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História dos Números Complexos

As equações do segundo grau apareceram na Matemática aproximadamente 1700 anos antes de Cristo, registradas nas tabuletas de argila da Suméria. Em alguns casos elas levavam a raízes de números negativos que, em geral, eram descartadas. O primeiro exemplo de raiz de número negativo foi publicado, aproximadamente em 75 d.C. por Heron, em um cálculo sobre o desenho de uma pirâmide em que surge a necessidade de avaliar a raiz $\sqrt{84-100}$. Heron, no entanto, simplesmente substituiu este número por $\sqrt{100-84}$.

Aproximadamente no ano 275 d.C. Diofanto de Alexandria, resolvendo um problema geométrico, chegou à equação

${\displaystyle 24x^2-172x+366=0}$

cujas raízes são $x=(\pm 43\sqrt{-167})/12$. Ele continuou sem dar maiores explicações sobre o significado da raiz de um número negativo. Por volta de 850 d.C. o matemático indiano Mahavira afirmou que "... como na natureza das coisas um negativo não é um quadrado, ele não tem, portanto raiz quadrada" . Bhaskara (1114 – 1185 aproximadamente) afirmou: "O quadrado de um afirmativo é um afirmativo; e a raiz quadrada de um afirmativo é dupla: positiva e negativa. Não há raiz quadrada de um negativo pois ele não é um quadrado."

O matemático Luca Paccioli (1445 – 1514) publicou em 1494 que a equação $x^2+c=bx$ é solúvel se $b^2\ge 4c$ e o francês Nicola Chuquet (1445 – 1500) faz observações semelhantes sobre "soluções impossíveis" em uma publicação de 1484.

Gerônimo Cardano (1501 – 1576) considerava que o surgimento de radicais negativos na resolução de um problema apenas indicava que o mesmo não tinha solução, mas apesar disso resolveu um problema que consiste em dividir um segmento de comprimento 10 em duas partes tal que o produto delas seja 40, a partir da equação $x(10-x)=40$ ou $x^2-10x+40=0$ cujas soluções são $x=5\pm \sqrt{-15}.$ Cardano sustentava que esta equação não tem solução, mas observou que a soma das duas raízes é 10 e seu produto é 40, desde que se aceite que ${\left(\sqrt{-15}\right)}^2=15$.

Embora a solução de equações do segundo grau já demandem a existência dos complexos, o reconhecimento da necessidade destes só surgiu na resolução da equações do terceiro grau, dos seguintes tipos: $x^3+ax=b,x^3=ax+b$ e $x^3+b=ax.$ Em 1545 Cardano publicou uma fórmula para resolver equações do terceiro grau, que ficou conhecida por "Fórmula de Cardano". Sabemos, no entanto, que ele recebeu de Tartaglia (1500 – 1557 aproximadamente) a sugestão para esta fórmula. Raphael Bombelli (1526 – 1573) um admirador de Cardano, decidiu escrever um livro sobre os mesmos assuntos procurando explorar o assunto com maior clareza, e o publicou em 1572. Neste livro, enquanto resolvia a equação $x^3=15x+4$ pela fórmula de Cardano encontrou a raiz

${\displaystyle x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}},}$

solução desprezada por Cardano como sendo “irredutível”. Bombelli, no entanto, propôs o que ele mesmo chamou de “idéia louca”, a sugestão de que $\sqrt{-1}$ pudesse ser usado matematicamente desde que observadas algumas regras (aquelas que hoje chamamos de álgebra dos complexos). Neste caso o número $a+b\sqrt{-1}$ é raiz de $2+\sqrt{-121}$ se ${(a+b\sqrt{-1})}^3=2+\sqrt{-121}$ ou, após manipulação algébrica, $a=2$ e $b=1$. Desta forma a raíz citada acima se converte

${\displaystyle x=(2+\sqrt{-1})+(2-\sqrt{-1})=4,}$

uma solução real que pode ser verificada diretamente na equação cúbica a ser resolvida.

Uma das dificuldades que Bombelli se deparava era a de não possuir uma notação adequada para seus cálculos. Ele usava uma notação sincopada, uma forma resumida da descrição literal que era feita anteriormente. Por exemplo, ele escrevia

${\displaystyle \sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}\mathrm{ \; como\; }{R}_c\lfloor 2p{R}_q\lfloor 0-121\rfloor \rfloor .}$

Observe que nesta época até mesmo o entendimento dos números negativos não estava totalmente consolidado, sendo que $-121$ era escrito como $0-121$. Mesmo assim ele pode mostrar o papel importante que os números conjugados complexos viriam a desempenhar no futuro. Efetivamente o símbolo $\sqrt{-1}$ foi usado pela primeira vez por Albert Girard em 1629, quando enunciou claramente as relações entre raízes e coeficientes de uma equação.

O uso de $i$ como unidade imaginária, $i=\sqrt{-1},$ foi adotado por Euler em 1777, mas só publicado em 1794 em seu Institutionum calculi integralis. Ele observou na época que $ii=-1$ o que leva à $1/i=-i$. O símbolo se tornou amplamente aceito após seu uso por Gauss em 1801. Embora os termos real e imaginário já tivessem sido usados René Descartes em 1637, a expressão número complexo só foi introduzida por Gauss em 1832.

A partir do trabalho de Bombelli os números complexos passaram a ser usados, mesmo que se duvidasse de sua existência. A primeira tentativa para atribuir um significado concreto aos números complexos por meio de uma "interpretação geométrica" é devida a John Wallis (1616 – 1703) em um trabalho que discutia a impossibilidade da existência de quantidades imaginárias e comparando este tema com questão à existência de quantidades negativas.

Em 1702 Jean Bernoulli afirmou que um número e seu oposto tem o mesmo logaritmo. Esse fato intrigou os matemáticos do início do século XVIII, que não sabiam como atribuir um valor ao logaritmo de um número negativo. Coube a Euler, em 1747, explicar a questão em uma carta dirigida a d'Alembert.

Em 1707 Moivre publicou a solução da equação de grau ímpar, por um método análogo ao de Cardano. A fórmula de Moivre, ${(\cos \theta +i\mathrm{sen}\theta )}^n=\cos \left(n\theta \right)+i\mathrm{sen}\left(n\theta \right)$ foi publicada em 1722 para alguns casos particulares do argumento $\theta .$ Em1748 Euler, além de demonstrar a validade da fórmula para o caso geral, estendeu sua validade para todo expoente real, estabelecendo definitivamente a existência de raízes no campo complexo.

A formalização completa dos números complexos como pares ordenados de números reais foi desenvolvida em 1833 por Hamilton (1805 – 1865) e em 1847 por Cauchy (1789 – 1857).

Equações Diferenciais

Equações diferenciais são um ramo importante do cálculo e da análise matemática e representam, provavelmente, a parte da matemática que maior número de aplicações encontra na física e na engenharia. Sua história tem origem no início do cálculo, desenvolvido por Newton e Leibniz no século XVII. Equações que envolvem as derivadas de uma função desconhecida logo apareceram no cenário do cálculo, mas, com igual rapidez se constatou que elas não são sempre fáceis de serem resolvidas. As mais simples são aquelas que podem ser diretamente integradas, por meio do uso do método de separação de variáveis, desenvolvido por Jakob Bernoulli e generalizado por Leibniz.

No século XVIII muitas equações diferenciais começaram a surgir no contexto da física, astronomia e outras aplicações. A equação de Newton para a gravitação universal foi usada por Jakob Bernoulli para descrever a órbita dos planetas em torno do Sol. Já nesta época ele podia usar as coordenadas polares e conhecia a catenária como solução de algumas equações. Halley usou os mesmos princípios para estudar o movimento do cometa que hoje tem o seu nome. Johann Bernoulli, irmão de Jakob, foi um dos primeiros a usar os conceitos do cálculo para modelar matematicamente fenômenos físicos e usar equações diferenciais para encontrar suas soluções. Ricatti (1676 - 1754) levou a sério o estudo de uma equação particular que levou o seu nome e, mais tarde, foi também estudada pelos irmãos Bernoulli. Taylor foi o primeiro a usar o desenvolvimento de funções em séries de potência para encontrar soluções. Não havia, no entanto, uma teoria global ou unificada sobre esta técnica.

Leonhard Euler, o primeiro matemático a compreender profundamente o significado das funções exponencial, logaritmica e trigonométricas, desenvolveu procedimentos gerais para a solução de equações diferenciais. Além de usar as funções elementares ele desenvolveu novas funções, definidas através de suas séries de potências como soluções de equações dadas. Sua técnica dos coeficientes indeterminados foi uma das etapas deste desenvolvimento. Em 1739 Euler desenvolveu o método da variação dos parâmetros e, mais tarde, propôs técnicas numéricas que fornecem “soluções aproximadas” para quase todo o tipo de equação.

Posteriormente muitos outros estudiosos de dedicaram ao assunto, refinando e ampliando as técnicas de Euler. A trabalho de d'Alembert na física matemática permitiu que ele encontrasse soluções para algumas equações diferenciais parciais simples. Lagrange seguiu de perto os trabalhos de Euler e aperfeiçoou os estudos aplicados à mecânica, em particular no problema de três corpos e no estudo da energia potencial. Em 1788 ele introduziu as equações gerais do movimento para sistemas dinâmicos, o que hoje é conhecido como as equações de Lagrange, onde fazia uso do chamado cálculo variacional. O trabalho de Laplace na estabilidade do sistema solar produziu novos avanços, incluindo para o uso de técnicas numéricas. Em 1799 ele apresentou o conceito do Laplaciano de uma função. Já o matemático Legendre trabalhou com equações diferenciais, primeiramente motivado pelo estudo do movimento de projéteis, examinando pela primeira vez a influência de fatores como a resistência do ar e velocidades iniciais. Muitos dos desenvolvimentos seguintes se referem às equações diferenciais parciais. Parte importante deste desenvolvimento foi obtida por Fourier em sua busca por soluções do problema de difusão do calor. Ele desenvolveu uma representação de funções sob a forma de séries infinitas de funções trigonométricas, úteis para o tratamento de equações parciais e diversas outras aplicações.

Até o início do século XIX o estudo das equações diferenciais, e do cálculo como um todo, padeciam de uma deficiência crônica no que se refere à fundamentação teórica de seus princípios. Esta fundamentação começou então a ser construída, iniciando pelo entendimento da teoria e conceitos das funções de variáveis complexas. Gauss e Cauchy foram os principais responsáveis por estes avanços. Gauss usou equações diferenciais para aprimorar as teorias de órbitas e da gravitação planetárias e estabeleceu a teoria do potencial como parte importante da matemática. Ele mostrou que as funções de variáveis complexas eram a chave para compreender muitos dos resultados exigidos pelas equações diferenciais. Cauchy usou equações diferenciais para modelar a propagação das ondas na superfície de um líquido. Ele foi o primeiro a definir de forma satisfatória a noção de convergência de uma série infinita, dando início à análise rigorosa do cálculo e das equações diferenciais. Cauchy também desenvolveu uma teoria sistemática para os números complexos e a usou a transformada de Fourier para encontrar soluções algébricas para as equações diferenciais. A solução de equações diferenciais nas proximidades de um ponto singular foi elaborada por Frobenius.

Muitas outras contribuições têm sido acumuladas ao longo da história mais recente. Poisson utilizou as técnicas das equações diferenciais a aplicações na física e em sistemas mecânicos, incluindo a elasticidade e vibrações. Green aperfeiçoou os fundamentos da matemática utilizada em aplicações da gravitação, da eletricidade e do magnetismo. Baseados nestes fundamentos Thomson, Stokes, Rayleigh e Maxwell, construiram a teoria moderna do eletromagnetismo. Bessel utilizou a teoria das equações para o estudo da astronomia, buscando analisar perturbações dos planetas sobre as suas órbitas. Joseph Liouville foi o primeiro a resolver problemas de valor de contorno usando equações integrais, um método mais tarde aperfeiçoado Fredholm e Hilbert.

Em meados do século XIX novas ferramentas se tornaram necessárias para a solução de sistemas de equações diferenciais. Jacobi desenvolveu a teoria dos determinantes e transformações para a solução de integrais múltipla e equações diferenciais. O conceito de jacobiano de uma transformação foi elaborado em 1841. Cayley também contribuiu para teoria das matrizes e determinantes publicando diversos artigos sobre matemática teórica, dinâmica e astronomia. Gibbs estudou a termodinâmica, eletromagnetismo e mecânica, sendo considerado a pai da análise vetorial.

Os avanços durante o final do século XIX adquiriram uma natureza cada vez mais teórica. Em 1876 Lipschitz obteve a prova dos teoremas de existência para equações de primeira ordem. Uma contribuição importante para o estudo das equações diferenciais, apesar de não imediatamente reconhecida pela comunidade dos matemáticos devido a sua falta de rigor, foi feita por Oliver Heaviside. Entre 1880 e 1887 ele desenvolveu o cálculo operacional e o uso da transformada de Laplace para reduzir equações diferenciais a equações algébricas de solução muito mais simples. Como vantagem adicional seu formalismo permite o tratamento de sistemas com entradas descontínuas e é extensamente usado na engenharia, especialmente na eletrônica e no tratamento de sinais.

No século XX os maiores impulsos vieram do desenvolvimento de métodos numéricos mais eficientes e da consideração de equações e sistemas de equações diferenciais não lineares. Carl Runge desenvolveu um método para resolver equações associadas à mecânica quântica, atualmente conhecido como método de Runge-Kutta. O outro tema permanece em aberto e recebendo contribuições importantes até o presente. Muitos fenônenos naturais são descritos por equações não lineares. Uma das características destes sistemas consiste na dependência muito sensível das condições iniciais, o que gera comportamentos de difícil previsibilidade que têm sido denominados de caos. Um exemplo importante de sistema não linear é o sistema de equações que descreve o movimento de muitos corpos, por exemplo na descrição do movimento planetário no sistema solar. Outros sistemas não lineares representam o crescimento de espécies em competição, o fluxo turbulento de fluidos, a descrição das condições meteorológicas, entre outros. Henry Poincaré (1854 – 1912), matemático, físico e filósofo da ciência foi um dos precursores deste assunto, sendo o primeiro a descobrir o comportamento caótico das soluções para sistemas de três corpos. Liapunov, Lorenz e muitos outros matemáticos trabalharam nesta área que continua em franca expansão e é de se esperar que o progresso nesta área traga grandes inovações na descrição de diversas áreas do conhecimento.

História dos Símbolos

Já em 1489 os sinais $+$ e $-$ aparecem em uma obra sobre aritmética comercial de João Widman d'Eger, publicada em Leipzig, Alemanha. Eles não se referiam, no entanto, às representações de soma e subtração, ou à números positivos ou negativos, mas a excessos e déficit em problemas sobre operações comerciais. Os símbolos para positivos e negativos só se difundiram na Inglaterra com o uso feito por Robert Recorde em 1557. Os mesmos sinais já eram usados anteriormente, como exemplifica o pintura destes sinais em barris para indicar se estavam ou não cheios. Os gregos antigos, como Diofanto, por exemplo, indicavam a soma por justaposição das parcelas, assim como ainda é feito no caso de frações, $1^{1/2},$ por exemplo. Os algebristas italianos usavam a palavra latina plus, ou sua letra $p$ inicial, para indicar a operação de soma.

O sinal $\times ,$ indicador de um produto, é relativamente moderno. Oughtred foi o primeiro a usá-lo em seu livro Clavis Matematicae, publicado em 1631. No mesmo ano, Harriot usou um ponto entre os fatores. Em 1637 Descartes usou a pura justaposição dos termos para indicar seu produto. Nos textos mais antigos de Leibniz encontra-se o sinal $\cap$ para indicar multiplicação e $\cup$ para a divisão. Mais tarde ele introduziu o ponto como um símbolo para a multiplicação e dois pontos ($:$) para a divisão. O sinal $÷$, segundo Rouse Ball, resultou de uma combinação de dois sinais existentes - e :. As formas $a/b$ ou ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ são atribuídas aos árabes.

Na Idade Média a igualdade entre dois termos é indicada literalmente por aequalis, do latim, ou através da abreviatura est. Xulander, matemático alemão do século XVI indicava a igualdade por dois pequenos traços paralelos verticais, ||,

(bicauſe noe .2. thynges, can be moare equalle).

Em seu primeiro livro, publicado em 1540, Record colocava o símbolo $\Psi$ entre duas expressões iguais. Mais tarde, em 1557, ele foi o primeiro a empregar os dois pequenos traços paralelos, o sinal $=,$ para indicar a igualdade. Os sinais $>$ ( maior que ) e $<$ ( menor que ) são devidos a Thomaz Harriot, que muito contribuiu com seus trabalhos para o desenvolvimento da análise algébrica.

O símbolo $\infty$ para o infinito foi introduzido por John Wallis (1616-1703) em seu livro De sectionibus conicis (Sobre as seções cônicas, 1655 ). Wallis era um estudioso clássico com grande erudição e é possível que tenha se inspirado no sinal romano para o número 1000, escrito CD ou M. Também se cogita que ele tenha tido esta idéia a partir da última letra do alfabeto grego, o ômega grego minúsculo, $\omega ,$ como uma metáfora para o limite superior, o fim.

Os símbolos para a operação de derivação, $dx,dy$ e $dx/dy,$ foram propostos por Leibniz em um manuscrito de novembro de 1675. Newton usava a notação de fluxos $\dot{x},$ $\dot{y},$ $\dot{y}/\dot{x}.$ Esta notação é ainda usada amplamente em textos de mecânica quando a trajetória de uma partícula aparece sob forma paramétrica. Por exemplo, se descrevemos a trajetória de uma partícula por meio de sua posição vetorial $\stackrel{\rightharpoonup }{r}\left(t\right)=(x\left(t\right),y\left(t\right),z\left(t\right))$ então sua velocidade será escrita como $\stackrel{\rightharpoonup }{v}\left(t\right)=(\dot{x},\dot{y},\dot{z}).$

Os símbolos $f^{\prime }\left(x\right)$ e $f^{\prime \prime }\left(x\right)$ para as derivadas de primeira e segunda ordem respectivamente foram usados primeiro por Lagrange. Em Théorie des Fonctions Analytiques, 1797, se lê simplesmente $f\prime x$ e $f\mathrm{\prime \prime }x,$ símbolos revisados mais tarde para incluir os parênteses que envolvem o argumento da função. Em 1770 Lagrange empregou $\Phi \prime =d\Phi /dx,$ omitindo por completo o argumento quando ele estava claro pelo contexto e, em 1772, $u\prime =du/dx$ e $du=u\prime dx$. O símbolo $D_{x}y$ foi usado por Louis François Antoine Arbogast (1759-1803) em De Calcul des dérivations et ses usages dans la théorie des suites et dans le calcul différentiel.

Um delta grego maiúsculo, $\Delta ,$ para indicar uma quantidade pequena ou a diferença entre funções foi usado em 1706 por Johann Bernoulli. O símbolo $\partial ,$ "d curvo" , apareceu em 1770 por sugestão de Antoine Nicolas Caritat (1743-1794) em um livro sobre equações diferenciais parciais para representar diferenciais parciais $\partial f,$ em oposição às diferencias totais $df.$ A forma $\frac{\partial u}{\partial x}$ só foi empregada em 1786 por Legendre em um texto sobre máximos e mínimos associados ao cálculo das variações. Legendre abandonou o uso deste símbolo, só recuperado mais tarde por Jacobi em 1841. O símbolo $\partial$ corresponde à letra dey cursiva no alfabeto Cirílico.

Para representar a integração Leibniz escrevia, no início de seu desenvolvimento, a palavra latina omnia (tudo) em frente à quantidade a ser integrada. Depois passou a escrever $dx$ após a integração e, em carta de 1675 para Oldenburg, secretário da Royal Society, ele sugeriu o uso de $\int ,$ uma degeneração de um S longo significando summa (soma). Em Quadratura curvarum, 1704, Newton usou uma pequena barra vertical sobre $x,$ para representar a integral de $x$. Duas barras verticais paralelas sobre $x$ indicava a integração dupla. Em outras ocasiões ele escrevia o termo a ser integrado dentro de um retângulo. As convenções de Newton, como se pode imaginar, davam margem a erros de interpretação e nunca se tornaram populares, nem mesmo entre seus seguidores diretos na Inglaterra.

Os limites de integração eram inicialmente indicados por palavras, não existindo um simbolismo para os designar. Euler foi o primeiro a sugerir o uso de uma notação específica, escrevendo os limites entre colchetes e escrevendo as palavras latinas ab e ad. Fourier deu a forma atual escrevendo ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$ para representar a integral com $x$ variando de $a$ até $b$. Este símbolo apareceu em um artigo da Memórias da Academia Francesa, 1819-20, reimpresso em Théorie analytique de la chaleur, 1822. O símbolo $\oint$ para representar a integração sobre um caminho fechado parece ter sido usado pela primeira vez em 1917 por Arnold Sommerfeld (1868-1951) no periódico Annalen der Physik.

A notação de limites foi apresentada em 1786 por Simon Antoine Jean L'Huilier (1750-1840). Em seu Exposition élémentaire des principles des calculs superieurs ele escreveu: "... para resumir e facilitar o cálculo por meio de uma notação mais cômoda é conveniente escrever

${\displaystyle lim.\frac{\Delta P}{\Delta x}}$

o limite das variações simultâneas de $P$ e de $x$ em lugar de

${\displaystyle \frac{dP}{dx},}$

de forma que

${\displaystyle lim.\frac{\Delta P}{\Delta x}\text{e}\frac{dP}{dx}}$

são a mesma coisa." Observe que L'Huilier escrevia $lim.,$ usando um ponto após o limite. Karl Weierstrass (1815-1897) adotou esta notação, abandonando o ponto.

Cauchy usou a letra grega epsilon, $\epsilon$ ou $ϵ,$ em 1821 em Cours d'analyse, embora também usasse às vezes a letra delta, $\delta .$ Alguns autores sugerem que delta significa "différence" (diferença) enquanto epsilon significa "erreur" (erro). A primeira prova de Cauchy usando epsilons e deltas é basicamente o teorema do valor intermediário para as derivadas. Na demonstração ele traduz sua definição de que a derivada é um limite do quociente das diferenças, quando este limite existe, em linguagem algébrica usando epsilons e deltas. No entanto ele não estabelece uma relação entre $\epsilon$ e $\delta ,$ não fazendo portanto distinção entre convergência uniforme ou pontual.

O operador diferencial $\nabla$ (nabla ou del) foi introduzido por William Rowan Hamilton (1805-1865). Inicialmente Hamilton usou este símbolo para representar uma função arbitrária, depois como o operador de permutações. Em 1846 Hamilton usou nabla, desenhado horizontalmente, como o operador diferencial vetorial. Maxwell e Riemann usavam a abreviatura grad para representar o gradiente. William Clifford (1845-1879) incorporou o termo divergência que denotava por $\mathrm{div}u$ ou $\mathrm{dv}u$. O símbolo ${\nabla }^2$ para representar o operador laplaciano foi proposto por Robert Murphy em 1883.

Devemos observar, como conclusão, que a notação usada para descrever um conceito em matemática é completamente arbitrária, não passando de convenções que podem, em princípio, ser totalmente alteradas. No entanto, temos que aprender com Leibniz que o estabelecimento de uma notação compacta, simples e de fácil leitura e manipulação é essencial para o desenvolvimento e uso de uma teoria. Além disto a padronização é essencial para que os conceitos sejam facilmente transmitidos e o ensino da disciplina seja simplificado. Com freqüência, na história da matemática, uma nova teoria ou a demonstração de uma conjectura é proposta de forma obscura e de difícil leitura, sendo acessível apenas a um círculo restrito de especialistas na área. Mais tarde, dependendo da generalidade e aplicabilidade da inovação ela passa por uma série de alterações, encontrando formas mais didáticas e claras de exposição e reunindo argumentações de mais fácil acesso para a comunidade mais geral. Eventualmente, em geral após a depuração e aprimoramento teórico, a novidade surge nos livros textos e é incorporada nos currículos de ensino.

Bibliografia

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