordo com as expressões em 2.

Definições: O valor absoluto de $z = x + i y$ é denotado por

| z | = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = r,

enquanto $θ$ é chamado de argumento de $z, θ = \arg (z) .$ O conjugado complexo de $z$ é denotado por $\overline{z}$ e definido como

\overline{z} = x - i y .

Figura 2: um complexo e seu conjugado

Vemos na figura 2 que $| z |$ é a distância do ponto até a origem enquanto $\overline{z}$ é o complexo obtido de $z$ por reflexão no eixo real.

Observe que, em termos destas definições, temos

z \overline{z} = {| z |}^{2},

enquanto a divisão entre complexos pode ser escrita como

\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{z_{1} {\overline{z}}_{2}}{z_{2} {\overline{z}}_{2}} = \frac{z_{1} {\overline{z}}_{2}}{{| z_{2} |}^{2}} .

1.2.3 Exercícios Resolvidos:

1. Encontre as partes reais e imaginárias dos números complexos:

z_{1} = \frac{1 - i \sqrt{2}}{\sqrt{2} + i}; z_{2} = {(1 + i)}^{8} .

Racionalizamos o primeiro:

z_{1} = \frac{1 - i \sqrt{2}}{\sqrt{2} + i} \frac{\sqrt{2} - i}{\sqrt{2} - i} = \frac{\sqrt{2} - i - 2 i - \sqrt{2}}{3} = - i,

e o segundo

z_{2} = {(1 + i)}^{8} = {[{(1 + i)}^{2}]}^{4} = {(2 i)}^{4} = 2^{4} = 16 .

Portanto $Re (z_{1}) = 0, Im (z_{1}) = - 1; Re (z_{2}) = 16, Im (z_{2}) = 0 .$

Observe que, para racionalizar $z_{1}$ multiplicamos o denominador por seu complexo conjugado, uma vez que, para qualquer complexo $z$ , $z \overline{z}$ é sempre um real, o quadrado de seu módulo.

2. Escreva na sua forma polar e calcule os conjugados complexos de:

z_{3} = i, z_{4} = \frac{i}{1 - i} .

O argumento de z₃ pode ser visto apenas pela posição do ponto no plano complexo, $θ = π / 2,$ enquanto seu valor absoluto é $| z_{3} | = \sqrt{1^{2} + 0} = 1 .$ Então

z_{3} = i = \cos \frac{π}{2} + i sen \frac{π}{2},

{\overline{z}}_{3} = \overline{i} = - i ou {\overline{z}}_{3} = \cos \frac{π}{2} - i sen \frac{π}{2} .

Quanto a z₄ é melhor racionalizá-lo antes,

z_{4} = \frac{i}{1 - i} \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{- 1 + i}{2} .

Portanto $x = - \frac{1}{2}$ e $y = \frac{1}{2} .$ Além disto

r = \sqrt{{(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2},

θ = \arctan (- 1) = \frac{3 π}{4} .

Observe que $\tan (3 π / 4) = \tan (5 π / 4) = - 1 .$ Tomamos então $θ = 3 π / 4$ já que $z_{4}$ está no segundo quadrante. Seu complexo conjugado é:

z_{4} = \frac{- 1 - i}{2}

1.2.4 Produto e quociente na forma polar

Algumas operações são mais simples se os números dados estão na forma cartesiana, como ocorre na adição. Outras podem bastante simplificadas se escrevermos os termos envolvidos em sua forma polar. Por exemplo, dados

z_{1} = r_{1} (\cos θ_{1} + i sen θ_{1}), z_{2} = r_{2} (\cos θ_{2} + i sen θ_{2})

encontramos seu produto

\begin{array}{rcl} z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} (\cos θ_{1} + i sen θ_{1}) (\cos θ_{2} + i sen θ_{2}) = \\ r_{1} r_{2} [\cos θ_{1} \cos θ_{2} - sen θ_{1} sen θ_{2} + i (\cos θ_{1} sen θ_{2} + sen θ_{1} \cos θ_{2})] . \end{array}

Usando as identidades trigonométricas:

\cos A \cos B - sen A sen B = \cos (A + B),

\cos A sen B + sen A \cos B = sen (A + B),

obtemos

z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} [\cos (θ_{1} + θ_{2}) + i sen (θ_{1} + θ_{2})] .

Isto significa que, para multiplicar dois complexos, multiplicamos seus valores absolutos e somamos seus argumentos. Para efetuar a divisão observe antes que

\frac{1}{\cos θ_{1} + i sen θ_{1}} = \frac{1}{\cos θ_{1} + i sen θ_{1}} \frac{\cos θ_{1} - i sen θ_{1}}{\cos θ_{1} - i sen θ_{1}} = \cos θ_{1} - i sen θ_{1},

observando que o denominador é $\cos^{2} θ_{1} + {sen}^{2} θ_{1} = 1 .$ Temos então que, se $z_{2} \neq 0,$

\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1} (\cos θ_{1} + i sen θ_{1})}{r_{2} (\cos θ_{2} + i sen θ_{2})} = \frac{r_{1}}{r_{2}} (\cos θ_{1} + i sen θ_{1}) (\cos θ_{2} - i sen θ_{2}) =

\frac{r_{1}}{r_{2}} (\cos θ_{1} \cos θ_{2} + sen θ_{1} sen θ_{2}) + i (sen θ_{1} \cos θ_{2} - \cos θ_{1} sen θ_{2}) =

\frac{r_{1}}{r_{2}} [\cos (θ_{1} - θ_{2}) + i sen (θ_{1} - θ_{2})] .

(3)

Este último resultado poder ser obtido, como antes, usando-se as fórmulas trigonométricas para a diferença de dois ângulos. Alternativamente, podemos simplesmente usar o fato de que o cosseno é uma função par enquanto o seno é ímpar, ou seja,

\cos (- θ) = \cos θ; sen (- θ) = - sen θ .

(4)

Com isto vemos que

\frac{r_{1}}{r_{2}} (\cos θ_{1} + i sen θ_{1}) (\cos θ_{2} - i sen θ_{2}) = \frac{r_{1}}{r_{2}} (\cos θ_{1} + i sen θ_{1}) [\cos (- θ_{2}) + i sen (- θ_{2})],

o que resulta na expressão em vista do resultado já conhecido.

1.2.4 Fórmulas de de Moivre e de Euler

Considere n números complexos, expressos por

z_{k} = r_{k} (\cos θ_{k} + i sen θ_{k}), k = 1, \dots, n .

Para multiplicar todos estes números podemos operar dois a dois até incluir os n números, obtendo

z_{1} z_{2} \dots z_{n} = r_{1} r_{2} \dots r_{n} [\cos (θ_{1} + θ_{2} + \dots + θ_{n}) + i sen (θ_{1} + θ_{2} + \dots + θ_{n})] .

Se todos os n fatores são iguais temos

z z \dots z = z^{n} = r^{n} (\cos n θ + i sen n θ) .

Se $| z | = 1$ então $r = 1$ e obtemos a fórmula de de Moivre:

{(\cos θ + i sen θ)}^{n} = (\cos n θ + i sen n θ) .

Observe que a fórmula acima vale também para expoentes negativos, pois, supondo n positivo,

{(\cos θ + i sen θ)}^{- n} = \frac{1}{{(\cos θ + i sen θ)}^{n}} = \frac{1}{\cos n θ + i sen n θ} = \cos n θ - i sen n θ .

Além disto, lembrando que o cosseno é par e o seno é ímpar podemos escrever

{(\cos θ + i sen θ)}^{- n} = \cos (- n θ) + i sen (- n θ),

que é a fórmula de de Moivre para expoentes negativos.

As expansões em séries de potências para funções que possuem todas as derivadas em determinado ponto são as chamadas séries de Taylor e MacLaurin. Veja o apêndice ao texto sobre Equações Diferencais para uma revisão sobre este assunto.

Outra expressão importante foi obtida por Euler da seguinte forma: partimos das expansões em séries de potências ⁽¹⁾ para as funções exponencial, seno e cosseno, respectivamente

e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} + \dots,

sen x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \dots

\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + \dots .

Fazendo $x = i θ$ no argumento da exponencial obtemos

e^{i θ} = 1 + i θ + \frac{{(i θ)}^{2}}{2!} + \frac{{(i θ)}^{3}}{3!} + \dots + \frac{{(i θ)}^{n}}{n!} + \dots =

= 1 + i θ - \frac{θ^{2}}{2!} - \frac{i θ^{3}}{3!} + \frac{θ^{4}}{4!} + \frac{i θ^{5}}{5!} - \dots .

Agrupando os termos reais e imaginários temos

e^{i θ} = 1 - \frac{θ^{2}}{2!} + \frac{θ^{4}}{4!} - \dots + i (θ - \frac{θ^{3}}{3!} + \frac{θ^{5}}{5!} - \dots) .

Podemos agora identificar a parte real com o cosseno e a parte imaginária com o seno e, portanto,

e^{i θ} = \cos θ + i sen θ .

Ela nos permite escrever números complexos em uma forma alternativa, muito útil para a realização de diversas operações,

z = x + i y = r (\cos θ + i sen θ) = r e^{i θ} .

Esta expressão permitiu a Euler escrever a equação

e^{i π} = - 1,

considerada por muitos como uma das mais belas equações matemáticas já escritas, onde se reune quatro importantes constantes: e, $π,$ i e 1.

Observe ainda que, nesta representação, o complexo conjugado é

\overline{z} = r (\cos θ - i sen θ) = r e^{- i θ},

onde usamos a paridade das funções trigonométricas, descrita na equação 4. A multiplicação e divisão dos complexos se torna bem mais simples se eles estão escritos em sua forma exponencial. Se $z_{1} = r_{1} e^{i θ_{1}}$ e $z_{2} = r_{2} e^{i θ_{2}}$ temos o produto

z_{1} z_{2} = (r_{1} e^{i θ_{1}}) (r_{2} e^{i θ_{2}}) = r_{1} r_{2} e^{i (θ_{1} + θ_{2})},

e o quociente

\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1} e^{i θ_{1}}}{r_{2} e^{i θ_{2}}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} e^{i (θ_{1} - θ_{2})} .

Igualmente simples são as operações de potenciação,

z^{n} = {(r e^{i θ})}^{n} = r^{n} e^{i n θ},

z^{- n} = \frac{1}{r^{n}} e^{- i n θ} .

1.2.6 Extração de raízes

Dados dois números complexos, $z, p \in ℂ$ dizemos que $z$ é a raíz enésima de $p,$ $z = \sqrt[n]{p},$ se $z^{n} = p .$ Tomando $p = r (\cos θ + i sen θ)$ sabemos que

z_{0} = \sqrt[n]{r} (\cos \frac{θ}{n} + i sen \frac{θ}{n})

é uma raiz pois $z_{0}^{n} = p .$ No entanto existem outras raizes, sob a forma de

z_{k} = \sqrt[n]{p} = \sqrt[n]{r} [\cos (\frac{θ + 2 k π}{n}) + i sen (\frac{θ + 2 k π}{n})],

onde $k$ é um inteiro. Isto está correto porque

z_{k}^{n} = r [\cos (θ + 2 k π) + i sen (θ + 2 k π)] = r [\cos θ + i sen θ] = p,

uma vez que o seno e o cosseno são funções periódicas de período $2 π .$ Observe que se fizermos $k = n$ então

z_{n} = \sqrt[n]{r} [\cos (\frac{θ}{n} + 2 π) + i sen (\frac{θ}{n} + 2 π)] = z_{0},

ou seja, retornamos à raiz correspondente à $k = 0 .$ Existem portanto n raízes $n -$ ésimas distintas de um número complexo qualquer $p \neq 0$ ,

z_{k} = \sqrt[n]{r} [\cos (\frac{θ + 2 k π}{n}) + i sen (\frac{θ + 2 k π}{n})], k = 0, 1, \dots, n - 1 .

(5)

1.2.7 Exercícios Resolvidos

1. Calcule as raízes n-ésimas de 1.

Primeiro representamos $1$ em sua forma polar, correspondendo à $r = 1, θ = 0 .$ Logo $1 = \cos 0 + i sen 0 .$ Agora podemos extrair as raizes

w_{k} = \cos \frac{2 k π}{n} + i sen \frac{2 k π}{n} .

Observe que, se denotarmos

w = \cos \frac{2 π}{n} + i sen \frac{2 π}{n},

podemos representar as demais raízes por meio da fórmula de de Moivre,

w^{k} = \cos (\frac{2 k π}{n}) + i sen (\frac{2 k π}{n}) .

Estas são as chamadas raízes da unidade, $w = \sqrt[n]{1},$ dadas por:

1, w, w^{2}, \dots, w^{n - 1} .

2. Como caso particular do exercício acima vamos encontrar as raízes quartas de da unidade, $\sqrt[4]{1} .$

Figura 3.

Estas raízes são $1, w, w^{2}, w^{3}$ onde

w = \cos \frac{π}{2} + i sen \frac{π}{2} = i .

As demais raízes são

w^{2} = i^{2} = - 1, e w^{3} = i^{3} = - i .

As raízes são, portanto: $1,$ $i$ , $- 1, - i .$

Observe que a fórmula 5 para as raízes de um número qualquer pode ser escrita como

z_{k} = \sqrt[n]{r} (\cos \frac{θ}{n} + i sen \frac{θ}{n}) (\cos \frac{2 k π}{n} + i sen \frac{2 k π}{n}) = \sqrt[n]{r} (\cos \frac{θ}{n} + i sen \frac{θ}{n}) w^{k} .

Dai se conclui que as raízes de um número $z$ qualquer são dadas pelo produto de uma de suas raízes com as raízes n-ésimas da unidade.

3. Calcule as raízes cúbicas de 27.

Figura 4.

Uma das raízes é $3 .$ As raízes cúbicas da unidade são $1, w,$ $w^{3},$ onde

w = \cos \frac{2 π}{3} + i sen \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} .

As raízes são, portanto,

z₀= 3,

z_{1} = 3 (\cos \frac{2 π}{3} + i sen \frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} + i \frac{3 \sqrt{3}}{2},

z_{2} = 3 (\cos \frac{4 π}{3} + i sen \frac{4 π}{3}) = - \frac{3}{2} - i \frac{3 \sqrt{3}}{2} .

As três raízes estão sobre um círculo de raio 3 e são representadas graficamente na figura 4.

4. Calcule as raízes cúbicas de 1 e as represente graficamente no plano complexo.

Começamos por escrever em forma polar

\sqrt[3]{- 1} = \sqrt[3]{\cos π + i sen π} .

Sabemos que temos três raíz:

z_{k} = \cos \frac{π + 2 k π}{3} + i sen \frac{π + 2 k π}{3}, k = 0, 1, 2 .

Portanto

z_{0} = \cos \frac{π}{3} + i sen \frac{π}{3} = \frac{1}{2} (1 + i \sqrt{3}),

z_{1} = \cos π + i sen π = - 1,

z_{2} = \cos \frac{5 π}{3} + i sen \frac{5 π}{3} = \frac{1}{2} (1 - i \sqrt{3}) .

Note que, se fizermos $k = 3$ obteremos novamente a raiz $z_{0} .$

5. Calcule as raízes quadradas de i, a unidade imaginária.

Observe que

\sqrt{- i} = \sqrt{\cos 3 π / 2 + i sen 3 π / 2} .

As duas raízes são, portanto:

z_{k} = \cos (\frac{3 π}{4} + k π) + i sen (\frac{3 π}{4} + k π), k = 0, 1,

ou seja

z_{0} = \cos \frac{3 π}{4} + i sen \frac{3 π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} (- 1 + i),

z_{1} = \cos \frac{7 π}{4} + i sen \frac{7 π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} (1 - i),

Representamos graficamente as raízes obtidas nos dois exercícios na figura 5(a) e (b).

Figuras 5(a) e (b)

6. Decomponha o polinômio $P (z) = z^{3} + 1$ em um produto de fatores do primeiro grau. As raízes de P(z) são as soluções de $z^{3} = - 1$ e já foram encontradas em exemplo resolvida. Usando o teorema fundamental da álgebra temos

P (z) = (z - z_{0}) (z - z_{1}) (z - z_{2})

ou seja

P (z) = (z + 1) (z - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}) (z - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) .

1.3 Subconjuntos de $ℂ$

Algumas definições são necessárias para a continuidade de nosso estudo e a solução dos próximos exercícios. Façamos uma lista destas definições:

(i) Um disco aberto é a região

D_{r} (z_{0}) = {z; | z - z_{0} | < r},

e está representada graficamente na figura 6 abaixo.

Exemplo: Vamos discutir com algum detalhe o conjunto

D_{r} (z_{0}) = {z; | z - z_{0} | < r},

onde z₀ é um ponto fixo do plano complexo.

Se denotarmos $z = x + i y$ e $z_{0} = x_{0} + i y_{0}$ então $| z - z_{0} | = \sqrt{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}} .$ Portanto os pontos de $D_{r} (z_{0})$ satisfazem a relação ${(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} < r^{2},$ ou seja, são os pontos interiores ao círculo de raio $r$ e centro em $z_{0} .$

Alternativamente, podemos chegar à mesma conclusão visualizando geometricamente este conjunto, como exibido na figura 6. Observe que $| z - z_{0} |$ é a distância entre um ponto $z$ arbitrário e o ponto fixo z₀. A relação $| z - z_{0} | < r$ só é satisfeita pelos pontos interiores ao círculo já descrito.

Figura 6.

(ii) Uma vizinhança de $z_{0},$ que denotaremos por $V_{r} (z_{0})$ , é qualquer subconjunto de $ℂ$ que contenha $D_{r} (z_{0}) .$

Figura 7.

Na figura 7 por exemplo, à esquerda, $V$ é uma vizinhança do ponto $p$ pois contém $D_{r} (p_{})$ , um disco aberto com centro em $p .$ Por outro lado, á direita, vemos que um retângulo $V$ não é vizinhança de nenhuma de suas arestas.

(iii) Dado um conjunto de $C \subset ℂ$ , chamaremos de seu complementar o conjunto $C^{'} = ℂ - C,$ o conjunto dos pontos do plano complexo que não estão em $C .$

(iv) Um ponto $z_{0}$ qualquer é dito um ponto interior de $C$ se existe um disco aberto centrado em $z_{0}$ inteiramente contido em $C .$

(v) Um conjunto é aberto se todos os seus pontos são pontos interiores. Um conjunto é fechado se seu complementar é aberto.

(vi) A fronteira de $C$ é o conjunto de pontos $z$ tais que qualquer vizinhança de $z$ contém pontos de $C$ e de seu complementar. Pontos da fronteira de $C$ podem ou não pertencer a este conjunto. Com esta definição percebemos que nenhum ponto interior de um conjunto é um ponto de fronteira.

Figura 8.

(vii) $C$ é um conjunto aberto se não contém pontos de sua fronteira. $C$ é fechado se contém todos os pontos de sua fronteira.

(viii) $z_{0}$ é um ponto de acumulação de $C$ se qualquer vizinhança de $z_{0}$ contém infinitos ponto de $C .$ Portanto, pontos do interior e pontos da fronteira, pertencendo ou não a $C,$ são pontos de acumulação. Um ponto isolado de $C$ é um ponto de $C$ que não é ponto de acumulação.

Exemplo: No conjunto infinito

C = {0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \dots, \frac{n}{n + 1}, \dots}

1 é o único ponto de acumulação, sendo todos os outros pontos isolados. Note que este único ponto de acumulção não está contido em C.

(ix) Um aberto $C$ é conexo se dois quaisquer de seus pontos podem ser unidos por um arco inteiramente contido em $C .$ Uma região é um conjunto aberto e conexo.

Figura 9.

Na figura 9(a) o conjunto é conexo, enquanto o conjunto mostrado em 9(b) não é.

(x) $C$ é limitado se existe um número k positivo tal que $| z | \leq k,$ $\forall z \in C .$ Um conjunto limitado e fechado é dito compacto.

(xi) No conjunto $V_{k} = {z \in C; | z | > k}$ incorporamos o infinito (um único ponto!) para formar o chamado plano complexo extendido.

Exemplo: $| z - 3 i | < 5$ é o disco aberto interior ao círculo de raio 5 e centro em 3i, como na figura 10(a). O conjunto $z = z_{0} + r e^{i θ}, 0 \leq θ \leq 2 π,$ é a circunferência de centro em z₀ e raio r.

Figura 10.

Na figura 10(b) está representado o conjunto $z = z_{0} + r e^{i θ}$ , que consiste naqueles pontos de $ℂ$ com centro em z₀ e raio r. O mesmo conjunto, representado em coordenadas cartesianas seria descrito por

x + i y = x_{0} + i y_{0} + r (\cos θ + i sen θ),

ou seja

x = x_{0} + r \cos θ; y = y_{0} + r sen θ .

Figura 11.

Exemplo: Qual é o conjunto $Re (z^{2}) < 0 ?$ Observamos primeiro que

Re (z^{2}) = Re (r^{2} e^{2 i θ}) = r^{2} \cos 2 θ .

$\cos 2 θ$ é negativo em duas situações: $π / 2 < 2 θ < 3 π / 2$ ou $- 3 π / 2 < 2 θ < - π / 2 .$ O conjunto procurado é a parte do plano complexo dado por

\frac{π}{4} < θ < \frac{3 π}{4} ou \frac{- 3 π}{4} < θ < \frac{- π}{4},

que é a região delimitada pelas retas bissetrizes, como representado na figura 11.

1.3.1 Exercícios

(1) Dados z₁ = 3 + 5i e z₂ = —2 + i calcule z₁ + z₂, z₁ — z₂, z₁_˙ z₂ e z₁ / z₂.
Represente graficamente cada um dos números complexos envolvidos.

(2) Calcule:

$\begin{array}{llll} (a) \frac{1}{2 + 3 i} & (b) \frac{1 + i}{1 - i} & (c) \frac{1 - i}{1 + i} & (d) \frac{4 - 3 i}{i - 1} & (e) \frac{1}{{(1 + i)}^{2}} & (f) {(\frac{1 + i}{1 - i})}^{30} & (g) (1 - i) (\sqrt{3} + i) . \end{array}$

(3) Mostre que

(a) $\sum_{n = 0}^{N} i^{n} = {\begin{cases} 1, & se r = 0, \\ 1 + i, & se r = 1, \\ i, & se r = 2, \\ 0, & se r = 3, \end{cases}$

onde r é o resto da divisão de N por 4 seja, $N \equiv r \mod 4 .$

(b) ${(x + i y)}^{2} = x^{2} - y^{2} + 2 i x y$

(d) ${(x + i y)}^{2} {(x - i y)}^{2} = {(x^{2} + y^{2})}^{2}$

(e) ${(x + i y)}^{n} {(x - i y)}^{n} = {(x^{2} + y^{2})}^{n}$

(4) Mostre que

(a) $Re [- i {(2 - 3 i)}^{2}] = - 12$

(b) $\frac{1 - i \sqrt{2}}{\sqrt{2} + i} = - i$

(d) $\frac{1 + i \tan θ}{1 - i \tan θ} = \cos 2 θ + i sen 2 θ$

(5) Escreva na forma polar e represente graficamente:

$\begin{array}{llll} (a) - 2 + 2 i & (b) 1 + i \sqrt{3} & (c) - \sqrt{3} + i & (d) {(\frac{i}{1 + i})}^{5} \\ (e) \frac{1}{- 1 - i \sqrt{3}} & (f) - 1 - i & (g) \frac{- 3 + 3 i}{1 + i \sqrt{3}} . \end{array}$

(6) Mostre que:

(a) $\cos 3 θ = \cos^{3} θ - 3 \cos θ {sen}^{2} θ$
(b) $sen 3 θ = - {sen}^{3} θ + 3 \cos^{2} θ sen θ .$

{Sugestão: calcule as partes real e imaginária de ${(\cos θ + i sen θ)}^{3} .$ }

(7) Mostre que: (a) $| \frac{2 + i}{2 - i \sqrt{3}} | = \frac{5}{7}$ (b) $| \frac{(\sqrt{3} + i) (1 - 3 i)}{\sqrt{5}} | = 2 \sqrt{2} .$

(8) Encontre as raízes e represente-as graficamente:

$\begin{array}{llll} (a) \sqrt[3]{- 1} & (b) \sqrt{2 i} & (c) \sqrt{- 2 i} & (d) \sqrt[3]{i} \\ (e) \sqrt[3]{- i} & (f) {(- 1 + i \sqrt{3})}^{1 / 4} . \end{array}$

(9) Decomponha o polinômio em fatores do $2^{o .}$ grau com coeficientes reais:

(a) $P (x) = x^{4} + 1$ (b) $P (x) = x^{4} + 9$

(10) Decomponha os polinômios em um produto de fatores do primeiro grau:

(a) $P (z) = z^{6} - 64$ (b) $P (z) = z^{6} + 64$ (c) $P (z) = z^{4} - (1 - i) z^{2} - i .$

(11) Mostre que, se $w$ é uma raíz n-ésima qualquer da unidade diferente de 1 ( $w = \sqrt{1},$ $w \neq 1$ ) então

(a) 1 + w + w^{2} + \dots + w^{n - 1} = 0 .

(b) 1 + 2 w + 3 w^{2} + \dots + n w^{n - 1} = \frac{n}{w - 1} .

(12) Escreva na forma exponencial, $z = r e^{i θ}$ :

$\begin{array}{llll} (a) 1 + i & (b) 1 - i & (c) - 1 + i & (d) - 1 - i . \end{array}$

(13) Mostre que:

$\begin{array}{ll} (a) \exp (3 + 7 π i) = - e^{3} & (b) \exp (\frac{3 - 2 π i}{6}) = \frac{\sqrt{e} (1 - i \sqrt{3})}{2} \\ (c) \cos θ = \frac{e^{i θ} + e^{- i θ}}{2} & (d) sen θ = \frac{e^{i θ} - e^{- i θ}}{2 i} \end{array}$

(14) Represente graficamente os conjuntos no plano complexo:

$\begin{array}{llll} (a) Re (z) < - 3 & (b) | z - 2 i | > 2 & (c) | z + 1 | \leq 2 & (d) | z - 1 + i | < 3 \\ (e) Im (z^{2}) < 0 & (f) | z - 2 | = | z - 3 i | & (g) | z | > 2, | \arg (z) | < π & (h) Re (1 - z) = | z | . \end{array}$

1.3.2 Algumas Soluções

(3a) Queremos mostrar que

\sum_{n = 0}^{N} i^{n} = {\begin{cases} 1, & se r = 0, \\ 1 + i, & se r = 1, \\ i, & se r = 2, \\ 0, & se r = 3, \end{cases}

onde $r$ é o resto da divisão de N por 4 seja, $N \equiv r \mod 4 .$ Denotando $N = 4 p + r$ , onde $p$ é um inteiro, observamos que

i^{N} = i^{4 p + r} = i^{4 p} i^{r} = i^{r}

(6)

pois $i^{4 p} = {(i^{4})}^{p} = 1 .$ Este resultado é válido inclusive se $N < 4$ quando $p = 0 .$ Vamos escrever a soma procurada como

S_{N} = \sum_{n = 0}^{N} i^{n} = 1 + i + i^{2} + \dots + i^{N}

e, portanto,

i S_{N} = \sum_{n = 0}^{N} i^{n + 1} = i + i^{2} + i^{3} + \dots + i^{N + 1} .

Subtraindo

S_{N} - i S_{N} = S_{N} (1 - i) = 1 - i^{N + 1}

temos uma expressão adicional para a soma procurada, ou seja

S_{N} = \frac{1 - i^{N + 1}}{1 - i} = \frac{1 - i^{r + 1}}{1 - i} = S_{r}

onde a última igualdade é devida à expressão 6. Isto significa que somar todos os N termos equivale a somar os r primeiros termos:

S_{0} = \sum_{n = 0}^{0} i^{n} = 1, S_{1} = \sum_{n = 0}^{1} i^{n} = 1 + i,

S_{2} = \sum_{n = 0}^{2} i^{n} = 1 + i + i^{2} = i, S_{3} = \sum_{n = 0}^{3} i^{n} = 1 + i + i^{2} + i^{3} = 0 .

Veremos que um procedimento semelhante facilitará a solução das questões 11a e 11b.

(3e) ${(x + i y)}^{n} {(x - i y)}^{n} = z^{n} {\overline{z}}^{n} = {(z \overline{z})}^{n} = {({| z |}^{2})}^{n} = {(x^{2} + y^{2})}^{n} .$

(9a) Decomponha o polinômio $P (x) = x^{4} + 1$ em fatores do $2^{o .}$ grau com coeficientes reais. Para fazer isto usaremos o produto notável $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2} .$ Escrevemos $1 = - i^{2}$ e assim

P (x) = x^{4} - i^{2} = (x^{2} + i) (x^{2} - i) .

Os dois fatores, no entanto, contém coeficientes complexos. Para obter a decomposição com coeficientes reais podemos usar a raíz de i:

i = w^{2} \Rightarrow w = \frac{1 + i}{\sqrt{2}} .

Tomando o conjugado complexo de $i = w^{2}$ obtemos $- i = {\overline{w}}^{2}$ reescrevemos o polinômio

P (x) = (x^{2} - {\overline{w}}^{2}) (x^{2} - w^{2}) = (x + \overline{w}) (x - \overline{w}) (x + w) (x - w) .

Reagrupando os termos de forma conveniente temos

P (x) = [(x + w) (x + \overline{w})] [(x - w) (x - \overline{w})] = (x^{2} + \overline{w} x + w x + w \overline{w}) (x^{2} - w x - \overline{w} x + w \overline{w}) .

Usando agora as seguintes propriedades

w + \overline{w} = 2 Re w = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}

w \overline{w} = {| w |}^{2} = {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{2} = 1,

podemos completar o exercício:

P (x) = (x^{2} + \sqrt{2} x + 1) (x^{2} - \sqrt{2} x + 1) .

(11) Sendo $w$ é uma raíz $n$ -ésima qualquer da unidade diferente de 1 ( $w = \sqrt{1},$ $w \neq 1$ ) então:

(a) $1 + w + w^{2} + \dots + w^{n - 1} = 0 .$ Escrevemos

L = 1 + w + w^{2} + \dots + w^{n - 2} + w^{n - 1}

w L = w + w^{2} + \dots + w^{n} = w + w^{2} + \dots + w^{n - 1} + 1,

onde usamos $w^{n} = 1$ . Observemos acima que $w L = L$ donde

w L - L = L (w - 1) = 0 .

Como $w \neq 1$ concluímos que $L = 0 .$

(b) $1 + 2 w + 3 w^{2} + \dots + n w^{n - 1} = \frac{n}{w - 1} .$ Definimos

S = 1 + 2 w + 3 w^{2} + \dots + n w^{n - 1},

portanto

w S = w + 2 w^{2} + 3 w^{3} + \dots + n w^{n} = w + 2 w^{2} + 3 w^{3} + \dots + n .

Dai

S (1 - w) = 1 + w + w^{2} + \dots + w^{n - 1} - n .

Usando o resultado do ítem anterior $1 + w + w^{2} + \dots + w^{n - 1} = 0$ e

S = \frac{n}{w - 1} .

(13a) $\exp (3 + 7 π i) = e^{3} e^{7 π i} = - e^{3} .$ Observe que $e^{7 π i} = e^{6 π i} e^{π i} =$ $- 1 .$

(14h) Buscamos conjunto no plano complexo satisfazendo $Re (1 - z) = | z | .$ Escrevendo z em forma cartesiana, temos que

z - 1 = x - 1 + i y .

Sua parte real é $Re (1 - z) = x - 1$ e $Re (1 - z) = | z | \Rightarrow x - 1 = \sqrt{x^{2} + y^{2}} .$ Elevando os dois lados ao quadrado temos

x^{2} + y^{2} = {(x - 1)}^{2} = 1 - 2 x + x^{2}

que é a parábola

x = \frac{1}{2} (1 - y^{2}) .

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1.1 História das Números Complexos

1.2 Números complexos

1.2.1 A álgebra dos complexos

1.2.2 Representação cartesiana e polar

1.2.3 Exercícios Resolvidos:

1.2.4 Produto e quociente na forma polar

1.2.4 Fórmulas de de Moivre e de Euler

1.2.6 Extração de raízes

1.2.7 Exercícios Resolvidos

1.3 Subconjuntos de $ℂ$

1.3.1 Exercícios

1.3.2 Algumas Soluções

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