Como veremos, a simples exigência de que a velocidade da luz seja a mesma quando medida por um observador em um referencial inercial qualquer implica em profundas consequências tanto para o entendimento da mecânica quanto da estrutura do espaço-tempo.

Simultaneidade

Considere a situação ilustrada na figura 2. Dois eventos ocorrem em \(P\) e \(P^{\prime}\) igualmente distantes do observador \(O\) que está em repouso. Está observador poderá, por exemplo, coletar luz emitida pelos eventos e concluirá que os eventos foram simultâneos.

Outro observador \(O^{\prime}\) está em movimento na direção da separação entre os eventos. Como os sinais de luz levam algum tempo para alcançá-lo ele terá se deslocado de \(\Delta x\) na direção de \( P^{\prime}\) e, portanto, afirmará que \(P^{\prime}\) ocorreu antes que \(P\). Isto mostra que a simultaneidade não é um conceito absoluto. No entanto um observador em movimento transversal com relação à separação \(PP^{\prime}\), com qualquer velocidade, afirmará que os eventos ocorreram ao mesmo tempo.

Dilatação temporal

Na apresentação da TRE Einstein muitas vezes considerou necessário descrever uma forma operacional para se medir uma determinada quantidade. Para medir um intervalo de tempo, por exemplo, nada melhor que construir um relógio de luz, dada a constância de sua velocidade para todos os referenciais inerciais. Considere que dois observadores medem um intervalo de tempo, um deles no referencial \(O\) que se move com velocidade v em relação a \(O^{\prime}\). Um sinal de luz é emitido do ponto \(P_1\) , refletido por um espelho e coletado de volta em \(P_2\) ,como ilustrado na figura 3.

O observador \(O\) carrega consigo o relógio de luz e verifica que o tempo completo de ida e volta do sinal de luz é \(T = 2 \Delta t\) onde
$$ \Delta t = \frac{L}{c} . $$

O observador \(O^{\prime}\) , por sua vez, vê o relógio passar com velocidade \(v\) e medirá um intervalo de tempo \(T^{\prime} = 2 \Delta t^{\prime}\). Observe na figura que, pelo teorema de Pitágoras, temos
$$
L^{\prime 2} + \left( v \Delta t^{\prime} \right)^2 = \left( c \Delta
t^{\prime} \right)^2
$$

e, portanto,
$$
L^{\prime 2} = \Delta t^{\prime 2} \left( c^2 – v^2 \right) .
$$

Concluimos dai que
$$
\Delta t^{\prime} = \frac{L^{\prime}}{\sqrt{c^2 – v^2}} =
\frac{L^{\prime}}{c} \frac{1}{\sqrt{1 – \left( v / c \right)^2}} .
$$

Observe que \(L^{\prime} = L\) , pois não há ambiguidade no comprimento de distâncias perpendiculares à direção do movimento, logo
$$
T = \frac{2 L}{c}, \hspace{0.75em} T^{\prime} = \frac{2 L}{c}
\frac{1}{\sqrt{1 – \left( v / c \right)^2}} .
$$

Concluimos que
$$
T^{\prime} = \frac{T}{\sqrt{1 – \left( v / c \right)^2}},
$$
ou seja, o observador \(O^{\prime}\) mede intervalos de tempo maiores para o relógio em movimento, se comparado com as medidas do observador \(O\) , que está em repouso em relação ao relógio.

Contração espacial

Colocamos agora uma régua para medir a distância entre \(P_1\) e \(P_2\) nos dois referenciais. No primeiro caso ilustrado na figura 4, um observador \(O^{\prime}\) em repouso em relaçao à régua vê o feixe de luz ser emitido em \(P_1\) e recoletado em \(P_2\).

Como, para este observador, o intervalo de tempo gasto pela luz para percorrer o trajeto de ida é volta é \(T^{\prime}\), dado pela equação 3, a distância medida é \(R_0 =\) \(\overline{P_1 P_2} = vT^{\prime}\). Do ponto de vista do observador em \(O\) o relógio está fixo enquanto régua se move com velocidade \(– v\) e o tempo envolvido é \(T\). Portanto a distância percorrida é \( R = vT. \) Como conclusão os dois observadores medem uma distância diferente, relacionadas por
$$
\frac{R_0}{R} = \frac{T^{\prime}}{T} = \frac{1}{\sqrt{1 – \left( v / c
\right)^2}},
$$

o que representa uma contração espacial no sentido do movimento. O observador em movimento em relação à régua, vê seu comprimento como
$$
R = \sqrt{1 – \left( v / c \right)^2} R_0,
$$

onde \(R_0\) é o comprimento obtido por um observador parado em relação à régua.

é costume se definir os seguintes termos para o uso no contexto da TRE. A velocidade relativa do referencial ou objeto em estudo é
$$
\beta = \frac{v}{c},
$$

enquando

$$
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 – \left( \frac{v}{c} \right)^2}} =
\frac{1}{\sqrt{1 – \beta^2}} . \label{Gamma}
$$
Com estas definições podemos escrever
$$
T^{\prime} = \gamma T^{\prime}, \text{} R^{\prime} = R \sqrt{1 – \beta^2} .
$$

Concluímos que dois observadores em movimento relativo obtém diferentes resultados para medidas de intervalos de tempo e de distância ao longo do movimento. Cada observador verá as réguas do outro com menores comprimentos e seus relógios batendo mais devagar. Este fenômeno é irrelevante para os objetos da experiência diária, que têm velocidades pequenas se comparadas à da luz. No entanto dentro de aceleradores de partículas é possível acelerar partículas até velocidades muito próximas de \(c\) e, nesta situação, os efeitos relativísticos se tornam importantes.

Inúmeros exemplos podem ser citados como comprovação experimental destes resultados. Dentro dos aceladores de partículas são produzidas partículas \(\tau\) (tau), que têm meia-vida aproximada de \(3, 05 \times 10^{- 13}\) s quando observadas por um observador em repouso no referencial do laboratório. Elas se apresentam com velocidades muito altas, bem próximas da velocidade da luz⁽⁴⁾. Portanto, estas partículas não pode viajar em média uma distância superior a
$$
d = 3 \times 10^8 \hspace{0.25em} \text{m.s}^{- 1} \times 3, 05 \times
10^{- 13} \hspace{0.25em} \text{s} = 9, 15 \times 10^{- 5} \hspace{0.25em}
\text{m},
$$

antes que decaiam sob a forma de outras partículas. No entanto se observa que elas viajam por distâncias muito superiores a esta! A solução para o aparente paradoxo está na TRE. No referencial do laboratório as partículas estão em altas velocidades e por isto seus relógios internos batem mais devagar, permitindo uma viagem mais longa antes do decaimento. Para um referencial colocado sobre as partículas, o chamado referencial comóvel, o tempo flui inalterado mas as distâncias ao longo do movimento ficam contraídas e o resultado final é o mesmo.

Ambos os fenômenos dependem do fator \(\gamma\) definido acima. Partículas \(\tau\) geradas no SLAC, Stanford Linear Accelerator Collider atingem tipicamente \(\gamma = 20\) e as partículas viajam por uma distância média de
$$
20 \times (9, 15 \times 10^{- 5} \hspace{0.25em} \text{m}) = 1, 8 \times
10^{- 2} \hspace{0.25em} \text{m} \approx 1, 8 \hspace{0.25em}
\text{mm}.
$$

Na prática, em um laboratório, a medida do alcance média das partículas é usada para se calcular a meia-vida do \(\tau\).

As transformações de Lorentz