Probabilidade e Estatística

O estudo matemático das probabilidades e da estatística, além de sua evidente importância prática, representa uma grande oportunidade para o uso dos conceitos da Teoria dos Conjuntos. Por isso faremos uma revisão dos conceitos relevantes.

Conjuntos

O conceito de conjuntos é um conceito primário, básico ao entendimento de toda a matemática. Conjuntos são coleções de objetos, não necessariamente envolvendo números ou outra entidade matemática. É comum representarmos os conjuntos exibindo explicitamente seus elementos, como em

$$ C_{1}=\{\spadesuit,\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit\} $$
onde os elementos são os naipes de cartas de baralho, ou
$$ C_{2}=\{1,3,5,7,9\}=\{\text{um inteiro ímpar menor que 10}\}. $$

Na segunda forma de descrever o conjunto usamos a notação:
$$ \text{Conjunto } =\{x_i|\; \text{ alguma propriedade satisfeita pelos elementos} \}.$$
Em muitas situações o conjunto pode ser muito grande ou possuir infinitos elementos, de forma que não podemos explicitá-los, tais como o conjunto de todos os inteiros pares
$$ C_{3}=\{\left.n_i \in \mathbb{N}\right|n_i \,\,\text{ par}\} $$
ou o conjunto de pontos no plano \(\mathbb{R}^2\) sobre a circunferência de raio 1,
$$ C_{4}=\{\left.(x,\,y)\in\mathbb{R}^2\right|(x^2+y^2=1)\}. $$

Se os elementos de um conjunto podem ser contados ele é dito enumerável e sua ordem, que denotaremos por \(\text{ord}(A)=n\), é o número de seus elementos. Nos exemplos acima temos \(\text{ord}(C_{1})=4\), \(\text{ord}(C_{2})=5\). O conjunto \(C_{3}\) é enumerável, com infinitos elementos, e \(C_{4}\) não é enumerável (também possuindo infinitos elementos).

Dizemos que um elemento \(a\) pertence à um conjunto \(C\) se \(a\) é um dos elementos de \(C\). Denotamos esta relação por \(a\in C\). Caso contrário escrevemos \(a\notin C\).

A contido em B

Dizemos que um conjunto \(A\) está contido no conjunto \(B\) se todos os elementos de \(A\) estão também em \(B\). Denotamos esta relação por \(A\subset B\). Caso contrário escrevemos \(A\not\subset B\). Observe que vale a seguinte afirmação: se \(A\subset B\) e \(x\in A\Rightarrow x\in B.\)

União e Intersecção

Conjuntos podem ser combinados de várias maneiras. Por exemplo, se \(A\) e \(B\) são dois conjuntos podemos encontrar a união dos dois, \(A\cup B\), ou sua intersecção \(A\cap B\), ilustradas na figura 1. Observe que
$$ x\in A\cup B \Rightarrow x\in A\text{ ou }x\in B, $$
$$ x\in A\cap B \Rightarrow x\in A\text{ e }x\in B. $$

Um número maior de conjuntos podem também ser combinados. Se \(A_{i}\) é uma coleção de conjuntos (\(i=1,\ldots,\,n)\) denotamos a união e intersecção destes conjuntos por: \(\underset{i=1}{\cup}A_{i}, \underset{i=1}{\cap}A_{i},\) respectivamente. Observe que dois conjuntos são disjuntos se \(A\cap B=\emptyset\).

 

Definição: Se \(A\subset S\) definimos \(\bar{A},\) o complementar de \(A,\) como o conjunto de todos os elementos de \(S\) que não estão em \(A\),
$$ \bar{A}=\{x\in S;\,\,x\notin A\}. $$

Observe que \(A\cup\bar{A}=S\).

Se \(S\) é finito ou numerável com \(n\) elementos então existem \(2^{n}\) eventos associados (subconjuntos de \(S\)).

 

O produto externo é outra forma de combinar conjuntos:

$$ A\times B=\left\{ (a,b)|a\in A,b\in B\right\}. $$

Seus elementos são os pares ordenados \((a,b)\). Observe que \(\mathbb{R}^n = \mathbb{R}\times\ldots\times\mathbb{R}.\)

Experimento aleatório e espaço amostral

Um experimento é não determinístico ou aleatório se seu resultado não pode ser determinado previamente, à partir das condições iniciais do sistema usado. Na prática um experimento pode ser considerado aleatório se o conjunto das condições iniciais e sua evolução até a obtenção do resultado forem muito complexas e de difícil análise. Por exemplo, quando se atira uma moeda todas as leis envolvidas no movimento são causais e é possível prever o resultado (com que face ela cairá ao solo) se todas as condições iniciais forem conhecidas. No entanto estas condições envolvem um grande número de variáveis (tais como as colisões com partículas do ar) e é, quase sempre, mais apropriado considerar que o resultado será aleatório. Na natureza macroscópica poucos experimentos são realmente aleatórios. No nível microscópico (quântico) temos fenômenos completamente aleatórios, tais como o momento em que uma substância radioativa sofrerá um decaimento e emitirá uma partícula ou radiação.

O conjunto dos resultados possíveis para um dado experimento é denomidado seu espaço amostral. Denotaremos por \(\varepsilon\) os experimentos e \(S\) seu espaço amostral. Alguns exemplos de experimentos aleatórios (dentro das ressalvas dadas acima) são:

\(\varepsilon_{1}:\) Jogue uma moeda 4 vezes e observe número de caras resultantes. \(S=\{0,1,2,3,4\} \).

\(\varepsilon_{2}:\) Jogue uma moeda 4 vezes e verifique a sequência de caras (que denotaremos por h) e coroas (que denotaremos por t). \(S=\{ \text{(hhhh), (hhht), …, (tttt)}\} \).

\(\varepsilon_{3}:\) Jogue uma moeda 4 vezes e verifique quantas caras e coroas resultam. \(S=\{(0,4),\,(1,3),\,(2,2),\,(3,1),\,(4,0)\} \).

\(\varepsilon_{4}:\) Deixe uma lâmpada acesa até queimar. Verifique o tempo de vida da lâmpada (um espaço amostral contínuo).

\(\varepsilon_{5}:\) Em um lote com 10 peças, sendo 3 defeituosas, retire 1 de cada vez, sem repor, até que todas com defeito sejam removidas. Quantas peças serão retiradas? \(S=\{3,4,5,6,7,8,9,10\}\).

\(\varepsilon_{5′}:\) Mesmo experimento anterior. Quantas peças podem ser retiradas sem que alguma tenha defeito? \(S=\{1,2,3,4,5,6,7\}\).

Definição: Um evento relativo ao experimento \(\varepsilon\) é um subconjunto de \(S\).

Exemplo 1: São eventos associados aos experimentos já listados:

\(\varepsilon_1\): \(A=\{2\} ,\) duas caras ocorrem,

\(\varepsilon_3\): \(B=\{(3,1),\,(4,0)\}\), mais caras que coroas,

\(\varepsilon_4\): \(C=\{t |\, t \lt 3000h \}\), lâmpada queima antes de 3000 horas.

Observe que, com esta definição, \(S\) e \(\emptyset\) são ambos eventos.

Se \(A\) e \(B\) são eventos então também são eventos:

\(A\cup B\) ocorre se \(A\) ou \(B\) ocorrem,
\(A\cap B\) ocorre se \(A\) e \(B\) ocorrem,
\(\bar{A}\) ocorre se \(A\) não ocorre.

No caso de diversos eventos \(A_{i}\) associados ao experimento:

\(\underset{i}{\cup}A_{i}\) ocorre se um dos \(A_i\) ocorre,
\(\underset{i}{\cap}A_{i}\) ocorre se todos os \(A_i\) ocorrem.

Notação: Se um experimento consiste na execução do experimento \(\varepsilon\) \(n\) vezes denotamos seu espaço amostral por meio do produto externo
$$ \text{S}\times\ldots\times\text{S}=\left\{ \left(s_{1},\cdots,\,s_{n}\left|s_{i}\in S\right.\right)\right\}.$$

Definição: Dois eventos \(A\) e \(B\) são mutuamente excludentes se não podem ocorrer simultaneamente. Neste caso \(A\cap B=\emptyset\).

Definição: Uma coleção de eventos \(\{A_i\}\) é uma partição de \(S\) se

1. \(A_{i}\cap A_{j}=\emptyset\) para \(i\neq j\),

2. \(\underset{i}{\cup}A_{i}=S\),

3. \(P\left(A_{i}\right)>0,\forall i\).

Portanto, uma partição é uma coleção de subconjuntos de \(S\) mutuamente disjuntos, que cobrem todo o conjunto \(S.\) Devido à propriedade 1, quando um experimento é realizado apenas um dos eventos de uma partição ocorre de cada vez.

Definição: A cada evento de \(S\) associado ao experimento \(\varepsilon\) associamos uma probabilidade de ocorrência \(P\left(A\right)\), um número real, satisfazendo

1. \(0\leq P\left(A\right)\leq1\),

2. \(P\left(S\right)=1\),

3. Se \(A\cap B=\emptyset\) então \(P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)\).

Se \(\{A_{i}\}\) é uma coleção de eventos disjuntos (\(A_i \cap A_j=\emptyset\) para \(i\neq j\)) então \(P\left(\cup A_{i}\right)=\sum P\left(A_{i}\right)\).

Teorema: \(P(\emptyset)=0\)

Demonstração: \(A=A\cup\emptyset\) portanto \(P(A)=P\left(A\cup\emptyset\right)=P\left(A\right)+P\left(\emptyset\right)\Rightarrow P\left(\emptyset\right)=0 \)

Teorema: \(P(\overline{A})=1-P(A)\)

Demonstração: \(S=A\cup\overline{A}\), uma união disjunta. \(P\left(S\right)=1=P\left(A\right)+P\left(\overline{A}\right)\ \).

Esta última propriedade é muito interessante em alguns casos onde é mais fácil calcular \(P\left(\overline{A}\right)\), a probabilidade de não ocorrer o evento \(A\).

Teorema: \(P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)\)

Demonstração: \(A\cup B=A\cup\left(B\cap\overline{A}\right)\) e \(B=\left(B\cap A\right)\cup\left(B\cap\overline{A}\right)\). Como ambas uniões são disjuntas temos que
$$ P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\cap\overline{A}\right)\,\,\,\text{e}\,\,\,P\left(B\right)=P\left(A\cap B\right)+P\left(\overline{A}\cap B\right) $$
$$ \Rightarrow P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right).\ $$

Aplicando-se este mesmo resultado 2 vezes temos

$$
\begin{array}{rl}
P(A\cup B\cup C)= & P(A)+P(B)+P(C) \\
& -P(A\cap B)-P(B\cap C)-P(C\cap A)+P(A\cap B\cap C)
\end{array}
$$

Teorema: Se \(A\subset B\Longrightarrow P\left(A\right)\leq P\left(B\right)\)

Demonstração: Escreva \(B=A\cup\left(B\cap\overline{A}\right)\Longrightarrow P(B)=P(A)+P(B\cap\overline{A})\Longrightarrow P\left(A\right)\leq P\left(B\right).\)

Espaços amostrais finitos

Vamos considerar, nesta seção, experimentos cujos resultados são descritos por um espaço amostral consistindo de um número finito de \(k\) elementos, \(S={ a_1,\ldots,\,a_k}\). Chamaremos de um evento simples (ou elementar) a um evento formado por um resultado simples, \(A={a_i} \). A cada evento simples associaremos uma probabilidade \(p_i=P({a_i})\) satisfazendo

(a) \(0\leq p_{i}\leq1\),

(b) \(\sum_{i}^{k}p_{i}=1.\)

Notamos que \(\left\{ a_{i}\right\} \cap\left\{ a_{j}\right\} =\emptyset,\;i\neq j,\) o que significa que a coleção de todos os eventos simples de \(S\) é uma partição do espaço amostral.

Se tomarmos um evento constituído de \(r\) destes eventos simples (\(1\leq r\leq k)\; A={a’_1,\ldots,\,a’_r}\) (uma combinação de \(r\) eventos quaisquer de S) então
$$ P\left(A\right)=p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{r}=\sum^{r}p{}_{i.} $$

Isto significa que conhecemos a probabilidade de \(A\) se conhecermos a probabilidade dos elementos simples que a compõem.

Se todos os \(k\) resultados são igualmente verossímeis (ocorrem com a mesma probabilidade) então
$$ p_{i}=\frac{1}{k}\;\;\text{e}\;\;P(A)=\frac{r}{k}. $$

Resumindo, se \(A\) é formado por \(k\) resultados simples igualmente prováveis então
$$ P(A)=\frac{\text{número de casos favoráveis}.}{\text{número de casos possíveis}} $$

Exemplo 2: Atirando uma moeda 2 vezes (ou duas moedas, ao mesmo tempo) qual é a probabilidade de se obter 1 cara? O experimento consiste em contar o número de caras resultantes e o espaço amostral é \(S={0,1,2}\). O evento favorável é \(A={1 \text{ cara }}={1 h}\). Note que \(P(A)\neq\frac{1}{3}\) pois os eventos de \(S\) não são igualmente verossímeis. Uma descrição mais apropriada do espaço amostral seria:
$$
S’=\{(h,h),\,(h,t),\,(t,h),\,(t,t)\}
$$

O espaço amostral \(S’\) consiste de 4 casos possíveis, dois deles favoráveis. Portanto
$$ P(A)=P(1\text{cara})=\frac{2}{4}=0,5. $$

Isto mostra a importância de se conhecer técnicas de contagens de eventos.

Exemplo 3: Um dado honesto (bem balanceado) cai com qualquer das faces virada para cima com a mesma probabilidade. Jogando-se o dado uma vez, qual a probabilidade de que ele caia com um número maior que 2? O espaço amostral é \(S=\{1,2,3,4,5,6\}\), o evento favorável é \(A=\{3,4,5,6\}\). A probabilidade procurada é \(P(A)=4/6=2/3.\)

Exemplo 4: Jogando-se um dado 2 vezes, qual é a probabilidade de que a soma dos números obtidos seja 6?

Neste caso o espaço amostral é
$$ S=\left\{\begin{array}{cccc}
(1,1) & (1,2) & \ldots & (1,6) \\
\vdots & & & \vdots \\
(6,1) & (6,2) & \ldots & (6,6)
\end{array}\right\}.
$$

Destes eventos simples os únicos favoráveis são \(A=\{(1,5),\,(2,4),\,(3,3),\,(4,2),\,(5,1)\}.\) Portanto \(P(A)=5/36.\)

Métodos de enumeração ou contagem

Vemos que é importante saber contar quantos eventos podem resultar de um certo experimento. Consideremos então a questão: de quantas maneiras diferentes podemos dispor de \(n\) objetos (permutações)? O primeiro pode ser escolhido entre \(n\) objetos, o segundo entre \(n-1\), até o útimo objeto restante. Como ilustrado na figura, o número resultante é \(n \times (n-1) \times \cdots \times 1 =n!\).

Como notação escreveremos \(_{n}P_{n}=n!\) para indicar a permutaçao de \(n\) objetos.

De quantas formas diferentes podemos escolher apenas \(r,\;(r\lt n)\) entre \(n\) objetos diferentes? Agora a escolha é interrompida após a seleção do \(r\)-ésimo objeto. Denotando por \(_{n}A_{r}\) este número temos
$$ _{n}A_{r}=n\left(n-1\right)\cdots\left(n-r+1\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}.$$

Se a ordem em que estes \(r\) elementos entram na seleção não é relevante então temos que remover da contagem acima as seleções repetidas. Temos que \(r\) objetos podem ser permutados de \(r!\) formas diferentes. Então, denotando por \(C\) o número de modos de permutar \(r\) entre \(n\) elementos, temos
$$ C=\frac{_{n}A_{r}}{r!}=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}. $$

O número de combinações de \(n\) elementos em grupos de \(r\) elementos, sem que a ordem seja importante, aparece em diversas aplicações da matemática e recebe uma notação especial:
$$ C=\left(\begin{array}{c} n \\ r \end{array}\right)=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}. $$
Estes são os chamados coeficientes binomiais. Eles possuem diversas propriedades interessantes. Entre elas, se \(n\) é um inteiro positivo e \(0\leq r\leq n\) então

$$
\left( \begin{array}{c} n \\ r \end{array}\right) =
\left(\begin{array}{c} n \\ n-r \end{array}\right), \;\;\;\;
\left(\begin{array}{c} n \\ r \end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c} n-1 \\ r-1 \end{array}\right) +
\left(\begin{array}{c} n-1 \\ r \end{array}\right)
$$

Exemplo 5:. Na Loteria brasileira Megasena uma aposta simples consiste em escolher 6 entre 60 números. Qual a probabilidade de se escolher os 6 números sorteados? Temos que
$$ C=\left(\begin{array}{c} 60 \\ 6 \end{array}\right)=\frac{60!}{6!(54)!}=50063860 $$

é o número de resultados possíveis. A probabilidade de se acertar com um jogo simples é \(1/50063860\).

Observe que a operação acima pode ser simplificada da seguinte forma:
$$ \frac{60!}{6!(54)!}=\frac{55\times56\times57\times58\times59\times60}{2\times3\times4\times5\times6}=50063860. $$
(Os primeiros \(54\) fatores no numerador são cancelados por \(54!\) no denominador.)

Probabilidade Condicionada

Vamos usar de um exemplo para mostrar a diferença entre escolher objetos de um lote inicial, fazendo ou não a reposição dos objetos retirados após cada escolha.

Exemplo 6: Em um lote com 100 peças, 20 são defeituosas. Retiramos 2 peças e definimos dois eventos: \(\;A=\){1ª peça com defeito} \(B=\){2ª peça com defeito}. Se há reposição da peça retirada temos:
$$P(A)=\frac{20}{100}=\frac{1}{5},\;\;\; P(B)=\frac{1}{5}.$$

Mas, se não há a reposição, após a retirada da primeira peça restam 99, mas não sabemos quantas são defeituosas. Vamos denotar por \(P(B|A)\) = a probabilidade condicionada do evento \(B,\) tendo ocorrido o evento \(A.\) Se a primeira peça tinha defeito, restam 19 peças com defeito em um lote de 99, e \(P(B|A)=\frac{19}{99}\).

Como \(A\) ocorreu, o espaço amostral fica reduzido. Observe ainda que a probabilidade de \(B\) se \(A\) não tiver ocorrido é \(P(B|\overline{A})=\frac{20}{99}\).

Exemplo 7: Ex.: Dois dados são lançados e representamos o resultado por \(\left(x_{1},\,x_{2}\right).\) O espaço amostral é

$$
S=\left\{ \begin{array}{cccc}
(1,1) & (1,2) & \ldots & (1,6) \\
(2,1) & (2,2) & \ldots & (2,6) \\
\vdots & & & \vdots \\
(6,1) & (6,2) & \ldots & (6,6)
\end{array}\right\},
$$
consistindo de 36 eventos simples. Considere 2 eventos: \(A\) onde a soma dos dados é 10; \(B\) onde o primeiro resultado é maior que o segundo:

$$
\begin{array}{rl}
A= & \{(x_1,x_2)|x_1 + x_2=10\} = \{(4,6),(5,5),(6,4)\} \\ & \\
B= & \left\{(x_1,x_2)|x_1 \gt x_2\right\} \\
= & \left\{(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),\right. \\
& \left.(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)\right\}
\end{array}
$$

A probabilidade de ocorrerem \(A\) e \(B\) são, respectivamente,
$$ P\left(A\right)=\frac{3}{6},\;\;P(B)=\frac{15}{36},$$
enquanto a probabilidade condicionada de ocorrer \(B\) tendo ocorrida \(A\) é $$ P(B|A)=\frac{1}{3}. $$ O espaço amostral se reduz para \(A={(4,6),\,(5,5),\,(6,4)}\) e, entre estes eventos apenas \((6,4)\) é favorável. Da mesma forma a probabilidade de ocorrer \(A\) tendo ocorrido \(B\) é
$$ P(A|B)=\frac{1}{15}, $$

pois \(\text{ord}(B)=15\) e apenas o evento \(\left(6,4\right)\) é favorável. Observe ainda que a probabilidade de que \(A\) e \(B\) ocorram simultaneamente é
$$ P(A\cap B)=\frac{1}{36}.$$

Note que:
$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{1}{36}\frac{36}{15}=\frac{1}{15}$$
$$P(B|A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}=\frac{1}{36}\frac{36}{3}=\frac{1}{3}$$

Isto sugere a definição de probabilidade condicionada (que pode ser formalmente demostrada):

$$ P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} $$

para \(P(A)\gt 0\). É claro que, se \(P(A)=0\), \(P(B|A)=0\). Podemos então escrever

$$ P(A\cap B)=P(B|A)P(A)=P(A|B)P(B). $$

Exemplo 8: Entre 100 calculadoras temos aparelhos novos (N) e usados (U), eletrônicos (E) e manuais (M), de acordo com a tabela:

Uma é escolhida ao acaso e verifica-se que é nova. Qual probabilidade de que ela seja eletrônica?

Como já se vericou que a calculadora é nova, o espaço amostral fica reduzido à apenas 70 unidades. Nele apenas 40 calculadoras são eletrônicas. Usando a definição de probabilidade condicionada temos

$$ P(E|N)=\frac{P(E\cap N)}{P(N)}=\frac{40/100}{70/100}=\frac{4}{7}.$$

Exemplo 9: Retomamos a situação das 100 peças, sendo 20 com defeito. Qual a probabilidade de se escolher 2, sem reposição, e serem ambas defeituosas?

Definimos os eventos A = {1ª com defeito}; B = {2ª com defeito}. O evento favorável é \(A\cap B\) e sua probabilidade é

$$ P(A\cap B)=P(B|A)P(A)=\frac{19}{99}\frac{20}{100}=\frac{19}{495}. $$

Uma observação será útil antes de prosseguirmos: seja \(\{M_{i}\}\) \(i=1,\ldots,\,k,\) é uma partição de \(S\). Podemos decompor \(B\) em partes mutuamente excludentes

$$ A=(A\cap M_{1})\cup\cdots\cup(A\cap M_{k}). $$

Portanto:

$$ P(A)=\sum_{i}P(A\cap M_{i})=\sum_{i}P(A|M_{i})P(M_{i}). $$


Exemplo 10: Na mesma situação anterior, qual a probabilidade de, escolhendo 2 peças, a segunda ter defeito? Novamente temos \(A=\) {1ª com defeito}; \(B=\) {2ª com defeito}. Queremos calcular \(P(B)\). Podemos escrever \(B\) como a união disjunta \(B=\left(B\cap A\right)\cup\left(B\cap\bar{A}\right)\). Então

$$
\begin{array}{rl}
P(B)= & P\left(B\cap A\right)+P\left(B\cap\bar{A}\right)=P(B|A)P(A)+P(B|\bar{A})P(\bar{A}) \\
= & \frac{19}{99}\frac{1}{5}+\frac{20}{99}\frac{4}{5}=\frac{1}{5}.
\end{array}
$$

Exemplo 11: Um produto é manufaturado por 3 fábricas diferentes que chamaremos de \(F_{1},\,F_{2}\)e \(F_{3}\). A quantidade de peças produzida por cada fábrica e a porcentagem de defeitos são exibidas na tabela:

Fábrica produção/dia peças com defeito
F1 2 2%
F2 1 2%
F3 1 4%

Após um certo tempo a produção das 3 fábricas é colocada em um depósito e uma peça é retirada ao acaso. Qual é a probabilidade dela ser defeituosa? Vamos definir os seguintes eventos \(D=\) {peça com defeito}; \(F_i\) = {peça fabricada por \(F_i\)}, \(i=1,2,3\). Podemos usar a união disjunta \(D=\cup_{i}(D\cap F_{i})\) para calcular

$$
\begin{array}{rl}
P(A)=& \sum_{i}P(D\cap F_{i})=\sum_{i}P(D|F_{i})P(F_{i})\\
=& P(D|F_{1})P(F_{1})+P(D|F_{2})P(F_{2})+P(D|F_{3})P(F_{3}) \\
=& 00,2\frac{1}{2}+00,2\frac{1}{4}+00,4\frac{1}{4}=0,025.
\end{array}
$$

Podemos ainda fazer a seguinte pergunta: Suponha que a peça retirada é defeituosa. Qual é a probabilidade de que ela tenha sido produzida na \(F_1?\) Queremos, portanto, \(P(F_{1}|D)\). Usamos

$$
\begin{array}{rl}
P(F_1|D)= & \frac{P(D|F_1)P(F_1)}{P(D)}=\frac{P(D|F_1)P(F_{1})}{\sum_{i=1}^{3}P(D|F_i)P(F_i)}= \\
& \frac{(0,02)\frac{1}{2}}{(0,02)\frac{1}{2}+(0,02)\frac{1}{4}+(0,04)\frac{1}{4}}=0,04,
\end{array}
$$

onde, na segunda igualdade, foi usado o fato de que \({F_i}\) é uma partição do espaço amostral.

Teorema de Bayes

Seja \({B_i}\) uma partição do espaço amostral e \(A\) um evento de \(S.\) Então
$$ P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)\,P(B_i)}{\sum_{k=1}^{3}P(A|B_k)\,P(B_k)},\:i=1,…,\,n. $$

Eventos independentes

Dois eventos são ditos independentes se a ocorrência de um não afeta a probabilidade de ocorrência do outro.

Exemplo 12: Um dado é jogado 2 vezes. Definimos os eventos \(A=\){1º mostra número par}, \(B=\){2º cai 5 ou 6}. Vemos que são dois eventos não relacionados. Temos

$$ P(A)=\frac{1}{2},\;\; P(B)=\frac{1}{3}.$$
$$ P(A\cap B)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}, $$

pois \(A\cap B=\{(2,5),(2,6),(4,5),(4,6),(6,5),(6,6)\}\). Consequentemente

$$ P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{1}{2}. $$

Observamos que \(P(A|B)=P(A).\) Da mesma forma \(P(B|A)=P(B).\)

Definição: \(A\)e \(B\)são eventos independentes se, e somente se, \(P(A\cap B)=P(A)P(B).\)

Uma boa revisão sobre a Teoria dos Conjuntos pode ser vista em Gigamatematica: Conjuntos Enumeráveis

5 – Singularidades e Resíduos

Como vimos a analiticidade de uma função complexa é uma característica bastante restritiva. é possível que uma função seja analítica em uma região e não seja em outra, ou que deixe de ser analítica apenas em um número finito de pontos de seu domínio.

Definição: Se uma função \(f\) é analítica em uma região \(R\), exceto em um subconjunto \(S\) de \(R\) então os pontos de \(S\) são chamandos de pontos singulares desta função ou, simplesmente, singularidades. Como exemplo, \(z_0=0\) é singularidade de \(1/z\) e \(1/z^{2}\), enquanto \(z_0=\pm i\) são as singularidares de \(1/(z^{2}+1)\). Por outro lado a função \(f(z) =\left\vert z\right\vert^{2}\) não tem nenhum ponto singular já que não é analítica em nenhum ponto de seu domínio. As séries de Laurent representam o instrumento adequado para o estudo das sigularidades de uma função.

Singularidades isoladas

Se \(f\) é analítica em alguma vizinhança de um ponto \(z_0\), exceto no próprio ponto \(z_0\), então dizemos que \(z_0\) é uma singularidade isolada da função \(f\). Como exemplo temos que a função
$$
f(z) =\frac{1}{1-\cos z}
$$
é singular nos pontos \(z=2n\pi,\;\;n=0,\pm 1,\ \pm 2,\cdots\), que são os pontos onde o denominador se anula. Se \(z_0\) é uma singularidade isolada de uma função \(f\) então ela admite o desenvolvimento de Laurent
$$
f(z)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^{n}}+\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_0)^{n}=\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_0)^{n},
$$
válido na região \(0\lt \left\vert z-z_0\right\vert \lt r,\;\) a chamada vizinhança perfurada de \(z_0\). Os coeficientes da expansão são, como já vimos,

(1)

$$
a_{n}=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C}\frac{f(z) dz}{(z-z_0)^{n+1}},
$$
onde \(C\) é um contorno fechado que envolve \(z_0\) uma vez, no sentido positivo. Em particular estaremos interessados em obter o coeficiente \(a_{-1}\), definido abaixo, por um motivo que logo ficará claro.

Definição: Ao coeficiente \(a_{-1}\) da expansão de Laurent para uma função \(f\) analítica em uma vizinhança perfurada de \(z_0\) chamamos de resíduo de \(f\) no ponto singular isolado \(z_0\) e denotamos

(2)

$$
\text{Res}( f,z_0) =a_{-1}=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C}f(z) dz.
$$

A expressão acima fornece uma forma para o cálculo de uma integral de contorno com integrando complexo. Para isto basta encontrar a expansão de Laurent em séries para o integrando e identificar o resíduo da função em seu ponto singular Embora pela equação (2) acima já sabemos que \(\oint\nolimits_{C}f(z) dz=2\pi i\text{Res}( f,z_0)\), pode ser esclarecedor, apesar de repetitivo, mostrar o seguinte procedimento. Se \(z_0\) é ponto singular isolado de \(f\) então esta função admite a série de Laurent
$$
f(z) =\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_0)^{n}.
$$
Dentro da região de convergência da série ela pode ser integrada termo a termo,

(3)

$$
I=\oint\limits_{C}f(z) dz=\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty}a_{n}\oint\limits_{C}(z-z_0)^{n}dz.
$$
Fazendo \(z-z_0=\delta e^{i\theta }\) temos \(dz=i\delta e^{i\theta }d\theta\) e, caso \(n\neq -1\),
$$
\oint\limits_{C}(z-z_0)^{n}dz=i\delta^{n+1}\int_0^{2\pi}e^{i\theta ( n+1)}d\theta =i\delta^{n+1}\left. \frac{e^{i\theta ( n+1)}}{i( n+1)}\right\vert _0^{2\pi }=\frac{\delta^{n+1}}{n+1}\left[ e^{2( n+1) i\pi }-1\right] =0.
$$
O único termo não nulo ocorre para \(n=-1\),
$$
\oint\limits_{C}\frac{dz}{z-z_0}=2\pi i.
$$
Como já afirmado, a integral avaliada em (3) é
$$
\oint\limits_{C}f(z) dz=2\pi i\ a_{-1}.
$$

O uso do cálculo de resíduos para calcular integrais sobre contornos fechados de uma função que envolve pontos singulares isolados é exemplificado a seguir.

Exemplo 1: Podemos calcular a integral
$$
I=\oint\limits_{\left\vert z\right\vert =2}e^{-z}(z-1)^{-2}dz
$$
simplesmente encontrando o resíduo do integrando. A única singularidade deste integrando é \(z_0=1\), um ponto que está na região interior ao contorno de integração. Devemos então encontrar a série de Laurent para o integrando. Para isto observe que
$$
e^{-z}=e^{-z+1-1}=e^{-1}e^{-(z-1)
}=e^{-1}\sum\limits_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{n!}(
z-1)^{n},
$$
e, portanto,
$$
f=\frac{e^{-z}}{(z-1)^{2}}=\frac{e^{-z}}{(z-1)^{2}}\left[ 1-(z-1) +\frac{(z-1)^{2}}{2!}-\frac{(z-1)^{3}}{3!}+\ldots \right],
$$
$$
=\frac{e^{-z}}{(z-1)^{2}}\left[ \frac{1}{(z-1)^{2}}-\frac{1}{(z-1)}+\frac{1}{2!}-\frac{(z-1)}{3!}+\ldots \right]
$$
de onde ser observa que \(a_{-1}=\text{Res}( f,1) =-e^{-1.}\) Portanto temos que
$$
\oint\limits_{\left\vert z\right\vert =2}e^{-z}(z-1)^{-2}dz=2\pi i\text{Res}( f,1) =-\frac{2\pi i}{e}.
$$

Exemplo 2: Para calcular \(\oint\nolimits_{\left\vert z\right\vert =1}\exp ( 1/z^{2}) dz\) observamos que a única singularidade do integrando é \(z=0\), um ponto interior ao contorno de integração. Observe que, fazendo \(u=1/z^{2}\) temos
$$
e^{u}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }\frac{u^{n}}{n!}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}\frac{1}{z^{2n}}=1+\frac{1}{z^{2}}+\frac{1}{2!z^{4}}+\frac{1}{3!z^{6}}+\ldots ,
$$
convergente em \(\left\vert z\right\vert \gt 0\). O resíduo é \(\text{Res}( f,0) =0\) e
$$
\oint\limits_{\left\vert z\right\vert =1}\exp ( 1/z^{2}) dz=2\pi i\text{Res}( f,0) =0.
$$

O teorema dos resíduos

Enunciamos a seguir o teorema dos resíduos, útil para o cálculo de integrais realizada sobre um caminho que circula um número finito de singularidades. Observamos que, se uma função possui um número finito de pontos singulares em um domínio então estes pontos são necessariamente isolados.

Teorema: Seja \(f\) uma função analítica sobre o contorno fechado \(C\) e em seus pontos interiores, exceto em um número finito de pontos, \(z_{1},\ z_{2},\ldots ,\ z_{n}\), interiores a \(C\). Então
$$
\oint\limits_{C}f(z) dz=2\pi i\sum\limits_{k=1}^{n}\text{Res}( f,z_{k}) ,
$$
onde o contorno é percorrido uma vez, no sentido positivo e \(\text{Res}( f,z_{k})\) é o resíduo da função \(f\) no ponto \(z_{k}\).

Demonstração: Como os pontos singulares são isolados podemos construir círculos \(C_{k}\) com centro em \(z_{k}\) e raios suficientemente pequenos para que cada círculo envolva apenas a singularidade em seu centro. Em seguida construimos o caminho \(\gamma =C\cup (-C_{1}) \cup(-C_{2}) \cup \ldots \cup (-C_{k}),\) como mostrado na figura 1.

Figura 1.

A função \(f\) é analítica em \(\gamma\) e seu interior de forma que
$$
0=\oint\limits_{\gamma }f(z) dz=\oint\limits_{C}f(
z) dz-\oint\limits_{C_{1}}f(z)
dz-\oint\limits_{C_{2}}f(z) dz-\ldots
-\oint\limits_{C_{n}}f(z) dz
$$
ou seja
$$
\oint\limits_{C}f(z)
dz=\sum\limits_{k=1}^{n}\oint\limits_{C_{1}}f(z) dz=2\pi
i\sum\limits_{k=1}^{n}\text{Res}( f,z_{k}).
$$

Exemplo 3: Para mostrar a utilidade do teorema acima vamos calcular
$$
\oint\limits_{\left\vert z\right\vert =2}\frac{5z-2}{z(z-1)}dz.
$$
Observamos, inicialmente, que os pontos sigulares do integrando são \(z=0\) e \(z=1\), ambos interiores à região circundada por \(C\). Devemos determinar os resíduos do integrando nestes pontos. Em torno de \(z=0\) a função \(1/( 1-z)\) é analítica e tem série de Taylor dada por
$$
\frac{1}{z-1}=-\sum\limits_{n=0}^{\infty }z^{n},\ \left\vert z\right\vert \lt 1.
$$
O integrando pode ser escrito como
$$
\frac{5z-2}{z}\frac{1}{z-1}=\frac{2-5z}{z}\sum\limits_{n=0}^{\infty}z^{n}=( \frac{2}{z}-5) \sum\limits_{n=0}^{\infty }z^{n}=
$$
$$
=2\sum\limits_{n=0}^{\infty }z^{n-1}-5\sum\limits_{n=0}^{\infty }z^{n}=\frac{2}{z}-3\sum\limits_{n=0}^{\infty }z^{n},
$$
válida em \(0\lt \left\vert z\right\vert \lt 1\). Concluímos que \(\text{Res}( f,0) =2\).

Por outro lado, na vizinhança de \(z=1\) temos que \(1/z\) é a função analítica. Queremos escrever o integrando em potências de \((z-1)\) para descobrir qual é o seu resíduo neste ponto. Fazemos
$$
\frac{1}{z}=\frac{1}{z-1+1}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(z-1)^{n},\;\; \left\vert z-1 \right\vert \lt 1,
$$
e, portanto,
$$
\frac{5z-2}{z(z-1)}=( \frac{5z-5+3}{z-1}) \frac{1}{z}=( 5+\frac{3}{z-1}) \sum\limits_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(z-1)^{n}=
$$
$$
=5\sum\limits_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(z-1)
^{n}+3\sum\limits_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(z-1)
^{n-1}=\frac{3}{z-1}+2\sum\limits_{n=0}^{\infty }(-1)
^{n}(z-1)^{n}.
$$
Na última igualdade foi feito:
$$
3\sum\limits_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(z-1)^{n-1}=\frac{3}{z-1}+3\sum\limits_{n=1}^{\infty }(-1)^{n}(
z-1)^{n-1}=\frac{3}{z-1}+3\sum\limits_{n=0}^{\infty }(
-1)^{n+1}(z-1)^{n}.
$$
O resíduo neste ponto é \(\text{Res}( f,1) =3\) e
$$
\oint\limits_{\left\vert z\right\vert =2}\frac{5z-2}{z(z-1)}dz=2\pi i\left[ \text{Res}( f,0) +\text{Res}(
f,1) \right] =10\pi i.
$$

Observe que, neste caso, seria mais fácil escrever o integrando usando frações parciais,
$$
\frac{5z-2}{z(z-1)}=\frac{2}{z}+\frac{3}{z-1}
$$
e, portanto,
$$
\oint\limits_{\left\vert z\right\vert =2}\frac{5z-2}{z(z-1)}dz=2\oint\limits_{\left\vert z\right\vert =2}\frac{dz}{z}+3\oint\limits_{\left\vert z\right\vert =2}\frac{dz}{z-1}=10\pi i.
$$
Nem sempre é possível, no entanto, proceder desta última forma e, frequentemente a integração pelo método dos resíduos representa uma ferramenta poderosa para a solução de integrais definidas, como veremos.

Singularidades tipo pólo

Se a série de Laurent de uma função
$$
\begin{array}{ccc}
f(z)=& \underbrace{\sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^{n}}} & +\underbrace{\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_0)^{n}}, \\
& \text{ parte principal} & \text{ parte analítica}
\end{array}
$$
é composta por um número finito de termos na parte principal então existe um maior inteiro \(m\) tal que \(a_{-m}\) seja não nulo e

(4)

$$
f(z)=\frac{a_{-1}}{z-z_0}+\frac{a_{-2}}{(z-z_0)^{2}}+\ldots +\frac{a_{-m}}{(z-z_0)^{m}}+\sum\limits_{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_0)^{n}.
$$
Neste caso \(z_0\) é dito um pólo de ordem \(m\). Se \(m=1\) então o pólo é simples. Se a parte principal tem infinitos termos o pólo é dito essencial.

Exemplo 4: A função
$$
f(z) =\frac{z^{2}+1}{z-1}
$$
tem um pólo simples em \(z=1\). Para confirmar isto fazemos
$$
f(z) =\frac{(z-1)^{2}+2z}{z-1}=(z-1) +\frac{2z-2+2}{z-1}=(z-1) +2+\frac{2}{z-1}.
$$
Além disto \(\text{Res}( f,~1) =2\).

Exemplo 5: A função
$$
f(z) =\frac{z^{2}-2z+3}{z-2}
$$
pode ser escrita como
$$
f(z) =\frac{(z-2)^{2}+2z-1}{z-2}=(z-2) +\frac{2z-4+3}{z-2}=(z-2) +2+\frac{3}{z-2}.
$$
Então \(z=2\) é um pólo simples e \(\text{Res}( f,~2)=3\).

Exemplo 6: A seguinte função tem um pólo em \(z=0\) de ordem 3 e \(\text{Res}( f,0) =0:\)
$$
f(z) =\frac{\text{ senh }z}{z^{4}}=\frac{1}{z^{4}}(z+\frac{z^{3}}{3!}+\frac{z^{5}}{5!}+\frac{z^{7}}{7!}+\ldots ) =\frac{1}{z^{3}}+\frac{1}{3!}+\frac{z}{5!}+\frac{z^{3}}{7!}+\ldots .
$$
Já o \(\cosh ( 1/z)\) tem uma singularidade essencial em \(z=0\) e resíduo nulo:
$$
\cosh \left( \frac{1}{z} \right) =\sum\limits_{n=0}^{\infty }\frac{1}{(2n) !}\frac{1}{z^{2n}}.
$$
Recordamos que
$$
\cosh z=\frac{1}{2}( e^{z}+e^{-z}) =\frac{1}{2}(
\sum\limits_{n=0}^{\infty }\frac{z^{n}}{n!}+\sum\limits_{n=0}^{\infty
}(-1)^{n}\frac{z^{n}}{n!}) =
$$
$$
=\sum\limits_{n=\text{par}}^{\infty }\frac{z^{n}}{n!}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }\frac{z^{2n}}{( 2n) !}.
$$

Suponha que \(f\) tem um pólo de ordem \(m\) em \(z_0\). Neste caso a função
$$
\phi (z) =(z-z_0)^{m}f(z) ,
$$
definida em \(0 \lt |z-z_0|\lt r_{1}\) é uma função analítica definida em uma vizinhança de \(z_0\), exceto no próprio \(z_0\), uma vez que \(f\) não é definida neste ponto. Devido à expressão de Laurent para \(f\), dada em (4) podemos escrever

(5)

$$
\phi (z) =a_{-1}(z-z_0)^{m-1}+a_{-2}(z-z_0)^{m-2}+\ldots +a_{-m}+\sum\limits_{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_0)^{m+n},
$$
onde \(a_{-m}\neq 0\). Se definirmos esta função no ponto \(z_0\) como \(\phi (z_0) =a_{-m}\) então a representação em (5), sendo convergente, é válida na vizinhança de \(z_0\) incluindo o próprio ponto \(z_0\), definindo uma função analítica \(\phi\). A definição de \(\phi (z_0)\) dada acima é equivalente à
$$
\phi (z_0) =\lim_{z\rightarrow z_0}(z-z_0)^{m}f(z) =a_{-m}.
$$
Como \(a_{-m}\) é finito e não nulo concluímos que \(|f(z) |\) deve necessariamente tender a infinito quando \(z\rightarrow z_0\).

Um outro tipo de singularidade é a denominada ponto singular removível: se uma função \(\phi\) pode se tornada analítica em seu ponto singular \(z_0\) simplesmente por meio da atribuição de um valor conveniente para \(\phi (z_0)\) então dizemos que \(z_0\) é um ponto singular removível de \(\phi\). Um exemplo disto é a função \(\phi (z) =(z-z_0)^{m}f(z)\), definida à partir de \(f\), uma função com pólo de ordem \(m\) em \(z_0\). Observe que esta função tem representação em séries de Taylor dada por (5), de forma que

(6)

$$
a_{-1}=\frac{\phi^{( m-1)}(z_0)}{(m-1)!}.
$$
Em particular, quando o pólo é simples, \(m=1\) e \(a_{-1}\) é o resíduo da função \(f\) no ponto \(z_0\) temos que
$$
a_{-1}=\phi (z_0) =\lim_{z\rightarrow z_0}(z-z_0) f(z).
$$
Por outro lado, se uma função \(f\) é tal que o produto
$$
(z-z_0)^{m}f(z) =\phi (z)
$$
possa ser definido em \(z_0\) de modo a ser analítico neste ponto podemos encontrar a representação de Taylor
$$
(z-z_0)^{m}f(z) =\phi (z)
=\sum\limits_{n=0}^{\infty }\frac{\phi^{( n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^{n}.
$$
Um uma vizinhança de \(z_0\), para pontos distintos de \(z_0\) temos
$$
f(z) =\frac{\phi (z)}{(z-z_0)^{m}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }\frac{\phi^{( n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^{n-m}=\sum\limits_{n=-m}^{\infty }\frac{\phi^{(n+m)}(z_0)}{( n+m) !}(z-z_0)^{n}.
$$
Concluimos dai que \(f\) tem um pólo de ordem \(m\) em \(z=z_0\) e que seu resíduo é dado pela fórmula (6). Estas considerações implicam em um teste para a existências de pólos, descrito no teorema que se segue.

Teorema: Se \(f\) uma função singular no ponto \(z_0\) mas, para algum inteiro \(m\) a função
$$
\phi (z) =(z-z_0)^{m}f(z) ,\;\; \phi (z_0) \neq 0,
$$
é analítica em \(z_0\) então \(z_0\) é pólo de ordem \(m\) de \(f\) e

(7)

$$
\text{Res}(f,~z_0) =\left\{
\begin{array}{ll}
\phi (z_0) =\lim_{z\rightarrow z_0}(z-z_0)f(z) ,\; & \text{ se }\; m=1, \\
\frac{\phi^{(m-1)}(z_0)}{(m-1)!}, & \text{se }\; m \gt 1.
\end{array}
\right.
$$
Note que, em particular, as condições do teorema são satisfeitas se
$$
f(z) =\frac{\phi (z)}{(z-z_0)^{m}},\;\;m=1,2,\ldots ,
$$
e a função \(\phi\) é analítica em \(z_0\), com \(\phi (z_0)\) não nulo.

Exemplo 7: A função
$$
f(z) =\frac{\exp ( -2z)}{z^{3}}
$$
satisfaz às condições do teorema. Ela tem um ponto singular em \(z_0=0\), e
$$
\phi (z) =\exp ( -2z)
$$
é analítica e não nula em \(z=0\). Como \(m=3\) seu resíduo neste ponto, de acordo com a fórmula (7), é
$$
\text{Res}( f,\ 0) =\frac{\phi^{( 2)}(0)}{2!}=2.
$$

Exercícios :

1. Encontre os pólos, suas ordens e os resíduos das funções para cada pólo:
$$
\begin{array}{lll}
\text{ a. }\;\; \frac{z+4}{z(z^{2}+1)} & \text{ b. }\;\;
\frac{\text{sen }z}{z^{3}(z-\pi )} & \text{ c. }\;\;\frac{1}{z\text{sen }^{2}\pi z} \\
\text{ d. }\;\;\frac{1-e^{z}}{z^{4}\text{sen }( 1+z)} &
\text{ e. }\;\;\frac{e^{z}}{z( 1-e^{-z})} & \text{ f. }\;\;\frac{1}{(e^{iz}-1)^{2}}\; \\
\text{ g. }\;\;\frac{\cosh z}{z( 1-\cos z)} & \text{ h. }\;\;\frac{\text{ senh }z}{z\text{sen }^{2}(z+\pi /2)}
\end{array}
$$

2. Mostre que \(z=0\) é singularidade removível em cada uma das funções abaixo. Determine o valor a se atribuir em \(z=0\) para que as funções sejam analíticas.
$$
\begin{array}{lll}
\text{ a. }\;\; \frac{z}{e^{z}-1} & \text{ b. }\;\;\frac{e^{z}-1}{\text{sen }2z} & \text{ c. }\;\;\frac{\cosh 2z-1}{\text{sen }^{2}z} \\
\text{ d. }\;\;\frac{1}{e^{z}-1}-\frac{1}{z} & \text{ e. }\;\;\frac{1}{z}-\frac{1}{\text{sen }z} & \text{ f. }\;\;\frac{1}{(e^{iz}-1)^{2}} \\
\text{ g. }\;\;\frac{\cosh z}{z( 1-\cos z)} & \text{ h. }\;\;\frac{\text{ senh }z}{z\text{sen }^{2}(z+\pi /2)} &
\end{array}
$$

3. Encontre a parte principal da função \(f(z) =1/z(z-i)^{2}\) em relação ao pólo \(z=i\).

Algumas respostas e sugestões:

1a. \(z=0,\; i,\; -i,\;\) de ordens \(1,\, 2\) e \(2\) respectivamente.

1c. \(z=0\) de ordem 3, \(z=\pm 1,\pm 2, \pm 3, \ldots \) de ordem \(2\), cada.

1e. \(z=0\) de ordem 2, \(z=2k\pi , k\neq 0\) inteiro, de ordem 1, cada.

1g. \(z=0\) de ordem 3, \(z=2k\pi ,\; k\neq 0\;\) inteiro, de ordem 2, cada.

3. \(\frac{-i}{(z-i)^{2}}+\frac{1}{z-i}\)

Cálculo de Integrais Impróprias

Uma aplicação importante para o cálculo de integrais complexas usando a teoria dos resíduos está na avaliação de integrais impróprias com integrandos reais. Podemos desde já fornecer um exemplo deste uso.

Exemplo 8: Vamos usar o teorema dos resíduos para calcular a integral
$$
I=\int_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{x^{2}+1}.
$$
Embora esta seja uma integral real, efetuada sobre todo o eixo real, ela pode ser colocada como parte de uma integração no plano complexo, mais fácil de ser calculada. Para ver isto considere a integral
$$
\oint\limits_{C}\frac{dz}{z^{2}+1}
$$
onde \(C\) é o contorno \(C=C_{R}\cup L\), representado na figura 2. \(C_{R}\) é o arco de circunferência de raio \(R\) em \(y\gt 0\), enquanto \(L\) é o segmento de reta de \(-R\) até \(R\) sobre o eixo real.

Figura 2.

O integrando é
$$
\frac{1}{z^{2}+1}=\frac{1}{z+i}\frac{1}{z-i}=\frac{1}{2i}\frac{1}{z-i}+\frac{1}{4}\sum ( \frac{i}{2})^{n}(z-i)^{n}
$$
que tem um pólo simples em \(z=i\), o único envolvido pelo contorno, e resíduo, neste ponto \(\text{Res}( f,i) =1/2i\). Alternativamente, usando a fórmula (7) temos que
$$
(z-i) \frac{1}{z^{2}+1}=\frac{1}{z+i}=\phi
$$
que é analítica em \(z=i\). Dai o pólo é simples e
$$
\text{Res}( \frac{1}{z^{2}+1},\ i) =\phi ( i) =\frac{1}{2i}.
$$
Dai concluimos que
$$
\oint\limits_{C}\frac{dz}{z^{2}+1}=\pi .
$$
Observamos que \(\oint\nolimits_{C}=\int_{I}+\int_{C_{R}}\), ou seja,
$$
\pi =\int_{-R}^{R}\frac{dx}{x^{2}+1}+\int_{C_{R}}\frac{dz}{z^{2}+1}.
$$
Resta apenas observar que, no limite \(R\rightarrow \infty\) a segunda integral é nula. Para ver isto note que sobre \(C_{R}\) temos que \(\left\vert z\right\vert =R\) e
$$
\left\vert z^{2}+1\right\vert \geq \left\vert z^{2}\right\vert -1=R^{2}-1,
$$
onde usamos a desigualdade
$$
\left\vert z_{1}+z_{2}\right\vert \geq \left\vert z_{1}\right\vert -\left\vert z_{2}\right\vert .
$$
Como consequência
$$
\left\vert \int_{C_{R}}\frac{dz}{z^{2}+1}\right\vert \leq \frac{1}{R^{2}-1}\int_{C_{R}}\left\vert dz\right\vert =\frac{\pi R}{R^{2}-1}\underset{R\rightarrow \infty }{\longrightarrow }0.
$$
Resta apenas a integral que queríamos calcular:
$$
\int_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{x^{2}+1}=\pi .
$$

O procedimento mostrado acima pode ser generalizado para o cálculo de integrais na forma de
$$
\int_{-\infty }^{\infty }\frac{P(x)}{Q(x)}dx
$$
onde \(P\) e \(Q\) são polinômios que diferem, em graus, da seguinte forma
$$
\text{grau }Q-\text{grau }P=m\geq 2.
$$
Como antes, tomamos as extensões das funções envolvidas, \(P(z)\) e \(Q(z)\) e construímos um contorno \(C=C_{R}\cup L\), idêntico ao da figura 2, usada no exemplo anterior. Como \(z^{m}P(z)\) e \(Q(z)\) têm o mesmo grau, o limite
$$
\lim_{z\rightarrow \infty }\frac{z^{m}P(z)}{Q(z)}=M
$$

é finito e não nulo. Em outras palavras, para \(|z|=R\) suficientemente grande temos que
$$
\left\vert \frac{P(z)}{Q(z)}\right\vert \leq \frac{M}{\left\vert z\right\vert^{m}}=\frac{M}{R^{m}}.
$$
A integração sobre o arco de circunferência se anula pois
$$
\left\vert \int_{C_{R}}\frac{P(z)}{Q(z)}dz\right\vert \leq \frac{M}{R^{m}}\int_{C_{R}}\left\vert dz\right\vert =\frac{\pi MR}{R^{m}}=\frac{\pi M}{R^{m-1}},
$$
que se anula quando \(R\rightarrow \infty\) pois \(m\geq 2\). Neste limite resta, portanto,
$$
\int_{-\infty }^{\infty }\frac{P(x)}{Q(x)}dx=\oint_{C}\frac{P(z)}{Q(z)}dz=2\pi i\sum_{k=1}^{n}\text{Res}( \frac{P(z)}{Q(z)},z_{k}),
$$
onde a soma é feita sobre todos os pólos do integrando no semiplano \(y\gt 0\).

Exercícios :

1. Calcule as integrais indefinidas:
$$
\begin{array}{lll}
\text{ a. }\;\; \int_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{x^{4}+1} &
\text{ b. }\;\; \int_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{ax^{2}+bx+c}, & a,b,c\in \mathbb{R}, b^{2}\lt 4ac. \\
\text{ c. }\;\; \int_0^{\infty }\frac{x^{2}dx}{x^{4}+9} &
\text{ d. }\;\; \int_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{x^{2}-x+1} &
\text{ e. }\;\; \int_0^{\infty }\frac{dx}{x^{6}+1}\; \\
\text{ f. }\;\; \int_{-\infty }^{\infty }\frac{xdx}{(x^{2}+4x+13)^{2}} &
\text{ g. }\;\; \int_0^{\infty }\frac{x^{2}dx}{(x^{2}+a^{2})^{2}}, a\gt 0, &
\text{ h. }\;\; \int_0^{\infty }\frac{x^{2}+1}{x^{4}+1}dx
\end{array}
$$

2) Mostre que \(\int_0^{\infty }\frac{dx}{(x^{2}+a^{2})(x^{2}+b^{2})}=\frac{\pi }{2ab( a+b)}\).

Algumas respostas e sugestões:

1a. \(\pi /\sqrt{2}\)
1b. \(2\pi /\sqrt{4ac-b^{2}}\)
1c. Observe que o integrando é par, logo \(\int_0^{\infty }=\frac{1}{2}\int_{-\infty }^{\infty }\).
1d. \(\pi \sqrt{2}/4\sqrt{3}\)
1f. \(-\pi /27\)
1g. \(\pi /4a\).

4 – Séries de Potências

Revisão: Sequências e Séries

Antes de iniciarmos o estudo de séries de números e funções complexas faremos uma revisão destes conceitos utilizando números e funções reais, de variáveis reais. Para maiores detalhes consulte qualquer livro texto de Cálculo II.

Sequências Infinitas

Definiremos uma sequência infinita como um conjunto infinito de números que podem ser colocados em uma relação biunívoca com o conjunto dos números inteiros positivos. Denotaremos por \(\left\{a_n\right\}\) a uma sequência, sendo \(a_n\), com \(n=1,2,..\). os elementos individuais desta sequência.

Exemplo 1: Considere \(\left\{a_{n}\right\}\) a sequência com termo genérico \(a_{n}=1/n\). Neste caso
$$
\left\{a_{n}\right\} =\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots \right\}.
$$
Observe que os termos desta sequência se aproximam de \(0\) para \(n\) suficientemente grande.

Definição: Dizemos que a sequência converge para um número \(L\), ou tem limite \(L\), se, dado qualquer número \(\varepsilon \gt 0\) existe um número \(N\) tal que
$$
n\gt N\Rightarrow \left\vert a_{n}-L\right\vert \lt\varepsilon.
$$
Usaremos como notação
$$
L=\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n},\;\;\;\text{ ou }\;\; a_{n}\rightarrow L.
$$
Observe que, se \(\left\vert a_{n}-L\right\vert \lt\varepsilon\) então
$$
-\varepsilon \lt a_{n}-L\lt\varepsilon \Longleftrightarrow L-\varepsilon \lt a_{n}\lt L+\varepsilon.
$$
Portanto a convergência de uma sequência para um valor \(L\) significa que \(a_{n}\) fica arbitrariamente próximo de \(L\) quando se toma \(n\) suficientemente grande. Se uma sequência não converge para nenhum número dizemos que ela diverge.

Exemplo 2: A sequência do exemplo 1, \(a_n=1/n\) converge para \(L=0\).

Exemplo 3: A seguinte sequência converge para \(L=2/3\)
$$
a_{n}=\frac{2n^{2}+n-1}{3n^{2}-n}.
$$
Para ver isto dividimos o numerador e o denominador por \(n^{2}\),
$$
L=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2n^{2}+n-1}{3n^{2}-n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2+1/n-1/n^{2}}{3-1/n}=\frac{2}{3},
$$
onde usamos o fato de que \(1/n\rightarrow 0\) e \(1/n^{2}\rightarrow 0\).

Exemplo 4: A sequência \(\left\{\text{sen }n\right\}\) não converge para nenhum número, oscilando indefinidamente entre \(\,-1\) e \(1\). A sequência \(a_{n}=(n^{2}+1) /n\) também não converge pois tende a infinito com \(n\rightarrow \infty\).

Séries Infinitas

Definiremos uma série infinita como a soma dos elementos de uma sequência infinita. Denotaremos a série por
$$
S=\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}=a_0+a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots.
$$
A soma de infinitos termos não tem um significado óbvio e imediato. Para atribuir a ela um sentido inequívoco definiremos antes a soma dos \(N\) primeiros termos da série, denominada a soma reduzida,
$$
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}a_{n}.
$$
Observe agora que o conjunto destas somas reduzidas forma uma sequência \(\left\{S_{n}\right\} =S_{1},S_{2},S_{3},\cdots\), que pode convergir ou não. Dizemos que a série infinita converge para um número \(L\) se a sequência \(\left\{S_{n}\right\}\) converge para \(L\), ou seja,
$$
S_{n}\rightarrow L\Longleftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}=L.
$$
Caso contrário a série diverge e denotamos
$$
\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}=\infty \;\;\;\text{ ou }\;\;\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=-\infty,
$$
conforme o caso.

Exemplo 5: Um exemplo interesssante de uma série convergente é o seguinte:
$$
\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots =\text{e},
$$
onde, por convenção, fazemos \(0!=1\). Este é um caso particular da série mais geral
$$
\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots =\text{ e}^{x}.
$$
No último exemplo a função exponencial foi escrita como uma soma infinita de termos em potências de \(x\). As séries de potências são importantes no estudo das funções e suas aplicações.

Dizemos que uma série \(\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}\) converge absolutamente se a série \(\sum_{n=0}^{\infty }\left\vert a_{n}\right\vert\) converge. Observe que toda a série absoluta convergente é convergente, isto é,
$$
\sum_{n=0}^{\infty }\left\vert a_{n}\right\vert \; \text{ converge } \Rightarrow \sum_{n=0}^{\infty }a_{n} \text{ converge.}
$$

Testes de convergência

Os seguintes testes são os mais utilizados para a verificação de convergencia de uma série.

Teste da Comparação: Se duas séries \(\Sigma a_n\) e \(\Sigma b_n\) são séries de termos não negativos (i.e. \(a_n\geq 0\) e \(b_n\geq 0\) para todo \(n)\) e \(a_n\leq\) \(b_n\) para todo \(n\), então
$$
\begin{array}{lll}
(i) & \;\;\text{ se }\;\;\;\Sigma b_n\text{ converge}\Rightarrow & \Sigma a_n\text{
converge} \\
(ii) & \;\;\text{ se }\;\;\;\Sigma a_n\;\;\text{diverge}\Rightarrow & \Sigma b_n\;\;\text{diverge.}
\end{array}
$$

Teste da Razão: \(\;\) Se \(\Sigma a_n\) é uma séries de termos positivos, definimos o limite
$$
R=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}.
$$
Então, se
$$
\begin{array}{ll}
R \lt 1\Rightarrow & \Sigma a_n\text{ converge} \\
R \gt 1\Rightarrow & \Sigma a_n\;\;\text{diverge} \\
R=1, & \text{o teste é inconclusivo.}
\end{array}
$$

Teste da Integral: Se \(f(x)\) é uma função positiva não crescente para \(x\gt 0\), então a série \(\Sigma f(n)\) converge se, e somente se, a integral imprópria \(\int_1^\infty f(x)dx\) converge. Além disto vale a desigualdade
$$
\sum_{n=2}^Nf(n)\leq \int_1^Nf(x)dx\leq \sum_{n=1}^{N-1}f(n).
$$

Exemplo 6: Usamos o teste da razão para testar a convergência da série
$$
\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n^{2}}{n!}.
$$
Temos, neste caso,
$$
a_{n}=\frac{n^{2}}{n!},\;\;a_{n+1}=\frac{( n+1)^{2}}{(n+1)!}
$$
Calculamos o limite
$$
R=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{( n+1)^{2}}{(n+1)!}\frac{n!}{n^{2}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n+1}( \frac{n+1}{n})
^{2}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n+1}{n^{2}}=0.
$$
Como \(R \lt 1\) concluimos que a série converge.

Séries de Maclaurin e de Taylor

Uma função que pode ser expressa em termos de uma série infinita de potências em torno do ponto \(x=x_0\),

(1)

$$
f(x)=a_0+a_{1}( x-x_0) +a_{2}( x-x_0)
^{2}+\cdots =\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}( x-x_0)^{n}
$$
é dita uma função analítica (neste ponto). Os coeficientes \(a_{n}\) podem ser obtidos do seguinte modo. Calcule o valor de \(f\) e suas derivadas no ponto \(x_0\)
$$
f(x_0)=a_0,
$$
$$
f'(x)=a_{1}+2a_{2}( x-x_0) +3( x-x_0)^{2}+\cdots =\sum_{n=1}^{\infty }na_{n}( x-x_0)^{n-1},
$$
$$
f'(x_0)=a_{1},
$$
$$
f^{\prime \prime }(x)=2a_{2}+2.3a_{3}( x-x_0) +\cdots=\sum_{n=2}^{\infty }n( n-1) a_{n}( x-x_0)^{n-2},
$$
$$
f^{\prime \prime }(x_0)=2a_{2}\Rightarrow a_{2}=\frac{1}{2}f^{\prime\prime }(x_0),
$$
$$
f^{(3)}(x)=2.3a_{3}( x-x_0) +\cdots =\sum_{n=3}^{\infty}n( n-1) ( n-2) a_{n}( x-x_0)^{n-3},
$$
$$
f^{(3)}(x)=2.3a_{3}\Rightarrow a_{3}=\frac{1}{6}f^{(3)}(x_0).
$$
Continuando este procedimento podemos calcular qualquer um dos coeficientes da série (1), obtendo
$$
a_{n}=\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0).
$$
Com estes coeficientes a série é a chamada série de Taylor,

(2)

$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)( x-x_0)^{n},
$$
onde \(f^{(n)}(x_0)\) indica a derivada n-ésima calculada no ponto \(x=x_0\). Uma série de Maclaurin é uma série de Taylor que descreve o comportamento de uma função em torno do ponto \(x_0=0\).

Resumindo: Sobre a série de potências \(S=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}( x-x_0)^{n}\) podemos coletar as seguintes propriedades:

(i) \(S\) converge (escolhido um valor para \(x\)) se existe o limite
$$
\lim_{N\rightarrow \infty }\sum_{n=0}^Na_n( x-x_0)^n.
$$

(ii) Se a série converge absolutamente, ou seja, existe o limite
$$
\lim_{N\rightarrow \infty }\sum_{n=0}^N\left| a_n( x-x_0)^n\right|,
$$
então ela converge.

(iii) Teste da razão: Definindo
$$
R=\lim_{n\rightarrow \infty }\left| \frac{a_{n+1}( x-x_0)^{n+1}}{a_n( x-x_0)^n}\right| =\left| x-x_0\right| \lim_{n\rightarrow
\infty }\left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
$$
então a série é absolutamente convergente no ponto \(x\) se \(R \lt 1\) e é divergente se \(R\gt 1\). O teste é inconclusivo se \(R=1\).

(iv) Se a série \(S\) converge em \(x=a\) então ela converge absolutamente para \(x\) no intervalo \(\left[ x-a,\;x+a\right]\). Se a série \(S\) diverge em \(x=a\) então ela diverge para \(x\) fora deste intervalo.

(v) O intervalo máximo de valores de \(x\) para os quais a série converge absolutamente é chamado o intervalo de convergência. O raio de convergência é \(\rho\) é definido de forma que \(\left[x_0-\rho ,x_0+\rho \right]\) é este intervalo.

Algumas considerações finais sobre o uso do sinal de somatório podem ser úteis. O índice usado pode ser substituído de acordo com as conveniências
$$
\sum_{i=1}^{N}a_{i}=\sum_{j=1}^{N}a_{j},
$$
e as parcelas da soma podem ser agrupadas ou isoladas, como nos exemplos a seguir:
$$
\sum_{i=1}^{N}a_{i}=\sum_{i=1}^{N-1}a_{i}+a_{N}=a_{1}+\sum_{i=2}^{N}a_{i},
$$
$$
\sum_{i=1}^{N}a_{i}=\sum_{i=1}^{P}a_{i}+\sum_{i=P+1}^{N}a_{i},\;\;1 \lt P \lt N.
$$
Pode ser mostrado por indução que
$$
\sum_{i=1}^{N}( a_{i}+b_{i})
=\sum_{i=1}^{N}a_{i}+\sum_{i=1}^{N}b_{i},
$$
$$
\sum_{i=1}^{N}ka_{i}=k\sum_{i=1}^{N}a_{i},\;\;\forall k\in \mathbb{R}.
$$
Se \(a_{i}=a\), uma constante, então
$$
\sum_{i=1}^{N}a_{i}=\sum_{i=1}^{N}a=Na.
$$

Uma série de potências, se convergente, pode ser derivada termo a termo e a derivada obtida desta forma será uma representação fiel da derivada da função que ela representa:
$$
y(x) =\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=a_0+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{r}x^{r}+\cdots,
$$
$$
y^{\prime }( x) =\sum_{n=1}^{\infty}na_{n}x^{n-1}=a_{1}+2a_{2}x+\cdots +ra_{r}x^{r-1}+\cdots ,
$$
$$
y^{\prime \prime }(x) =\sum_{n=2}^{\infty }n( n-1)a_{n}x^{n-2}=2a_{2}x+\cdots +r(r-1) a_{r}x^{r-2}+\cdots.
$$

Séries de funções complexas

Uma série infinita de funções complexas é uma série
$$
s(z) =\sum_{n=0}^{\infty }f_{n}(z) =f_0(z) +f_{1}(z) +f_{2}(z) +\ldots
$$
onde as \(f_{i}(z)\) são funções complexas, de variáveis complexas e com um domínio comum. Definimos a soma parcial ou reduzida como
$$
s(z) =\sum_{n=0}^{N}f_{n}(z) =f_0(z)+f_{1}(z) +\ldots +f_{N}(z)
$$
e dizemos que a série converge se a sequência das somas parciais, \(\left\{s_0,\;s_{1},\;s_{2},\ldots \right\}\), converge, ou seja, quando existe o limite \(\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n}(z)\). Neste caso
$$
s(z) =\sum_{n=0}^{\infty }f_{n}(z)=\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n}(z).
$$
A expressão
$$
r_{n}(z) =s(z) -s_{n}(z)=\sum_{k=n+1}^{\infty }f_{k}(z)
$$
é denonimada o resto da série à partir de \(n+1\) e mede o quanto a soma parcial até o enésimo termo se aproxima da soma total.

Convergência simples ou pontual

Considere uma série
$$
s(z) =\sum_{n=0}^{\infty }f_{n}(z) ,
$$
convergente para todo \(z\) dentro de alguma região \(R\) do plano complexo. Então, dado \(\varepsilon \gt 0\) qualquer, para cada \(z\in R\), existe \(N\) tal que
$$
n\geq N\Rightarrow \left\vert s(z) -s_{n}(z)\right\vert \lt \varepsilon ,
$$
onde \(s_{n}(z)\) é a reduzida da série \(s(z)\). Observamos que \(N\) depende de \(\varepsilon\) também do ponto \(z\) onde a convergência é considerada.

Exemplo 7: Uma série geométrica é a soma dos termos de uma progressão geométrica,
$$
s(z) =\sum_{k=0}^{\infty }z^{k}=1+z+z^{2}+\ldots.
$$
Podemos verificar diretamente a convergência desta série e ainda encontrar a região de \(\mathbb{C}\) onde ela converge. Para fazer isto definimos a soma parcial, até o N-ésimo termo,
$$
s_{N}(z) =\sum_{k=0}^{N}z^{k}=1+z+z^{2}+\ldots +z^{N}.
$$
Multiplicando esta expressão por \(z\) temos
$$
zs_{N}(z) =\sum_{k=0}^{N}z^{k+1}=z+z^{2}+z^{3}+\ldots +z^{n+1}.
$$
Subtraindo as linhas acima
$$
s_{N}-zs_{N}=1-z^{N+1},
$$
ou seja, a soma parcial é dada por
$$
s_{N}(z) =\frac{1-z^{N+1}}{1-z}.
$$
Notamos agora que esta soma só converge se \(\left\vert z\right\vert \lt 1\). Neste caso o numerador da expressão acima tende para 1 e, portanto,
$$
s(z) =\sum_{n=0}^{\infty }z^{n}=\frac{1}{1-z}\text{ se }\left\vert z\right\vert \lt 1.
$$
Fora deste círculo ou na fronteira \(\left\vert z\right\vert =1\) a série diverge.

Observaremos, no entanto, que a convergência não é igual para todos os pontos dentro do círculo \(\left\vert z\right\vert \lt 1\). Escolhido um ponto \(z\) temos o resto
$$
r_{n}(z) =s(z) -s_{n}(z) =\frac{1}{1-z}-\frac{1-z^{n+1}}{1-z}=\frac{z^{n+1}}{1-z}.
$$
Em valor absoluto, devemos ter
$$
\left\vert s(z) -s_{n}(z) \right\vert =\frac{\left\vert z\right\vert^{n+1}}{\left\vert 1-z\right\vert } \lt \varepsilon
$$
para \(n \gt N\). Devemos indicar para que valor de \(N\) ocorre um erro menor que \(\varepsilon\). Queremos obter \(n\) em
$$
\left\vert z\right\vert^{n+1} \lt \varepsilon \left\vert 1-z\right\vert.
$$
Tome o logaritmo de base \(\left\vert z\right\vert\) dos dois lados da equação para obter
$$
n+1\gt \log _{\left\vert z\right\vert }( \varepsilon \left\vert
1-z\right\vert ) ,
$$
lembrando que \(\log _{\left\vert z\right\vert }\left\vert z\right\vert^{n+1}=n+1\) e o sinal de desigualdade fica invertido porque o logaritmo de base \(\left\vert z\right\vert \lt 1\) é uma função decrescente. Lembrando ainda que se pode mudar de base do logaritmo de acordo com a expressão
$$
\log _{a}N=\frac{\log _{b}N}{\log _{b}a}
$$
reecrevemos a expressão acima em termos do logaritmo natural
$$
n\gt\frac{\ln ( \varepsilon \left\vert 1-z\right\vert ) }{\ln\left\vert z\right\vert }-1
$$
o que mostra que não se pode determinar um único valor de \(N\) para todo o valor de \(\left\vert z\right\vert\), uma vez que a fração cresce arbitrariamente para \(\left\vert z\right\vert \rightarrow 1\). Em outras palavras a convergência é simples ou pontual. Não é possível determinar \(N\) para qualquer valor de \(z\) dentro do círculo de convergência.

Convergência uniforme

Definição: (i) Uma sequência de funções \(f_{i}(z)\) definidas em um domínio comum \(D\), converge uniformemente para \(f(z)\) se, dado \(\varepsilon \gt 0\) existe um inteiro \(N\) tal que
$$
\forall z\in D,\ n\gt N\Rightarrow \left\vert f(z) -f_{n}(z) \right\vert \lt \varepsilon.
$$
(ii) A série \(s(z) =\sum_{n=0}^{\infty }f_{n}(z)\) converge uniformemente em \(D\) se, dado \(\varepsilon \gt 0\) existe \(N\) inteiro
tal que
$$
\forall z\in D,\ n\gt N\Rightarrow \left\vert s(z) -s_{n}(
z) \right\vert \lt \varepsilon.
$$

A diferença entre convergência pontual e uniforme é que, no segundo caso, a sequência ou a série fica arbitrariamentre próxima de seu valor limite para todos os valores de \(z\) dentro do domínio da função, a partir de algum \(n\) suficientemente grande.

Exemplo 8: Vimos que a série geométrica \(\sum_{n=0}^{\infty }z^{n}\) não converge uniformemente dentro do disco \(\left\vert z\right\vert \lt 1\). O motivo é que ela exige que se considere um número maior de termos a medida que se aproxima da borda do disco. Tal dificuldade desaparece se fixarmos o domínio \(\left\vert z\right\vert \leq \delta \lt 1\). Neste caso temos

(4)

$$
R_{n}=\frac{\left\vert z\right\vert^{n+1}}{\left\vert 1-z\right\vert }\leq
\frac{\delta^{n+1}}{1-\left\vert z\right\vert }\leq \frac{\delta^{n+1}}{1-\delta },
$$
que é menor que \(\varepsilon\) se tomarmos
$$
n \lt \frac{\ln ( \varepsilon \left\vert 1-\delta \right\vert ) }{\ln \delta }-1.
$$
Observe que, na obtenção da desigualdade (4), usamos
$$
\left\vert z_{1}+z_{2}\right\vert \geq \left\vert z_{1}\right\vert
-\left\vert z_{2}\right\vert \Rightarrow \left\vert 1-z\right\vert \geq
1-\left\vert z\right\vert.
$$

O seguinte teorema será útil na obtenção do teste M de Weierstrass que é, por sua vez, uma forma prática para se mostrar a convergência uniforme de uma sequência.

Teorema: Uma condição necessária e suficiente para a a série \(s(z) =\sum_{n=0}^{\infty }f_{n}(z)\) seja uniformemente convergente na região \(D\) é: dado \(\varepsilon \gt 0\) existe um \(N\) inteiro tal que, para todo \(p\) inteiro positivo temos

(5)

$$
\forall z\in D,\ n\gt N\Rightarrow \left\vert s_{n+p}(z)-s_{n}(z) \right\vert \lt \varepsilon.
$$

Observamos, antes de prosseguir com a demonstração, que
$$
s_{n+p}(z) -s_{n}(z) =\sum_{k=0}^{n+p}f_{k}(
z) -\sum_{k=0}^{n}f_{k}(z) =\sum_{k=n+1}^{n+p}f_{k}(
z) =f_{n+1}(z) +\ldots +f_{n+p}(z)
$$
e, portanto, a condição (5) equivale à
$$
\forall z\in D,\ n\gt N\Rightarrow \left\vert f_{n+1}(z) +\ldots
+f_{n+p}(z) \right\vert \lt \varepsilon.
$$

Demonstração: A condição é necessária pois, supondo que a série seja uniformemente convergente em \(D\) temos que, dado \(\varepsilon \gt 0\) existe um \(N\) tal que
$$
n\gt N\Rightarrow \left\vert s_{n}(z) -s(z) \right\vert \lt \varepsilon /2.
$$
Para um índice ainda maior vale certamente \(\left\vert s_{n+p}(z) -s(z) \right\vert \lt \varepsilon /2\), já que a série é convergente. Usando a desigualdade triangular temos
$$
\left\vert s_{n+p}-s_{n}\right\vert =\left\vert s_{n+p}-s+s-s_{n}\right\vert
\lt \left\vert s_{n+p}-s\right\vert +\left\vert s-s_{n}\right\vert \lt \varepsilon
/2+\varepsilon /2=\varepsilon.
$$
Além disto a condição é suficiente pois, supondo \(\left\vert s_{n+p}-s_{n}\right\vert \lt \varepsilon\) observamos que
$$
\lim_{p\rightarrow \infty }s_{n+p}(z) =s(z)
$$
e, portanto,
$$
\lim_{p\rightarrow \infty }\left\vert s_{n+p}-s_{n}\right\vert =\left\vert s-s_{n}\right\vert \lt \varepsilon.
$$
Tomando o limite com \(n\rightarrow \infty\) da mesma expressão temos
$$
\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert s-s_{n}\right\vert \lt \varepsilon ,
$$
que é a condição para que a série seja convergente.

Temos, como consequência do teorema acima temos o teste de Weierstrass:
Teorema: Se \(\sum M_{n}\) é uma série numérica convergente e \(f_{n}(z)\) uma sequência de funções definidas em \(D\), satisfazendo
$$
\left\vert f_{n}(z) \right\vert \leq M_{n},\forall n,\ \forall z\in D
$$
então \(\sum f_{n}(z)\) converge uniformemente em \(D\).

Demonstração: Usando a desigualdade triangular temos que
$$
\left\vert f_{n+1}+\ldots +f_{n+p}\right\vert \leq \left\vert
f_{n+1}\right\vert +\ldots +\left\vert f_{n+p}\right\vert \leq
M_{n+1}+\ldots +M_{n+p}\lt \varepsilon,
$$
onde a última desigualdade decorre de ser \(\sum M_{n}\) uma série convergente. Pelo teorema anterior \(\sum f_{n}(z)\) converge uniformemente em \(D\).

Exemplo 9: A série \(s=\sum_{n=0}^{\infty }z^{n}\) converge uniformemente no disco \(\left\vert z\right\vert \leq \delta \lt 1\) pois \(\left\vert z\right\vert \leq \delta^{n}=M_{n}\) e \(\sum_{n=0}^{\infty }\delta^{n}=1+\delta +\delta^{2}+\ldots =1/( 1-\delta )\) no disco.

Teorema: Seja \(f(z) =\sum_{n=0}^{\infty}f_{n}(z)\) uma série de funções uniformemente convergente em \(D\). Então

(i) Se as funções \(f_{i}(z)\) são contínuas \(f(z)\) é contínua em \(D\).

(ii) Se \(C\) é um contorno inteiramente contido em \(D\) então
$$
\int_{C}f(z) dz=\sum_{n=0}^{\infty }\int_{C}f_{n}(
z) dz.
$$

(iii) Se \(D\) é simplesmente conexa então \(f(z)\) é analítica em \(D\) e sua derivada é
$$
f'(z) =\sum_{n=0}^{\infty }f_{n}^{\prime }(
z).
$$
Sua derivada de ordem \(k\)-ésima é dada por
$$
\frac{d^{k}}{dz^{k}}f(z) =\sum_{n=0}^{\infty }\frac{d^{k}}{dz^{k}}f_{m}(z).
$$

Demonstração: (i) Tome \(\varepsilon \gt 0\) arbitrário e \(z\in D\) qualquer. Denotando a soma parcial e o resto respectivamente por
$$
s_{n}(z) =\sum_{k=0}^{n}f_{k}(z) ,\text{ }r_{n}(z) =\sum_{k=n+1}^{n}f_{k}(z)
$$
temos que \(f(z) =s_{n}(z) +r_{n}(z)\). Para mostrar que a soma infinita das funções é contínua
fazemos

(5)

$$
\begin{array}{ll}
\left\vert f(z) -f(z_0) \right\vert & \leq
\left\vert s_{n}(z) -s_{n}( z_0) \right\vert
+\left\vert r_{n}(z) -r_{n}( z_0) \right\vert
\; \\
& \leq \left\vert s_{n}(z) -s_{n}( z_0) \right\vert
+\left\vert r_{n}(z) \right\vert +\left\vert r_{n}(
z_0) \right\vert.
\end{array}
$$
Como a série converge uniformemente existe \(N\) tal que
$$
z\in D,\ n\gt N\Rightarrow \left\vert r_{n}(z) \right\vert \lt \varepsilon.
$$
Fixado um \(n=N,\;\;s_{N}(z)\) é contínua por ser a soma finita de funções contínuas e, portanto, dado \(\varepsilon \gt 0\) podemos determinar \(\delta\) tal que
$$
\left\vert z-z_0\right\vert \lt \delta \Rightarrow \left\vert s_{N}(z) -s_{N}( z_0) \right\vert \lt \varepsilon.
$$
Dai, e de (5), se pode concluir que
$$
\left\vert f(z) -f(z_0) \right\vert \leq \varepsilon +\varepsilon +\varepsilon =3\varepsilon ,
$$
o que significa que \(f(z)\) é contínua.

(ii) Observamos primeiro que, sendo \(f(z) =s_{n}(z) +r_{n}(z)\) temos
$$
\int_{C}f(z) dz=\int_{C}s_{n}(z) dz+\int_{C}r_{n}(z) dz=
$$
$$
\int_{C}\left[ \sum_{k=0}^{n}f_{k}(z) \right]
dz+\int_{C}r_{n}(z) dz=\sum_{k=0}^{n}\int_{C}f_{k}(
z) dz+\int_{C}r_{n}(z) dz,
$$
onde se usou o fato de que a integral da soma finita de funções é a soma das integrais. Observamos agora que a última integral tende a zero para \(n\rightarrow \infty\), o que é mais fácil ser mostrado em valor absoluto:
$$
\left\vert \int_{C}r_{n}(z) dz\right\vert \leq \int_{C}\left\vert r_{n}(z) \right\vert \left\vert dz\right\vert \leq \varepsilon L,
$$
onde fizemos \(\left\vert r_{n}(z) \right\vert \leq \varepsilon\) e \(\int_{C}\left\vert dz\right\vert =L\), é o comprimento de arco do
contorno \(C\). Tomando \(n\rightarrow \infty\) e lembrando que \(\left\vert r_{n}(z) \right\vert \underset{n\rightarrow \infty }{\rightarrow}0\) temos o resultado desejado:
$$
\int_{C}f(z) dz=\sum_{n=0}^{\infty }\int_{C}f_{n}(z) dz.
$$
(iii) Como cada uma das funções \(f_{k}\) é analítica então
$$
\oint f_{k}(z) dz=0,\ k=0,~1,~2,\;\ldots.
$$
Como consequência \(\oint_{C}f(z) dz=\sum_{k=0}^{\infty }\oint_{C}f_{k}(z) dz=0\) para uma contorno fechado \(C\) arbitrário em \(D\). Pelo teorema de Morera concluímos que \(f\) é analítica. Resta mostrar que \(f’=\sum f_{k}^{\prime }\). Escolhido um \(z\in R\) e \(C\) um contorno envolvendo \(z\) uma vez no sentido positivo (podemos tomar, por exemplo \(C:\left\vert w-z\right\vert =\delta )\) temos que a série
$$
\frac{k!}{2\pi i}\frac{f(w) }{( w-z)^{k+1}}=\frac{k!}{2\pi i}\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f_{n}( w) }{( w-z)
^{k+1}}
$$
converge uniformemente para \(w\) sobre o contorno \(C\). Logo ela pode ser integrada termo a termo. Usando a fórmula da derivada \(k-\)ésima temos
$$
f^{( k) }(z) =\frac{k!}{2\pi i}\oint\nolimits_{C}\frac{f(w) }{( w-z)^{k+1}}dw=
$$
$$
f^{( k) }(z) =\frac{k!}{2\pi i}\oint\nolimits_{C}\frac{\sum_{n=0}^{\infty }f_{n}( w) }{( w-z)^{k+1}}dw=
$$
$$
=\frac{k!}{2\pi i}\sum_{n=0}^{\infty }\oint\nolimits_{C}\frac{f_{n}( w) }{( w-z)^{k+1}}dw=\sum_{n=0}^{\infty } f_{n}^{(k) }(z),
$$
como queríamos mostrar.

Séries de potências

Um tipo particular de série de funções é obtido quando as funções envolvidas são simplesmente potências, \(f_{n}(z) =a_{n}(z-z_0)^{n}\). Neste caso temos as séries de potências,

(6)

$$
f(z) =\sum\limits_{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_0)
^{n},\ \ a_{n},\ z_0\in \mathbb{C}.
$$
Esta é a chamada série de Taylor para função \(f(z)\) e seus coeficientes \(a_{n}\) podem ser obtidos, como veremos, de modo análogo ao usado nas séries de funções reais. Em alguns casos, no entanto, podemos obter a séries por comparação com séries previamente conhecidas, como ilustraremos nos exemplos a seguir.

Exemplo 10: Conhecemos a expansão em séries
$$
\frac{1}{1-z}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }z^{n},\ \ \left\vert z\right\vert \lt 1.
$$
Fazendo \(u=-z\) na expressão acima temos
$$
\frac{1}{1+u}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }( -u)
^{n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }( -1)^{n}u^{n},\ \ \left\vert
u\right\vert \lt 1.
$$
As duas séries convergem dentro do mesmo disco de raio unitário.

Exemplo 11: Podemos obter por comparação a expansão em séries de \(f(z) =1/z\) em torno de \(z_0=2\), ou seja, em potências de \(z-2\) da seguinte forma:
$$
\frac{1}{z}=\frac{1}{z-2+2}=\frac{1/2}{1+( z-2) /2}.
$$
Denotando \(u=( z-2) /2\) temos
$$
\frac{1}{z}=\frac{1}{2}\frac{1}{1+u}=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^{\infty
}( -1)^{n}u^{n}=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^{\infty }(
-1)^{n}( \frac{z-2}{2})^{n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }\frac{( -1)^{n}}{2^{n+1}}( z-2)^{n},
$$
válida na região
$$
\left\vert \frac{z-2}{2}\right\vert \lt 1\Rightarrow \left\vert z-2\right\vert \lt 2,
$$
ou seja, o disco de raio \(2\) com centro em \(z=2\). Observe que não é possível obter a série de potências, dada pela equação (6), da função \(f(z) =1/z\) em torno de \(z_0=0\), uma vez que, neste ponto, a função não é analítica e nem sequer está definida.

Exemplo 12: A expansão em séries de \(f(z) =1/z\) em potências de \(z+3\) pode ser obtida da seguinte forma:
$$
\frac{1}{z}=\frac{1}{z+3-3}=\frac{-1/3}{1-( z+3) /3}.
$$
Denotando \(u=( z+3) /3\) temos
$$
\frac{1}{z}=-\frac{1}{3}\frac{1}{1-u}=-\frac{1}{3}\sum\limits_{n=0}^{\infty}u^{n}=-\frac{1}{3}\sum\limits_{n=0}^{\infty }( \frac{z+3}{3})
^{n}=-\sum\limits_{n=0}^{\infty }\frac{1}{3^{n+1}}( z+3)^{n},
$$
válida na região
$$
\left\vert \frac{z+3}{3}\right\vert \lt 1\Rightarrow \left\vert z+3\right\vert \lt 3.
$$

Exemplo 13: A função \(f(z)=1/( 6z-3)\) tem a seguinte expansão em torno de \(z_0=2\) :
$$
\frac{1}{6z-3}=\frac{1}{6( z-2) +9}=\frac{1/9}{1+2(
z-2) /3}.
$$
Denotando \(u=2( z-2) /3\) temos
$$
f(z) =\frac{1}{9}\frac{1}{1+u}=\frac{1}{9}\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{n}=
$$
$$
=\frac{1}{9}\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(\frac{2}{3})^{n}(z-2)^{n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }( -1)^{n}\frac{2^{n}}{3^{n+2}}( z-2)^{n}.
$$

Esta expansão é válida na região \(\left\vert z-2\right\vert \lt 3/2\).

Definição: Os valores de \(z\) para os quais a série converge absolutamente é a região de convergência da série. Se esta região é o disco \(\left\vert
z-z_0\right\vert \lt r\) então dizemos que \(r\) é o raio de convergência da série.

Teorema: O raio de convergência de \(s=\sum\limits_{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_0)^{n}\;\) é dado por
$$
r=\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert \frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right\vert ,
$$
quando este limite existir.

Demonstração: Sabemos que a série dada converge se \(\sum\limits_{n=0}^{\infty }\left\vert a_{n}(z-z_0)^{n}\; \right\vert\) converge. Pelo teste da razão esta última série converge se
$$
L=\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert \frac{a_{n+1}(z-z_0)
^{n+1}}{a_{n}(z-z_0)^{n}}\right\vert \lt 1\Rightarrow
\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left\vert a_{n+1}\right\vert }{\left\vert
a_{n}\right\vert }\frac{\ \left\vert z-z_0\right\vert^{n+1}}{\left\vert
z-z_0\right\vert^{n}}\lt 1,
$$
ou ainda
$$
\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left\vert a_{n}\right\vert }{\left\vert
a_{n+1}\right\vert }\frac{1}{\left\vert z-z_0\right\vert }\gt 1\Rightarrow
\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left\vert a_{n}\right\vert }{\left\vert
a_{n+1}\right\vert }\gt \left\vert z-z_0\right\vert.
$$
Estes são os valores de \(z\) para os quais a série dada converge, ou
seja,
$$
\left\vert z-z_0\right\vert \lt r=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left\vert
a_{n}\right\vert }{\left\vert a_{n+1}\right\vert }.
$$

Exemplo 14: Vamos encontrar o raio de convergência da série \(\sum\nolimits_{n=1}^{\infty }( \sqrt{n})^{n}z^{n}\). Temos, neste caso, que \(a_{n}=n^{n}/2\) e, portanto,
$$
r=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n^{n/2}}{( n+1)^{(
n+1) /2}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ \frac{n^{n}}{(
n+1)^{n+1}}\right]^{1/2}=
$$
$$
=\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ \frac{n^{n}}{( n+1)^{n}(
n+1) }\right]^{1/2}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{(
n+1)^{1/2}}( \frac{n}{( n+1) })^{n/2}=0.
$$
O raio de convergência nulo indica que esta série diverge para qualquer valor de \(z\neq 0\).

Exercícios:

1. Mostre que
$$
\begin{array}{ll}
\text{a.}\; \frac{1}{( 1-z)^{2}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}( n+1) z^{n}\; & \text{b.}\; \ln (1-z)=-\sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{z^{n}}{n} \\
\text{c.}\; \frac{1}{1+z}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}z^{n} & \text{d.}\; \frac{1}{1-z^{2}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}z^{2n}\; \\
\text{e.}\; \ln ( 1+z) =\sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{( -1)^{n+1}}{n}z^{n}.\; &
\end{array}
$$

2. Use o teste de Weierstrass para testar a convergência dasseguintes séries:
$$
\begin{array}{ll}
\text{a. }\ \sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{n\cos 3n}{1+5n}z^{n},\; \text{ no disco }\left\vert z\right\vert \leq r\lt 1,\;
& \text{b. }\; \sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{n^{2}-2\cos n}{10n^{2}+7}z^{2n-1},\; \text{ no disco }\left\vert z\right\vert \leq r\lt 1,\\
\text{c. }\; \sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{n+7\sqrt{n+1}}{(n+1) 2^{n}}z^{2n-1},\; \text{ no disco }\left\vert z\right\vert \leq r\lt \sqrt{2},
& \text{d. }\; \sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{( -1)^{n}n( z-1)^{n}}{n+1}\; ,\ \text{no disco }\left\vert z-1\right\vert \leq r\lt 1, \\
\text{e. }\; \sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{n^{k}}{R^{n}}z^{n},\; \text{ no disco } \left\vert z\right\vert \leq r\lt R,\; \text{ quaisquer }R\;\text{ e }k.
& \text{f. }\; \sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{a^{n}}{n!}z\;^{n},\; \text{ no disco }\left\vert z\right\vert \lt R,\; \text{ quaisquer }R \;\text{ e }\;\;\ a.
\end{array}
$$

3. Obtenha o desenvolvimento em séries de potências em torno do ponto indicado. Represente graficamente a região de convergência.
$$
\begin{array}{l}
\text{a. }\; f(z) =\frac{1}{z} \; \text{ em potências de }\;z+i,\; \\
\text{b. }\; f(z) =\frac{1}{2z-9} \; \text{ em torno de }\;z_0=3,\; \; \\
\text{c. }\; f(z) =\frac{1}{z^{2}} \; \text{ em potências de }\;z-1,\; \; \\
\text{d. }\; f(z) =\frac{1}{2z-3} \; \text{ em torno de }\;z_0=-i.\; \;
\end{array}
$$

4.) Encontre o raio de convergência das séries:
$$
\begin{array}{ll}
\text{a. }\ \sum\limits_{n=0}^{\infty }nz^{n}\; & \text{b. }\
\sum\limits_{n=0}^{\infty }n!z^{n}\; \\
\text{c. }\ \sum\limits_{n=0}^{\infty }\frac{( z-i)^{n}}{n} &
\text{d. }\ \sum\limits_{n=0}^{\infty }\ln ( 3n^{2}+5) (
z\; +i)^{n} \\
\text{e. }\ \sum\limits_{n=0}^{\infty }( \text{ senh }n) z^{n}\; & \text{f. }\ \sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{4^{n}}{n}z^{2n}
\end{array}
$$

Algumas respostas e sugestões:

1.(a, b) Derive e integre termo a termo a série geométrica

1.(c) Faça \(u=-z\). (d) Faça \(u=z^{2}\). (e) Faça \(u=-z\) na série obtida em (1b).

2. Todas as séries convergem nas regiões indicadas.

3a. \(f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(i)^{1-n}(z+i)^{n},\;\;\left\vert z+i\right\vert \lt 1.\)
3b. \(f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{-2^{n}}{3^{n+1}}( z-3)^{n},\;\; \left\vert z-3\right\vert \lt \frac{3}{2}.\)
3c. \(f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n+1)(z-1)^{n},\;\; \left\vert z-1\right\vert \lt 1.\) (Encontre a expressão para \(1/z\) e derive.)
3d. \(f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{-2^{n}}{( 3+2i)^{n+1}}( z+i)^{n},\;\;\left\vert z+i\right\vert \lt \frac{\sqrt{13}}{2}\).

4a.  \(r=1\),   4b.  \(r=0\),   4c.  \(r=\infty\),   4d.  \(r=1\),   4e.  \(r=1/e\),   4f.  \(r=1/2\).

Séries de Taylor

Teorema: Toda série de potências
$$
f(z) =\sum\limits_{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_0)^{n}
$$
representa uma função analítica em seu disco de convergência \(\left\vert z-z_0\right\vert \lt r\). Esta série pode ser derivada termo a termo um número \(n\) arbitrário de vezes e as derivadas possuem o mesmo raio de convergência da série original. Por exemplo, a derivada primeira é
$$
f'(z) =\sum\limits_{n=1}^{\infty }na_{n}(
z-z_0)^{n-1}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }( n+1)
a_{n+1}(z-z_0)^{n},
$$
enquanto a derivada segunda é
$$
f^{\prime \prime }(z) =\sum\limits_{n=2}^{\infty }n(
n-1) a_{n}(z-z_0)^{n-2}=\sum\limits_{n=0}^{\infty
}( n+1) ( n+2) a_{n+2}(z-z_0)^{n}.
$$

Teorema: Seja \(f\) uma função analítica em uma região \(R\). Então \(f\) possui um desenvolvimento único em série de potências dado por

(7)

$$
f(z) =\sum\limits_{n=0}^{\infty }\frac{f^{( n) }( z_0) }{n!}(z-z_0)^{n},
$$
onde \(z_0\in R\) e \(\left\vert z-z_0\right\vert \leq r_0\) é um disco inteiramente contido em \(R\).

Demonstração: Seja \(z\) um ponto no interior do disco \(\left\vert z-z_0\right\vert \leq r_0\), como se mostra na figura 1. Denote \(r=\left\vert z-z_0\right\vert\) e escolha \(r_{1}\) de modo que \(r\lt r_{1}\lt r_0\). Como \(f\) é analítica em \(R\), pela fórmula de Cauchy

(8)

$$
f(z) =\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C_{1}}\frac{f(w)}{w-z}dw, \;\text{ onde }\; C_{1}:\left\vert w-z_0\right\vert=r_{1}.
$$
Observe ainda que
$$
\frac{1}{w-z}=\frac{1}{( w-z_0) -(z-z_0) }=\frac{1}{w-z_0}\frac{1}{1-(z-z_0)/( w-z_0) }=
$$

Figura 1.

$$
=\frac{1}{w-z_0}\sum\limits_{n=0}^{\infty }(\frac{z-z_0}{w-z_0})^{n},
$$

que é uma série convergente porque
$$
\left\vert \frac{z-z_0}{w-z_0}\right\vert =\frac{\left\vert z-z_0\right\vert }{\left\vert w-z_0\right\vert }=\frac{r}{r_{1}} \lt 1.
$$
Concluimos que
$$
\frac{1}{w-z}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }\frac{(z-z_0)^{n}}{( w-z_0)^{n+1}}.
$$
O integrando na equação (8) pode ser escrito como
$$
\frac{f(w) }{w-z}=f(w) \sum\limits_{n=0}^{\infty }\frac{f(w) (z-z_0)^{n}}{( w-z_0)
^{n+1}}.
$$
Como \(f(z)\) é contínua ela deve assumir um valor finito máximo em \(C_{1}\), ou seja, \(\left\vert f(w)
\right\vert \leq M\) e
$$
\sum\limits_{n=0}^{\infty }\left\vert \frac{f(w) (
z-z_0)^{n}}{( w-z_0)^{n+1}}\right\vert \leq \frac{M}{r_{1}}\sum\limits_{n=0}^{\infty }( \frac{r}{r_{1}})^{n}.
$$
Pelo teste de Weierstrass a série converge e, portanto, pode ser integrada termo a termo,
$$
f(z) =\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C_{1}}f(w)
\sum\limits_{n=0}^{\infty }\frac{(z-z_0)^{n}}{(
w-z_0)^{n+1}}dw=\sum\limits_{n=0}^{\infty }\left[ \frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C_{1}}\frac{f(w) }{( w-z_0)^{n+1}}dw\right] (z-z_0)^{n}.
$$
O termo dentro de colchetes é \(f^{( n) }( z_0)/n!\) de onde concluímos a demonstração de que
$$
f(z) =\sum\limits_{n=0}^{\infty }\frac{f^{( n)
}( z_0) }{n!}(z-z_0)^{n}.
$$
A série obtida, equação (7), é denominada série de Taylor. A expansão em séries de potência para uma função em torno de \(z_0=0\) é denominada série de MacLaurin.

Exemplo 15: A expansão em séries de potência para a função exponencial \(f(z) =\text{ e}^{z}\) em torno de \(z_0=0\) pode ser encontrada da seguinte forma:
$$
f^{( n) }(z) =\text{ e}^{z};\ f^{( n) }(0) =1.
$$
Então
$$
\text{ e}^{z}=1+z+\frac{z^{2}}{2!}+\ldots +\frac{z^{n}}{n!}+\ldots=\sum\limits_{n=0}^{\infty }\frac{z^{n}}{n!}.
$$

Exemplo 16: (Série binomial) Considere a função \(f(z) =( 1+z)^{\alpha }\), no ramo \(f(0)=1\). Em torno de \(z_0=0\) podemos calcular
$$
f'(z) =\alpha ( 1+z)^{\alpha -1},\ \
f'( 0) =\alpha ,
$$
$$
f^{\prime \prime }(z) =\alpha ( \alpha -1) (
1+z)^{\alpha -2},\ \ f^{\prime \prime }( 0) =\alpha
( \alpha -1) ,
$$
$$
f^{( n) }(z) =\alpha ( \alpha -1) \cdots
( \alpha -n+1) ( 1+z)^{\alpha -n},\ \ f^{(
n) }( 0) =\alpha ( \alpha -1) \cdots (
\alpha -n+1).
$$
Portanto
$$
( 1+z)^{\alpha }=1+\alpha z+\frac{\alpha ( \alpha -1) }{!}z^{2}+\cdots =\sum\limits_{n=0}^{\infty }(
\begin{array}{c} \alpha \\
n\end{array}) z^{n}.
$$
onde
$$
(
\begin{array}{c}
\alpha \\
n\end{array}) =\frac{\alpha ( \alpha -1) \cdots ( \alpha
-n+1) }{n!}
$$
é o coeficiente binomial. Se \(\alpha\) é inteiro então a série termina no termo \(n=\alpha\).

Exercícios:

1. Encontre as séries de potências em torno de \(z_0=0\) de:  a. \(\text{sen }z\),   b. \(\cos z\),   c. \(\text{ senh }z\),   d. \(\cosh z\).

2. Desenvolva em torno de \(z_0=1\) a função \(f(z) =z\ln z-z\).   (Use a determinação ou ramo principal, no qual \(\ln 1=0\)).

3. Desenvolva em séries de potências de \(z\) e \(( z-2)\) as funções
$$
f(z) =\frac{1}{( 4-z)^{3}};\ \ g(z) =\frac{1}{z^{5}}.
$$

Algumas respostas e sugestões:

$$
\begin{array}{ll}
\text{1a. } \text{sen }z=\sum\limits_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{(2n+1) !}z^{2n+1}\; &
\text{1b. } \cos z=\sum\limits_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n}\; \\
\text{1c. } \text{ senh }z=\sum\limits_{n=0}^{\infty }\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} &
\text{1d. }\ \cosh z=\sum\limits_{n=0}^{\infty }\frac{z^{2n}}{(2n)!}
\end{array}
$$

3) Observe que \(f(z) =( 1/4^{3}) /( 1-z/4)^{3}\) e aplique o desenvolvimento binomial. Alternativamente desenvolva \(1/( 4-z)\) em potências de \(z\) e derive duas vezes.

Séries de Laurent

Podemos notar que uma função não analítica em torno de um ponto \(z_0\) pode ter um desenvolvimento em séries em torno deste ponto se admitirmos potências com expoentes negativos. Para ver isto com maior clareza consideremos um exemplo.

Exemplo 17: A função \(f(z) =\text{ e}^{z}/z^{3}\) não é analítica em \(z=0\) e portanto não possui expansão de Taylor em torno deste ponto. No entanto podemos escrever
$$
\frac{\text{ e}^{z}}{z^{3}}=\frac{1}{z^{3}}( 1+z+\frac{z^{2}}{2!}+\ldots +\frac{z^{n}}{n!}+\ldots ) \frac{1}{z^{3}}+\frac{1}{z^{2}}+\frac{1}{2!z}+\frac{1}{3!}+\frac{z}{4!}+\frac{z^{2}}{5!}+\ldots.
$$
Podemos também escrever diretamente
$$
\frac{\text{ e}^{z}}{z^{3}}=\frac{1}{z^{3}}\sum\limits_{n=0}^{\infty }\frac{z^{n}}{n!}=
\sum\limits_{n=0}^{\infty }\frac{z^{n-3}}{n!}=\sum\limits_{n=-3}^{\infty }\frac{z^{n}}{( n+3) !}.
$$
Esta série, incluindo termos em potências negativas de \(z\), generaliza a série de Taylor e é chamada Série de Laurent.

Teorema: Seja \(f\) uma função univalente e analítica na região anular \(G:r\lt \left\vert z-z_0\right\vert \lt R\). Então, \(\forall z\in G\) vale$$
f(z) =\sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^{n}}+\sum\limits_{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_0)^{n}=\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_0)^{n},
$$
onde os coeficientes \(a_{n}\) são dados por
$$
a_{n}=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C}\frac{f(w) }{(w-z_0)^{n+1}}dw
$$
sendo \(C\) um contorno fechado envolvendo \(z_0\) uma vez, no sentido positivo.

Demonstração: Representamos na figura 2 a região anular \(G\) limitada pelos círculos de raio \(r\) e \(R\), e \(z\in G\). Construímos dois caminhos \(C_{1}\) e \(C_{2}\), de raios \(r_{1}\) e \(r_{2}\) respectivamente, e o caminho \(\gamma =C_{2}\cup -C_{1}\cup L\cup -L\) de forma que \(f\) seja analítica em \(\gamma\) e seu interior. Como \(f\) é analítica em \(G\) podemos usar a fórmula da integral,
$$
f(z) =\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{\gamma }\frac{f(w) }{w-z_0}dw.
$$
Esta integral pode ser escrita como a soma
$$
f(z) =\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C_2}\frac{f(w) }{w-z_0}dw-\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C_1}\frac{f(w) }{w-z_0}dw,
$$
lembrando que as integrais sobre \(L\) e \(-L\) se cancelam.

Figura 2.

A primeira integral, sobre o caminho \(C_2\), é a mesma já tratada na demonstração do teorema de Taylor, resultando em
$$
\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C_2}\frac{f(w)}{w-z_0}dw=\sum\limits_{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_0)^{n},\ \text{onde }\ a_{n}=\frac{f^{( n) }( z_0) }{n!}.
$$
Para resolver a segunda integral, que denotaremos por \(I_{2}\), escrevemos
$$
\frac{1}{w-z}=\frac{1}{( w-z_0) -(z-z_0) }=\frac{-1/(z-z_0) }{1-( w-z_0) /(z-z_0) }
$$
$$
=-\sum\limits_{n=0}^{\infty }\frac{( w-z_0)^{n}}{(z-z_0)^{n+1}},
$$
uma série que converge uniformemente para todo \(w\) em \(C_{1}\) pois
$$
\left\vert \frac{w-z_0}{z-z_0}\right\vert =\frac{\left\vert
w-z_0\right\vert }{\left\vert z-z_0\right\vert }=\frac{r_{1}}{r}\lt 1.
$$
Desta forma podemos escrever
$$
I_{2}=\frac{-1}{2\pi i}\oint\limits_{C_{1}}\frac{f(w) }{w-z}dw=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C_{1}}f(w)
\sum\limits_{n=0}^{\infty }\frac{( w-z_0)^{n}}{(
z-z_0)^{n+1}}dw=
$$
$$
=\frac{1}{2\pi i}\sum\limits_{n=0}^{\infty }\frac{1}{(z-z_0)
^{n+1}}\oint\limits_{C_{1}}\frac{f(w) dw}{( w-z_0)
^{-n}}.
$$
Trocando o índice de \(n\) para \(n+1\) temos
$$
I_{2}=\frac{1}{2\pi i}\sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{1}{(
z-z_0)^{n}}\oint\limits_{C_{1}}\frac{f(w) dw}{(
w-z_0)^{-n+1}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{a_{-n}}{(
z-z_0)^{n}}=\sum\limits_{n=-\infty }^{-1}a_{n}(z-z_0)
^{n}.
$$
Observe que, nos dois casos, as constantes podem ser expressas por
$$
a_{n}=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C}\frac{f(w) dw}{(
w-z_0)^{n+1}},
$$
onde \(C\) pode ser qualquer caminho que envolve \(z_0\) uma vez, no sentido positivo.

Algumas vezes, da mesma forma que ocorre com as expansões em séries de Taylor para funções analíticas, é possível encontrar a série de Laurent por simples manipulação da função dada e comparação com a série geométrica. Para mostrar isto vejamos um exemplo.

Exemplo 18: Vamos obter série de Laurent para a função
$$
f(z) =\frac{1}{z^{2}-3z+2},
$$
em torno de \(z_0=1\), na região \(0\lt \left\vert z-1\right\vert \lt 1\). Escrevemos a função como
$$
f(z) =\frac{1}{( z-1) ( z-2) },
$$
e observamos que \(1/( z-2)\) é analítica em \(z_0=1\) e pode ser escrita como
$$
\frac{1}{z-2}=\frac{1}{z-1-1}=\frac{-1}{1-( z-1) }=-\sum\limits_{n=0}^{\infty }( z-1)^{n},
$$
válida para \(\left\vert z-1\right\vert \lt 1\). Como consequência
$$
f(z) =\frac{1}{z-1}\frac{1}{z-2}=\frac{-1}{z-1}\sum\limits_{n=0}^{\infty }( z-1)
^{n}=-\sum\limits_{n=0}^{\infty }( z-1)^{n-1},
$$
que é a série de Laurent para esta função na região indicada. Esta série pode também ser escrita como
$$
f(z) =-\sum\limits_{n=-1}^{\infty }( z-1)^{n}.
$$
Alternativamente, o mesmo exercício pode ser feito do seguinte modo: escrevemos, por meio de frações parciais
$$
f(z) =\frac{1}{( z-1) ( z-2) }=\frac{1}{z-2}-\frac{1}{z-1}.
$$
A série de Taylor para o primeiro termo, analítico, já foi encontrada. Temos portanto a mesma série já encontrada,
$$
f(z) =-\frac{1}{z-1}-\sum\limits_{n=0}^{\infty }(z-1)^{n}.
$$

Exemplo 19: Vamos obter série de Laurent para a mesma função do exemplo anterior, \(f(z)=(z^2-3z+2)^{-1}\) em torno de \(z_0=1\), mas desta vez na região \(\left\vert z-1\right\vert \gt 1\). Agora o ponto \(z_0=2\) está dentro da região de interesse e \(1/(z-2)\) não é analítica. Fazemos
$$
\frac{1}{z-2}=\frac{1}{z-1-1}=\frac{1/( z-1) }{1-1/(z-1) }=\frac{1}{z-1}\frac{1}{1-u}=\frac{1}{z-1}\sum\limits_{n=0}^{\infty }u^{n},
$$
onde
$$
u=\frac{1}{z-1},\;\; \text{válida para }\;\; \left\vert u\right\vert \lt 1\Rightarrow \left\vert z-1\right\vert \gt 1,
$$
que é a região onde se espera que a série seja convergente. Como consequência
$$
\frac{1}{z-2}=\frac{1}{z-1}\sum\limits_{n=0}^{\infty }( \frac{1}{z-1})^{n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }\frac{1}{( z-1)^{n+1}}.
$$
A série que buscamos é
$$
f(z) =\frac{1}{z-1}\sum\limits_{n=0}^{\infty }\frac{1}{(
z-1)^{n+1}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }\frac{1}{( z-1)
^{n+2}}=\sum\limits_{n=-\infty }^{-2}( z-1)^{n}.
$$

As séries de Laurent generalizam as séries de Taylor para o tratamento de funções que possuem algum ponto de não analiticidade dentro da região considerada. Observe que, se \(f\) é analítica em toda parte, inclusive para \(\left\vert z-z_0\right\vert \leq r\), então os coeficientes \(a_{n}\) com \(n\) negativo são todos
nulos. Por exemplo:
$$
a_{-1}=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C}f(w) dw=0,
$$
$$
a_{-2}=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C}f(w) (w-z_0) dw=0,
$$
$$
a_{-3}=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C}f(w) (w-z_0)^{2}dw,
$$
e assim por diante, já que os integrandos são analíticos.

Zeros de funções analíticas

Definição: Dizemos que uma função \(g(z)\) é analítica (ou regular) em \(z=\infty\) se \(g( 1/w)\) for analítica em \(w=0\). Neste caso vale a expansão
$$
g\left( \frac{1}{w} \right) =b_0+b_{1}w+b_{2}w^{2}+\ldots
$$
na vizinhança de \(w=0\), ou, equivalentemente,
$$
g(z) =b_0+\frac{b_{1}}{z}+\frac{b_{2}}{w^{2}}+\ldots.
$$

Se \(f\) uma função analítica no ponto \(z_0\) ela possui expansão de Taylor dada por
$$
f(z) =\sum\limits_{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_0)^{n},\ \text{na vizinhança }\left\vert z-z_0\right\vert \lt r.
$$
Observe que se \(a_0=0\) temos que \(z_0\) é um zero de \(f\), enquanto se \(a_{n}=0\), para todo \(n\), então a função é identicamente nula \(f\equiv 0\) na vizinhança de \(z_{0.}\) Excluindo-se este último caso, suponha que \(a_{m}\), é o primeiro coeficiente não nulo na expansão de Taylor. Neste caso

(9)

$$
f(z) =\sum\limits_{n=m}^{\infty }a_{n}(z-z_0)^{n}=a_{m}(z-z_0)^{m}+a_{m+1}(z-z_0)^{m+1}+\ldots
$$
e dizemos que \(z_0\) é um zero de ordem \(m\) da função. O teorema seguinte fornece um critério de determinação de zeros de uma função.

Teorema: \(z_0\) é um zero de ordem \(m\) de uma função analítica \(f\) se, e somente se, existe uma função \(g\) satisfazendo
$$
f(z) =(z-z_0)^{m}g(z) \; \text{ onde } \; g( z_0) \neq 0.
$$
Alternativamente, o limite
$$
\lim_{z\rightarrow z_0}\frac{f(z) }{(z-z_0)^{m}}
$$
é finito e não nulo.

Demonstração: Fatorando \((z-z_0)^{m}\) na expressão (9) acima obtemos
$$
f(z) =(z-z_0)^{m}\left[ a_{m}+a_{m+1}(z-z_0) +a_{m+2}(z-z_0)^{2}+\ldots \right]
$$
$$
=(z-z_0)^{m}\sum\limits_{n=0}^{\infty }a_{m+n}(z-z_0)^{n}.
$$
Denotando \(g(z) =\sum\nolimits_{n=0}^{\infty }a_{m+n}(z-z_0)^{n}\) temos que, se \(z_0\) é zero de ordem \(m\) de \(f\) então
$$
f(z) =(z-z_0)^{m}g(z) \; \text{ onde } \; g( z_0) \neq 0.
$$
Observamos que
$$
\lim_{z\rightarrow z_0}\frac{f(z) }{(z-z_0)^{m}}=g( z_0) =a_{m}.
$$

Se \(f\) é regular (analítica) em \(z=\infty\) este ponto é chamado um zero de ordem \(m\) se \(w=0\) é zero de ordem \(m\) de \(f(1/w)\).

Exercícios :

1. Encontre as séries de Laurent nas regiões dadas:

a. \(f(z) =\frac{1+z}{z},\; z_0=0,\;\;0 \lt \left\vert z \right\vert \lt \infty\).

b. \(f(z) =\frac{z}{z^{2}+1},\; z_0=0,\;\;0 \lt \left\vert z \right\vert \lt \infty\).

c. \(f(z) =\frac{1}{(z-i)(z-2)}, \; z_0=2, \; 0 \lt \left\vert z-2 \right\vert \lt \sqrt{5}\).

d. \(f(z) =\frac{z^{5}}{z-1},\; z_0=0,\;\; \left\vert z \right\vert \gt 1\).

e. \(f(z) =z^{5}\text{ e}^{1/z},\; z_0=0,\;\;\left\vert z \right\vert \gt 0\).

f. \(f(z) =\frac{\text{sen }z}{( z-\pi )^{3}},\; z_0=\pi , \;\; z\neq \pi\).

2. Seja \(f\) uma função analítica no ponto \(z_0\). Mostre que \(z_0\) é um zero de ordem \(m\) de \(f\) se, e somente se,
$$
f(z_0)=0,\; f'(z_0) =0,\ldots ,\; f^{(m-1)}(z_0) =0 \; \text{ e }\; f^{(m)}(z_0) \neq 0.
$$

3. Determine a ordem do zero \(z=0\;\;\) nas seguintes funções:
$$
\begin{array}{ll}
\text{a.}\;\; (\cos z-1)^{3}\text{sen }z,\;\;
& \text{b.}\;\; \frac{(1-\cos z) \text{ sen }^{2}z}{1-\text{e}^z},\;\;
& \text{c.}\;\; (\text{ e}^{z}-1-z)^{3}\text{sen }^{2}z,\;\;
\\
\text{d.}\;\; \text{e}^{\text{sen }z}-\text{ e}^{z},\;\;
& \text{e.}\;\; (\text{e}^{z^{2}}-1)(\text{sen }^{2}z-z^{2}),\;\;
& \text{f.}\;\; \text{e}^{\text{sen }z}-\text{e}^{\tan z}.
\end{array}
$$

Algumas respostas e sugestões:

1a. A função já está sob a forma de uma série de Laurent: \(f(z) =1+1/z.\)

b. Escreva sob a forma de frações parciais \(f(z)=\frac{A}{z+i}+\frac{B}{z-i}\) para achar
$$
f(z) =\frac{1}{2}( z-i)^{-1}+\sum\limits_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n+1}(z-i)^{n}}{(2i)^{n+1}}.
$$

3 – A Teoria da Integral

Arcos e contornos

Um arco contínuo é o conjunto parametrizado
$$
C=\left\{ z\left( t\right) =x\left( t\right) +iy\left( t\right) ;\;a\leq t\leq b\right\} ,
$$
onde \(z\left( t\right)\) é contínua. Observamos que \(z\left(t\right)\) é contínua se, e somente se, \(x(t)\), e \(y(t)\) são contínuas. O mesmo arco, com orientação oposta é denotado por \(-C\) e pode ser parametrizado por
$$
z_{1}\left( t\right) =z\left( -t\right) ,\;-b\leq t\leq -a.
$$

Figura 1

Um arco simples ou arco de Jordan é um arco sem auto-interseções. Uma curva fechada é aquela que satisfaz \(z\left( t_{1}\right) =z\left( t_{2}\right)\), com \(t_1 \neq t_2\). Na figura 2 as curvas são: (a) simples, (b) não simples, com interseção, (c) fechada simples, também chamada curva de Jordan, (d) fechada, com auto-interseção.

Figura 2

Um arco \(C\), parametrizado por \(z\left( t\right) =x\left( t\right) +iy\left(t\right)\) é dito regular se a derivada \(z^{\prime }\left( t\right)=x^{\prime }\left( t\right) +iy^{\prime }\left( t\right)\) existe, é contínua e \(z^{\prime }\left( t\right) \neq 0\), \(\forall t\) no intervalo de definição da curva. Isto garante que a curva possui tangente em qualquer um de seus pontos. O ângulo formado pela tangente com o eixo \(\mathcal{O}x\) é \(\arg \left( z^{\prime }\right)\).

Um contorno ou caminho é um arco regular por partes, ou seja, um arco composto por sub-arcos regulares, \(C=C_{1}\cup C_{2}\cup \ldots \cup \;C_{n}\).

Exercício Resolvido: Faça um esboço das curvas parametrizadas por
$$
\left.
\begin{array}{lll}
\text{(a)}\;\; z_{1}=1+it, & & \text{(b)}\;\; z_{2}=t+it, \\
\text{(c)}\;\; z_{3}=t^{2}+it, & & \text{(d)}\;\; z_{4}=t+it^{2},
\end{array}
\right\} \;\;\; \text{ todas no intervalo } 0 \leq t\leq 1.
$$

A curva (a) tem parte real constante \(x=1\) e imaginária \(y=t\). Ela é, portanto, o segmento de reta \(\left( 1,t\right)\) no plano complexo, com início em \(\left( 1,0\right)\) e fim em \(\left( 1,1\right)\). A curva (b) corresponde a \(x=t,\;y=t\) ou, em outra representação, o segmento de reta \(y=x\). A curva (c) é o arco de parábola \(x=y^{2}\) enquanto a curva (d) é o arco de parábola \(y=x^{2}\), como representado na figura 3(a).

Figura 3

Exercício Resolvido: Identifique e faça um esboço da curva parametrizada por \(z\left( t\right) =re^{i\theta };\;0\leq\theta \leq 2\pi\).

Esta curva pode ser escrita como \(z\left( \theta \right) =r\left( \cos \theta +i\text{sen }\theta \right)\) e portanto tem partes real e imaginária
$$
x=r\cos \theta ,\ \ y=r\text{sen }\theta .
$$
Observe que \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\) para qualquer valor de \(\theta\). Quando o parâmetro varia de \(0\) até \(2\pi\) a curva realiza uma volta completa sobre a circunferência de centro na origem e raio \(r\). Esta é uma curva de Jordan, representada na figura 3(b).

Teorema de Jordan: Toda curva \(C\) fechada simples divide o plano em duas regiões, sendo \(C\) sua fronteira comum. O interior \(R\) é uma região limitada, simplesmente conexa, ou seja, qualquer curva fechada simples em seu interior pode ser deformada continuamente sem sair de \(R\).

Como exemplo, o domínio da função \(f\left( z\right) =\ln z\) é
$$
D\left[ \ln \left( z\right) \right] =\mathbb{C}-\left\{ 0\right\} =\left\{ z\in \mathbb{C};\ z\neq 0\right\}
$$

e é uma região perfurada, conexa mas não simplesmente conexa, a que chamaremos região multiplamente conexa.

 

Exercícios:

Identifique as curvas dadas abaixo:

1. \(z=3t+it^{2}, -\infty \lt t \lt \infty\),

2. \(z=3t^{2}+5it, -\infty \lt t \lt \infty\),

3. \(z=r\left( \cos t+i\text{sen }t\right),\; -\pi /4\lt t \lt \pi ,\; r\gt 0\),

4. \(z=1/t+it, 1\lt t \lt \infty\),

5. \(z=t+2i/t, -\infty \lt t \lt 0\),

6. \(z=t+i\sqrt{1-t^{2}}, -1\lt t \lt 1\),

7. \(\left\vert z-2i\right\vert =2\).

8. Qual é a equação da reta em \(\mathbb{C}\) que liga os pontos \(0\) até \(1+i\,\)?

9. Qual é a equação da reta que liga os pontos \(1+i\) até \(0\)?

10. Qual é a equação da reta que liga os pontos \(z_{1}=1+2i\) a \(z_{2}=2+5i\)?

11. Qual é a equação da circunferência com centro em \(z_0=i\) e raio \(r=1\)?

Integrais de funções complexas

Seja \(F\left( t\right) =U\left( t\right) +iV\left( t\right)\) uma função contínua no intervalo \(\left[ a,b\right]\). Sua integral é definida por
$$
\int_{a}^{b}F\left( t\right) dt=\int_{a}^{b}U\left( t\right)dt+i\int_{a}^{b}V\left( t\right) dt.
$$
Seguem da definição as seguintes propriedades: suas partes real e imaginária são, respectivamente

(1)

$$
\text{Re}\int_{a}^{b}F\left( t\right) dt=\int_{a}^{b}U\left( t\right)dt=\int_{a}^{b}\text{Re}\left[ F\left( t\right) \right] dt,
$$

(2)

$$
\text{Im}\int_{a}^{b}F\left( t\right) dt=\int_{a}^{b}V\left( t\right) dt=\int_{a}^{b}\text{Im}\left[ F\left( t\right) \right] dt.
$$
A integral é linear,
$$
\int_{a}^{b}\left[ F\left( t\right) +G\left( t\right) \right]\,dt=\int_{a}^{b}F\left( t\right) dt+\int_{a}^{b}G\left( t\right) dt,
$$
$$
\int_{a}^{b}\alpha F\left( t\right) \,dt=\alpha \int_{a}^{b}F\left( t\right)
dt.
$$
Além disto, uma propriedade que será bastante útil é a chamada desigualdade triangular,

(3)

$$
\left\vert \int_{a}^{b}F\left( t\right) \,dt\right\vert \leq \int_{a}^{b}\left\vert F\left( t\right) \right\vert \,dt.
$$

Exercício Resolvido: Demonstre a desigualdade triangular, propriedade (3).

Observamos primeiro que \(\int_{a}^{b}F\left( t\right) \,dt\) é um número complexo e o escrevemos em sua forma polar
$$
\int_{a}^{b}F\left( t\right) \,dt=re^{i\theta },\;\;\text{ onde }r=\left\vert \int_{a}^{b}F\left( t\right) \,dt\right\vert .
$$
Multiplicamos os dois lados da última equação por \(e^{-i\theta }\) para obter
$$
r=e^{-i\theta }\int_{a}^{b}F\left( t\right) \,dt=\int_{a}^{b}e^{-i\theta} F\left( t\right) \,dt.
$$
Como \(r\) é real, \(r=\text{Re}\left\{ r\right\}\) ou seja
$$
r=\text{Re}\int_{a}^{b}e^{-i\theta }F\left( t\right) \,dt=\int_{a}^{b}\text{Re}\left[ e^{-i\theta }F\left( t\right) \right] \,dt,
$$
onde se aplicou a propriedade (3). Considerando que, para qualquer complexo, vale a relação \(\text{Re}\left\{ z\right\} \leq \left\vert z\right\vert\) então o integrando é \(\text{Re}\left[ e^{-i\theta}F\left( t\right) \right] \leq \left\vert e^{-i\theta }F\left( t\right) \right\vert =\left\vert F\left( t\right) \right\vert\) para todo \(t\), lembrando que a última igualdade vale porque \(e^{-i\theta }\) é um complexo com valor absoluto igual a um. Concluimos que
$$
\left\vert \int_{a}^{b}F\left( t\right) \,dt\right\vert =r\leq \int_{a}^{b}\left\vert F\left( t\right) \,\right\vert \,dt.
$$
Fica assim mostrada a propriedade.

A integral de contorno

Definimos a integral de contorno, ou integral curvilínea, \(\int_{C}f\left( z\right) \,dz\) onde \(C\) é um caminho qualquer e \(f=u+iv\) é uma função contínua em \(a\leq t\leq b\) como
$$
\int_{C}f\left( z\right) \,dz=\int_{a}^{b}f\left( z\left( t\right) \right)z^{\prime }\left( t\right) dt.
$$
Observe que \(f\left( z\right)\) pode ser definida para qualquer ponto do plano complexo mas, na avaliação da integral, somente são considerados seus valores sobre a curva \(C\). Estas integrais são avaliadas da seguinte forma: descrevemos o caminho \(C\) por meio de alguma parametrização \(z\left( t\right) =x\left( t\right) +iy\left(t\right)\), encontramos a diferencial,
$$
dz=\left[ x^{\prime }\left( t\right) +iy^{\prime }\left( t\right) \right] dt
$$
e os valores da função sobre este caminho transformando a integral de caminho em uma integral definida complexa, definida na seção anterior que, por sua vez, se reduz a duas integrais definidas ordinárias. Se \(f=u+iv\) então
$$
\int_{C}f\left( z\right) \,dz=\int_{a}^{b}\left( u+iv\right) \left(
x^{\prime }+iy^{\prime }\right) dt=\int_{a}^{b}\left[ \left( ux^{\prime
}-vy^{\prime }\right) +i\left( u\,y^{\prime }+vx^{\prime }\right) \right] dt.
$$
Lembramos que o contorno deve ser composto por um número finito de arcos regulares, onde \(z^{\prime }\neq 0\).

Exemplo 1: Calcule a integral de contorno
$$
I=\int\limits_{C}f\left( z\right) dz \;\; \text{ onde } \;\; f\left( z\right)=2x-y+ix^{2},
$$
e \(C\) é o segmento de reta ligando os pontos \(0\) a \(1+i\). O primeiro passo é parametrizar este segmento. Ele pode ser descrito como
$$
C: z=\left( 1+i\right) t,\; \; 0\leq t\leq 1.
$$
Sobre este segmento \(x=t\) e \(y=t\) e, portanto \(f\left( z\right)=2t-t+it^{2},\) enquanto \(dz=z^{\prime }dt=\left( 1+i\right) dt\). A integral é
$$
I=\left( 1+i\right) \int_{0}^{1}\left( t+it^{2}\right) dt=\left( 1+i\right)\left. \left( \frac{t^{2}}{2}+i\frac{t^{3}}{3}\right) \right\vert _{0}^{1}
=\frac{1}{6}\left( 1+5i\right).
$$

Exemplo 2: Vamos calcular a integral de contorno
$$
I=\int\limits_{C}f\left( z\right) dz \text{ onde }f\left( z\right)=\left\vert z\right\vert
\;\;\;\;\text{ e }\;\;\;\; C=\left\{ z=re^{i\theta }, 0\leq \theta \leq \pi ,\; r\; \text{ constante }\right\}.
$$
Note que \(C\) é o arco da circunferência de raio \(r\) no primeiro e segundo quadrantes. Sobre \(C\), \(f\left( z\right) =\left\vert z\right\vert =r\). Como \(r\) é constante é conveniente parametrizar o caminho usando a variável \(\theta\), fazendo
$$
z\left( \theta \right) =r\left( \cos \theta +i\text{sen }\theta \right) ,\; \; 0\leq \theta \leq \pi,
$$
enquanto a diferencial é
$$
dz=z^{\prime }d\theta =r\left( -\text{sen }\theta +i\cos \theta \right) d\theta.
$$
Juntando os termos a integral procurada é
$$
I=\int_{0}^{\pi }r^{2}\left( -\text{sen }\theta +i\cos \theta \right) d\theta=r^{2}\left[ \left. \cos \theta \right\vert _{0}^{\pi }+i\left. \text{sen }
\theta \right\vert _{0}^{\pi }\right] =-2r^{2}.
$$
Observe que, se o caminho fosse fechado, \(z=re^{i\theta },\; 0\leq \theta \leq 2\pi\), a integral seria nula pois
$$
I=\int_{0}^{2\pi }r\left( ire^{i\theta }\right) d\theta =ir^{2}\int_{0}^{2\pi }e^{i\theta }d\theta =0.
$$
Para calcular a integral neste segundo caso usamos a parametrização \(z=re^{i\theta }\), \(0\leq \theta \leq 2\pi\), com a respectiva diferencial \(dz=ire^{i\theta }d\theta\).

Propriedades da integral de contorno

As seguintes propriedades valem para a integral de contorno:

i) A integral de contorno é linear:
$$
\int_{C}\left[ f\left( z\right) \,+g\left( z\right) \right]
\,dz=\int_{C}f\left( z\right) \,dz+\int_{C}g\left( z\right) \,dz
$$
$$
\int_{C}\alpha f\left( z\right) \,dz=\alpha \int_{C}f\left( z\right) \,dz,
$$
onde \(\alpha\) é uma constante complexa.

ii) Se \(C\) é a união de caminhos disjuntos, \(C=C_{1}\cup C_{2}\cup \ldots \cup C_{r}\) então
$$
\int_{C}f\left( z\right) \,dz=\int_{C_{1}}f\left( z\right) \,dz+\int_{C_{2}}f\left( z\right) \,dz+\ldots +\int_{C_{r}}f\left( z\right) \,dz.
$$
Segue daí que a integral ao longo de um caminho fechado não depende do ponto inicial onde se inicia o caminho. Dizemos que ela é invariante
por translações do parâmetro.

iii) A integral muda de sinal se percorremos o caminho em sentido oposto:
$$
\int_{-C}f\left( z\right) \,dz=-\int_{C}f\left( z\right) \,dz.
$$
Para mostrar esta afirmação fazemos
$$
-C=\left\{ z_{1}\left( t\right) =z\left( -t\right) ;\;-b\leq t\leq -a\right\}
$$
e, portanto,
$$
I=\int_{-C}f\left( z\right) \,dz=\int_{-b}^{-a}f\left( z_{1}\left( t\right) \right) z_{1}^{\prime }\left( t\right) dt.
$$
Como \(z_{1}\left( t\right) =z\left( -t\right)\) temos que
$$
I=\int_{-b}^{-a}f\left( z\left( -t\right) \right) \frac{dz\left( -t\right) }{dt}dt.
$$
Fazendo a mudança de variáveis \(\tau =-t\) temos
$$
dt=-d\tau \;\;\; \text{ e }\;\;\; \frac{d}{dt}=\frac{d}{d\tau }\frac{d\tau }{dt}=-\frac{d}{d\tau }
$$
e a integral pode ser escrita como
$$
I=\int_{b}^{a}f\left( z\left( \tau \right) \right) \,\frac{dz\left( \tau
\right) }{d\tau }\,d\tau =-\int_{a}^{b}f\left( z\left( \tau \right) \right)
dz=-\int_{C}f\left( z\right) \,dz.
$$
iv) Vale a desigualdade
$$
\left\vert \int_{C}f\left( z\right) \,dz\right\vert \leq \int_{C}\left\vert
f\left( z\right) \right\vert \,\left\vert dz\right\vert ,
$$
que é decorrente da propriedade semelhante válida para \(\int_{a}^{b}F\left( t\right) \,dt\), propriedade (3).

v) Se \(f\) é uma função contínua sobre o arco \(C\) então existe uma constante \(M\) positiva tal que \(\left\vert f\left( z\right) \right\vert \leq M,\;\forall z\in C\). Daí, e da propriedade anterior,
$$
\left\vert \int_{C}f\left( z\right) \,dz\right\vert \leq \int_{C}\left\vert
f\left( z\right) \right\vert \,\left\vert dz\right\vert \leq
M\int_{C}\left\vert dz\right\vert =ML,
$$
onde \(L\) é o comprimento do arco \(C\). A última igualdade pode ser justificada da seguinte forma: se \(z\left( t\right) =x\left( t\right) +iy\left( t\right)\) então \(dz=dx+idy\) e
$$
\int_{C}\left\vert dz\right\vert =\int_{a}^{b}\sqrt{dx^{2}+dy^{2}}
=\int_{a}^{b}\sqrt{\left( \frac{dx}{dt}\right) ^{2}+\left( \frac{dy}{dt}
\right) ^{2}}dt=L.
$$

vi) A integral \(\int_{C}f\left( z\right) \,dz\) não depende da escolha de uma parametrização para \(C\).

Representando o caminho \(C\) por meio da parametrização \(z\left(t\right)\), \(t_{1}\leq t\leq t_{2}\) então calculamos
$$
I=\int_{C}f\left( z\right) \,dz=\int_{t_{1}}^{t_{2}}f\left( z\left( t\right)\right) z^{\prime }\left( t\right) dt.
$$
Podemos também usar outra parametrização dada por \(z_{1}\left(\tau \right) =z\left( t\left( \tau \right) \right)\), \(\tau _{1}\leq \tau
\leq \tau _{2}\) onde \(t\left( \tau \right)\) é uma função crescente e monótona, \(t_{1}=t\left( \tau _{1}\right) ,\;t_{2}=t\left(
\tau _{2}\right)\). Neste caso
$$
I=\int_{C}f\left( z\right) \,dz=\int_{\tau _{1}}^{\tau _{2}}f\left(
z_{1}\left( \tau \right) \right) z^{\prime }\left( \tau \right) d\tau .
$$
Mas
$$
\frac{d\left( z_{1}\left( \tau \right) \right) }{d\tau }=\frac{d\left(
z\right) }{dt}\frac{dt}{d\tau }
$$
portanto
$$
I=\int_{\tau _{1}}^{\tau _{2}}f\left( z_{1}\left( \tau \right) \right) \frac{
d\left( z_{1}\left( \tau \right) \right) }{d\tau }d\tau =\int_{\tau
_{1}}^{\tau _{2}}f\left( z\left( t\left( \tau \right) \right) \right) \frac{
dz}{dt}\frac{dt}{d\tau }d\tau =\int_{t_{1}}^{t_{2}}f\left( z\left( t\right)
\right) \frac{dz}{dt}dt.
$$

Qualquer parametrização encontrada para a curva \(C\) pode ser usada na avaliação da integral, desde que o sentido seja preservado. Dizemos que a integral é invariante sob reparametrizações do caminho \(C\).

Exercício Resolvido: Calcule \(I=\int_{C}f\left(z\right) \,dz\) onde \(f\left( z\right) =z\) e \(C\) é um caminho qualquer ligando \(z_{1}\) a \(z_{2}\).

Vamos representar o caminho \(C\) por
$$
C=\left\{ z\left( t\right) =x\left( t\right) +iy\left( t\right) ;\;a\leq
t\leq b\right\} ,\;z\left( a\right) =z_{1},\;z\left( b\right) =z_{2}.
$$
Então \(dz=dx+idy=\left( x^{\prime }+iy^{\prime }\right) dt\) e a integral procurada é
$$
I=\int_{a}^{b}z\left( t\right) z^{\prime }\left( t\right)
\,dt=\int_{a}^{b}\left( x+iy\right) \left( x^{\prime }+iy^{\prime }\right)
dt=
$$
$$
=\int_{a}^{b}\left( x+iy\right) \left( x^{\prime }+iy^{\prime }\right)
dt=\int_{a}^{b}\left[ \left( xx^{\prime }-yy^{\prime }\right) +i\left(
xy^{\prime }+yx^{\prime }\right) \right] dt.
$$
Observamos agora que o integrando é uma diferencial exata:
$$
\frac{d}{dt}\left( x^{2}-y^{2}+2ixy\right) =2\left[ \left( xx^{\prime
}-yy^{\prime }\right) +i\left( xy^{\prime }+yx^{\prime }\right) \right] ,
$$
portanto
$$
I=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\frac{d}{dt}\left( x^{2}-y^{2}+2ixy\right) dt=\frac{
1}{2}\left. \left( x^{2}-y^{2}+2ixy\right) \right\vert _{a}^{b}=
$$
$$
\frac{1}{2}\left. z^{2}\right\vert _{a}^{b}=\frac{1}{2}\left[ z^{2}\left(
b\right) -z^{2}\left( a\right) \right] =\frac{1}{2}\left[ z_{2}^{2}-z_{1}^{2}
\right] .
$$
Aproveitamos este exercício para indicar um resultado importante, que será estudado na próxima seção. Se o caminho \(C\) é fechado então \(z\left( a\right) =z\left( b\right)\) e esta integral, sobre o caminho fechado, é nula:
$$
\int_{C}z\,dz\equiv \oint z\,dz=0.
$$
O sinal \(\oint\) indica integração sobre um caminho fechado. Como veremos este resultado não é uma coincidência, mas faz parte de um resultado mais geral que será expresso pelo teorema de Cauchy, descrito na próxima seção.

Exercícios :

1. Dados os pontos \(a=\left( 1,~0\right)\), \(b=\left( 0,~m\right), c=\left( 1,~m\right)\), calcule \(\int\limits_{C}f\left( z\right) dz\) onde \(f\left( z\right) =\bar{z}\) e \(C\) é o caminho que liga a origem ao ponto \(c\) ao longos de três percursos: \(\mathcal{O}c,\; \mathcal{O}ac \;\) e \(\mathcal{O}bc\).

2. Calcule \(\int\limits_{C}f\left( z\right)dz\) onde:

a. \( f\left( z\right) =\left\vert z\right\vert ; C=\left \{ z=re^{i\theta},\; \pi /2\leq \theta \leq \pi \right\}\)

b. \(f\left( z\right) =z^{2};\; C=\left\{ z=re^{i\theta },\; 0\leq \theta \leq \pi \right\}\)

c. \(f\left( z\right) =z^{2}; C=\left\{ z=re^{i\theta },\ -\pi \leq \theta \leq \pi \right\}\)

d. \(f\left( z\right) =\sqrt{z}; C=\left\{ z=re^{i\theta },\ 0\leq \theta \leq 2\pi \right\}\)

e. \(f\left( z\right) =\sqrt{z}; C=\left\{ z=re^{i\theta },\ -\pi \leq \theta \leq \pi \right\}\)

f. \(f\left( z\right) =\left\vert z\right\vert\), ao longo do segmento de reta de zero até \(-2+3i\).

g. \(f\left( z\right) =x^{2}-y^{2}+i\left( x-y^{2}\right)\), ao longo do segmento de reta de zero até \(3+2i\).

h. \(f\left( z\right) =y-x^{2}\), ao longo dos caminhos \(\mathcal{O}ac\) e \(\mathcal{O}bc\), onde \(\mathcal{O=}\left( 0, 0\right) , a=\left(2, 0\right) , b=\left( 0, 1\right)\) e \(c=\left( 2, 1\right)\).

3. Se \(C\) é um caminho qualquer ligando os pontos \(z_{1}\) a \(z_{2}\) mostre que \(\int_{C}dz= z_{2}-z_{1}\).

Algumas soluções:

1) \(\int_{\mathcal{O}c}=\frac{1+m^{2}}{2},\; \int_{\mathcal{O}ac}=\frac{1}{2}\left( 1+m^{2}+im\right) ,\; \int_{\mathcal{O}bc}=\frac{1}{2} \left(
1+m^{2}-2im\right)\). As integrais podem ser calculadas da seguinte forma: Representamos graficamente os três caminhos na figura 4 e buscamos uma parametrização para cada um deles.

O caminho direto \(\mathcal{O}c\) é a reta \(\left\{ z\left( t\right) =\left(1+im\right) t,\ 0\leq t\leq 1\right\}\). Sua diferencial é \( dz=z^{\prime }dt=\left( 1+im\right) dt\), enquanto o integrando é \(\bar{z}=\left( 1-im\right) t\). A integral pode ser avaliada como
$$
I_{1}=\int_{\mathcal{O}c}\bar{z}dz=\int_{0}^{1}\left(1-im\right) t\left(1+im\right) dt=\left( 1+m^{2}\right) \int_{0}^{1}tdt=\frac{1+m^{2}}{2}.
$$

ii) O caminho \(\mathcal{O}ac\) é a união de dois arcos simples,
$$
\mathcal{O}ac=\left\{ z\left( t\right) =t,\ 0\leq t\leq 1\right\} \cup \left\{ z\left( t\right) =1+imt,\ 0\leq t\leq 1\right\}.
$$
As diferenciais são, respectivamente, \(dz=dt\) e \(dz=imdt\) sobre cada parte do caminho. A integral pode ser partida em dois pedaços, \(\int_{\mathcal{O}ac}=\int_{\mathcal{O}a}+\int_{ac}\), ou seja
$$
I_{2}=\int_{0}^{1}tdt+\int_{0}^{1}\left( 1-imt\right) imdt=\int_{0}^{1}tdt+im\int_{0}^{1}dt+m^{2}\int_{0}^{1}tdt=\frac{1}{2}\left(1+m^{2}+2im\right).
$$

iii) O caminho \(\mathcal{O}bc\) é a união dos arcos
$$
\mathcal{O}bc=\left\{ z\left( t\right) =imt,\ 0\leq t\leq 1\right\} \cup \left\{ z\left( t\right) =t+im,\ 0\leq t\leq 1\right\}.
$$
As diferenciais são \(dz=imdt\) e \(dz=dt\) sobre cada parte do caminho e a integral pode ser avaliada como
$$
I_{3}=\int_{\mathcal{O}bc}=\int_{0}^{1}\left( -imt\right)imdt+\int_{0}^{1}\left( t-im\right)dt =
$$
$$
=m^{2}\int_{0}^{1}tdt+\int_{0}^{1}tdt-im\int_{0}^{1}tdt=\frac{1}{2}\left(1+m^{2}-2im\right).
$$

Observamos que o valor da integral é diferente para cada caminho tomado, neste caso.
$$
\begin{array}{rll}
\text{2a. }\; \left(i-1\right) r^{2}\;\; & \text{b. }\; -2r^{3}/3 \;\; & \text{c. }\; \text{zero} \\
\text{d. }\; -4r\sqrt{r}/3 \;\; & \text{e. }\; 4r\sqrt{r}/3i \;\; & \text{f. }\; \sqrt{13}\left(3i-2\right) /2
\end{array}
$$

Teorema de Cauchy

O seguinte teorema foi originalmente foi apresentada por Cauchy no início da década de 1800, afirmando que a integral de uma função analítica, realizada sobre um contorno fechado, é sempre nula.

Antes de enunciar o teorema de Cauchy vamos definir o sentido orientação de um contorno e fazer uma breve revisão sobre o teorema de Green.

Definição. Dizemos que o contorno fechado \(C\) é positivamente orientado se um observador com trajetória sobre \(C\) deixa sempre a região interior envolvida por \(C\) à sua esquerda.

Teorema de Green1: Sejam \(P\left( x,y\right)\) e \(Q\left( x,y\right)\) duas funções definidas em uma região \(R\) simplesmente conexa, com derivadas primeiras contínuas. Então, para qualquer contorno fechado simples \(C\) contido em \(R\), vale

(4)

$$
\iint_{R^{\prime }}\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) dxdy=\oint_{C}Pdx+Qdy,
$$
onde \(R^{\prime }\) é a região interior a \(C\). Uma notação útil pode ser utilizada escrevendo-se \(\vec{t}=\left(t_{x},\,t_{y}\right)\), para um vetor tangente ao contorno \(C\), e \(\vec{n} =\left( n_{x},\,n_{y}\right)\) um vetor unitário normal à \(C\). Então
$$
\left( dx,\,dy\right) =\vec{t}ds,\;\left( dy,\;-dx\right) =\vec{n}ds.
$$

1. A demonstração pode ser vista em qualquer livro de cálculo. Por exemplo, consulte: Ávila, G.: Cálculo, Funções de várias variáveis, Vol 3, Ed. LTC.

Definindo um vetor \(F=\left( Q,\,-P\right)\) podemos escrever a equação (4) como
$$
\iint_{R^{\prime }}\text{div}\vec{F}\,dxdy=\oint_{C}\vec{F}\cdot \vec{n}\,ds.
$$

Teorema de Cauchy: Seja \(f\) uma função analítica em uma região simplesmente conexa \(R\). Então
$$
\oint_{C}f\left( z\right) \,dz=0,
$$
onde \(C\) é qualquer caminho fechado em \(R\). Equivalentemente, a integral
$$
\int_{z_{1}}^{z_{2}}f\left( z\right) \,dz
$$
não depende da escolha do caminho tomado mas apenas dos pontos extremos.

Demonstração: Fazemos \(f=u+iv\) e\(\;z=x+iy\). Então
$$
I=\oint_{C}f\left( z\right) \,dz=\oint_{C}\left( u+iv\right) \left(dx+idy\right) =
$$
$$
\oint_{C}\left( udx-vdy\right) +i\oint_{C}\left( udy+vdx\right).
$$
Usamos agora o teorema de Green, equação (4), para tansformar estas integrais em
$$
I=-\iint_{R^{\prime }}\left( \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\right) dxdy+i\iint_{R^{\prime }}\left( \frac{\partial u}{
\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}\right) dxdy=0.
$$
Notamos que as integrais acima são nulas devido às condições de Cauchy-Riemann, \(u_{x}=v_{y}\) e \(v_{x}=-u_{y}\), válidas para funções analíticas. A equivalência dos enunciados pode ser mostrada das seguinte forma: construímos dois caminhos \(C_{1}\) e \(C_{2}\) ligando os pontos \(z_{1}\) e \(z_{2}\) e supomos que as integrais sobre os caminhos são iguais, \(\int_{C_1}=\int_{C_{2}}\). A integral avaliada sobre o caminho fechado \(C_{1}\cup \left(-C_{2}\right)\) é nula,
$$
\oint_{C}f\left( z\right) \,dz=\int_{C_{1}}f\left( z\right)\,dz-\int_{C_{2}}f\left( z\right) \,dz=0,
$$
já que a integração não depende do caminho escolhido. Por outro lado, se a integral fechada é nula concluímos que a integração não depende do caminho pois
$$
0=\oint_{C}=\int_{C_{1}}-\int_{C_{2}}\Rightarrow \int_{C_{1}}=\int_{C_{2}}.
$$

Integrais e primitivas

2. Lembrando: dizemos que \(F\) é uma primitiva de \(f\) se \(F^{\prime }=f\).

O teorema de Cauchy, também conhecido como teorema de Cauchy-Goursat, é o teorema fundamental da teoria das funções analíticas. Os principais resultados que ainda estudaremos são consequência direta deste teorema. Em particular veremos que funções analíticas possuem derivadas de todas as ordens e estas derivadas são contínuas. Nesta seção mostraremos que uma função analítica possue uma primitiva2.

Teorema: Seja \(f\) uma função analítica em uma região \(R\) simplesmente conexa. Então a forma geral de sua primitiva é
$$
F\left( z\right) =\int_{z_0}^{z}f\left( w\right) dw+c,
$$
onde \(c\) é uma constante arbitrária, \(z_0\) é um ponto fixo qualquer de \(R\) e a integração é feita ao longo de um contorno inteiramente contido em \(R\). Além disto a função \(F\left( z\right)\) definida desta forma é analítica.

Demonstração: A função \(F\left( z\right)\) está bem definida uma vez que a integral não depende do caminho escolhido. Sua derivada, por definição, é
$$
F^{\prime }\left( z\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\left[ F\left(z+h\right) -F\left( z\right) \right].
$$
Note que
$$
F\left( z+h\right) -F\left( z\right) =\left(
\int_{z_0}^{z+h}-\int_{z_0}^{z}\right) f\left( w\right)
dw=\int_{z}^{z+h}f\left( w\right) dw.
$$
Definindo uma função auxiliar \(\eta \left( z,w\right) =f\left(w\right) -f\left( z\right)\) podemos escrever
$$
F^{\prime }\left( z\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\int_{z}^{z+h}
\left[ f\left( z\right) +\eta \left( z,w\right) \right] dw=f\left( z\right)
+\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\int_{z}^{z+h}\eta \left( z,w\right) dw.
$$
Na relação acima foi usado o seguinte fato:
$$
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\int_{z}^{z+h}dw=1.
$$
Resta mostrar que o limite no segundo termo, é nulo. Para isto observe que, em módulo, vale
$$
\left\vert \frac{1}{h}\int_{z}^{z+h}\eta \left( z,w\right) dw\right\vert \leq \frac{1}{\left\vert h\right\vert }\int_{z}^{z+h}\left\vert \eta \left(
z,w\right) \right\vert \left\vert dw\right\vert.
$$
Como \(f\left( z\right)\) é analítica, portanto contínua, dado \(\varepsilon \gt 0\;\) existe \(\;\delta \gt 0\;\) tal que
$$
\left\vert \eta \left( z,w\right) \right\vert =\left\vert f\left( w\right)-f\left( z\right) \right\vert \gt \varepsilon \;\text{ para }\;\left\vert
w-z\right\vert \gt \delta.
$$
Portanto
$$
\left\vert \frac{1}{h}\int_{z}^{z+h}\eta \left( z,w\right) dw\right\vert \lt \frac{\varepsilon }{\left\vert h\right\vert }\int_{z}^{z+h}\left\vert
dw\right\vert =\varepsilon.
$$
No limite \(h \rightarrow 0\) temos que \(\varepsilon \rightarrow 0\) de onde concluímos, como pretendíamos, que \(F’=f\).

Corolário: Nas mesmas condições do teorema acima temos que
$$
\int_{z_0}^{z_{1}}f\left( z\right) dz=F\left( z_{1}\right) -F\left(z_0\right),
$$
onde \(F\left( z\right)\) é uma primitiva qualquer de \(f\).

Exemplo 3: A função abaixo é uma primitiva de \(z^n\)
$$
\frac{z^{n+1}}{n+1}
$$
para \(n\) inteiro não negativo. A seguinte integral pode ser diretamente avaliada:
$$
\int_{z_{1}}^{z_{2}}z^{n}dz=\frac{1}{n+1}\left. z^{n+1}\right\vert_{z_{1}}^{z_{2}}=\frac{1}{n+1}\left( z_{2}^{n+1}-z_{1}^{n+1}\right).
$$

Uma observação importante será útil na solução de diversos problemas que se apresentarão. Suponha que desejamos calcular a integral de caminho
$$
\oint_{C_{0}}f\left( z\right) \,dz,
$$
onde \(f\left(z\right)\) é analítica em uma região \(R\), exceto em regiões \(R_{1},\; R_{2}\; \text{ e } \; R_{3}\) contidas em \(R\), e \(C_{0}\) é um caminho que envolve as regiões \(R_{1},\; R_{2}\; \text{ e } \; R_{3}\) uma vez no sentido positivo, como representado na figura 5. Podemos construir caminhos arbitrários \(C_{1},\;C_{2}\;\; \text{ e } \;\; C_{3}\) envolvendo estas regiões e, com elas, um novo contorno
$$
C=C_{0}\cup T_{1}\cup -C_{1}\cup -T_{1}\cup T_{2}\cup -C_{2}\cup -T_{2}\cup T_{3}\cup -C_{3}\cup -T_{3},
$$
de forma que \(f\left( z\right)\) é analítica em \(C\) e na região circulada, sendo portanto \(\oint_{C}f\left( z\right) \,dz=0\). Notando que as integrais sobre os caminhos \(T_{i}\) e \(-T_{i} \;\; (i=1,2,3)\) se cancelam restam apenas os termos
$$
0=\oint_{C}f\left( z\right) \,dz=\int_{C_{0}}f\left( z\right)\,dz-\int_{C_{1}}f\left( z\right) \,dz-\int_{C_{2}}f\left( z\right)\,dz-\int_{C_{3}}f\left( z\right) \,dz,
$$
de onde se conclui que
$$
\int_{C_{0}}f\left( z\right) \,dz=\int_{C_{1}}f\left( z\right)
\,dz+\int_{C_{2}}f\left( z\right) \,dz+\int_{C_{3}}f\left( z\right) \,dz.
$$

Cabe notar que o mesmo procedimento pode ser usado para integrar sobre regiões onde existam um número finito arbitrário de regiões onde \(f\left( z\right)\) não é analítica.

Exemplo 4: Se \(C\) é um contorno qualquer envolvendo \(z_0\) uma vez, no sentido positivo, calcule
$$
I=\oint\limits_{C}\frac{dz}{z-z_0}.
$$
Pela observação feita acima verificamos que a integral tem o mesmo resultado se for avaliada ao longo de outro caminho \(C^{\prime }\) qualquer em torno de \(z_0\). Escolheremos então um caminho que admita uma parametrização simples e facilite a solução do problema. Em particular podemos tomar \(C^{\prime }\) como a circunferência de centro em \(z_0\) e raio \(\delta\),
$$
C^{\prime }:\left\vert z-z_0\right\vert =\delta ,
$$

tomando o cuidado de que \(\delta\) seja suficientemente pequeno para que \(C^{\prime }\) esteja inteiramente contida na região interior à \(C\). Neste caso podemos escrever
$$
z-z_0=\delta e^{i\theta },\ 0\leq \theta \leq 2\pi ,
$$
$$
dz=i\delta e^{i\theta }d\theta .
$$
A integral se torna
$$
I=\int_{0}^{2\pi }\frac{i\delta e^{i\theta }d\theta }{\delta e^{i\theta }}
=i\int_{0}^{2\pi }d\theta =2\pi i.
$$
Podemos resumir os resultados acima da seguinte forma:
$$
\oint\limits_{C}\frac{dz}{z-z_0}=\left\{
\begin{array}{ll}
0, & \;\;\text{ se }\;\;C\text{ não envolve }\;z_0 \\
2\pi i,\; & \;\;\text{ se }\;\;C\text{ envolve }\;z_0\text{ uma vez no sentido positivo.}
\end{array}
\right.
$$

Um conceito útil que será estudado com mais detalhes mais tarde é o de singularidades. Se uma função \(f\left( z\right)\) é analítica em toda uma região \(R\subset \mathbb{C}\), exceto em pontos isolados \(z_{i}\) então dizemos que \(z_{i}\) são singularidades isoladas de \(f\). Como exemplos, as funções
$$
f\left( z\right) =\frac{1}{z^{2}+1}\;\; \text{ e } \;\; g\left( z\right) =\frac{z}{\text{sen }z}
$$
possuem singularidades isoladas, respectivamente, em \(z=\pm i\) e \(z=n\pi\;\; \left( n=0,~\pm 1,~\pm 2,\ldots \right)\).

Exercícios:

Verifique se são nulas as seguintes integrais \(\oint\nolimits_{C}f\left( z\right) dz\):

1. \(f\left( z\right) =\frac{z+1}{z-3}\), onde \(C\) é o círculo \(\left\vert z\right\vert =2\).

2. \(f\left( z\right) =\frac{3z^{2}}{z+2i}\), onde \(C\) é o círculo \(\left\vert z\right\vert =\frac{3}{2}\).

3. \(f\left( z\right) =\frac{3ze^{z}}{z^{2}+3}\), onde \(C\) é o círculo \(\left\vert z\right\vert =\frac{5}{4}\).

4. \(f\left( z\right) =\frac{\ln \left( z-2i\right) }{z+2}\), onde \(C\) é o quadrado de vértices \(\pm 1\pm i\).

5. \(f\left( z\right) =\frac{\ln \left( z+1\right) }{z^{2}-9}\), onde \(C\) é o círculo \(x^{2}+y^{2}-2x=0\).

6. \(f\left( z\right) =\frac{\ln \left( z+i\right) }{z^{2}-9}\), onde \(C\) é o círculo \(x^{2}+y^{2}+2x=0\).

7. \(f\left( z\right) =\frac{\ln \left( z-1+i\right) }{z^{2}+9}\), onde \(C\) é o quadrado de vértices \(\pm 1\pm i\).

8. \(f\left( z\right) =\frac{1}{z^{2}}\), onde \(C\) é qualquer caminho que envolve a origem uma vez, no sentido positivo.

9. Calcule a integral de \(f\left( z\right) =1/z\) sobre o caminho \(C\) de \(-i\) até \(i\) passando pelo semiplano \(\text{Re}\left( z\right) >0\).

10. Calcule a integral de \(f\left( z\right) =1/z\) sobre o caminho \(C\) de \(-i\) até \(i\) passando pelo semiplano \(\text{Re}(z) \lt 0\).

11. Combine os resultados dos exercícios (9) e (10) para obter\( \oint\nolimits_{C}\frac{dz}{z}\), onde \(C\) é qualquer caminho que envolve a origem uma vez no sentido positivo.

A fórmula da integral de Cauchy

Outro resultado importante devido a Cauchy é a fórmula da integral. Ela expressa o fato de que uma função analítica em uma região \(R\) fica completamente determinada por seus valores na fronteira de \(R\). Ela também pode ser usada para expressar sob formas integrais todas as derivadas de uma função holomorfa.

Teorema: Seja \(f\) uma função analítica em uma região simplesmente conexa \(R\). Se \(C\) é um contorno fechado inteiramente contido em \(R\) que envolve o ponto \(z_0\) uma vez no sentido positivo então

(5)

$$
\oint\limits_{C}\frac{f\left( z\right) }{z-z_0}dz=2\pi if\left(z_0\right).
$$

Demonstração: Iniciamos por reduzir a integração ao contorno
$$
C_{\delta }:\left\vert z-z_0\right\vert =\delta ,
$$
um círculo com centro em \(z_0\) e raio \(\delta\), com \(\delta\) suficientemente pequeno para que \(C_{\delta }\) esteja na região interior à \(C\). Como o integrando é analítico na região hachurada (figura 6) então
$$
\oint\limits_{C\cup -C_{\delta }}\frac{f\left( z\right) }{z-z_0} dz=0\Rightarrow \oint\limits_{C}\frac{f\left( z\right) }{z-z_0} dz=\oint\limits_{C_{\delta }}\frac{f\left( z\right) }{z-z_0}dz.
$$

Figura 6

Defina a função auxiliar
$$
g\left( z\right) =\left\{ \begin{array}{ll}
\frac{f\left( z\right) -f\left( z_0\right) }{z-z_0}, & \;\;\text{ se }\;\; z\neq z_0 \\
f\left( z_0\right) , & \;\;\text{ se }\;\;z=z_0,
\end{array}
\right.
$$
observando que \(g\left( z\right)\) é analítica em \(z_0\). Isto significa que
$$
\oint\limits_{C_{\delta }}g\left( z\right) dz=0=\oint\limits_{C_{\delta }}\frac{f\left( z\right) }{z-z_0}dz-\oint\limits_{C_{\delta }}\frac{f\left(
z_0\right) }{z-z_0}dz.
$$
A segunda integral já foi calculada em um exemplo anterior,
$$
\oint\limits_{C_{\delta }}\frac{f\left( z_0\right) }{z-z_0}dz=f\left(z_0\right) \oint\limits_{C_{\delta }}\frac{dz}{z-z_0}=2\pi if\left(z_0\right) ,
$$
onde \(f\left( z_0\right)\) foi tirado de dentro do sinal de integração por ser uma constante com relação à variável integrada. Fica assim mostrado o teorema.

O teorema acima foi enunciado e demonstrado para valores fixos de \(z_0\). Note, no entanto que nenhuma consideração foi feita para que esse seja um ponto particular no plano complexo. Podemos reafirmar o teorema para pontos variáveis de \(\mathbb{C}\), da seguinte forma: se \(f\) é uma função analítica então ela assume os seguintes valores sobre pontos \(z\) contidos na região interior à \(C\),
$$
f\left( z\right) =\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C}\frac{f\left( w\right) }{w-z}dw.
$$
A variável de integração foi renomeada para diferenciá-la da variável livre, \(z\). Isto significa que uma função analítica pode ser avaliada no ponto \(z\) interior à curva \(C\) se conhecermos somente seus valores sobre o contorno. Observe que \(z\) é uma singularidade isolada do integrando, embora \(f\left( z\right)\) seja analítica.

Exemplo 5: Usando a fórmula integral de Cauchy podemos calcular
$$
I=\oint\limits_{C}\frac{\text{sen }z}{z-i}dz;\ \text{onde }C:\left\vert z-1\right\vert =2.
$$
O único ponto singular do integrando é \(z=i\), que está na região interior ao contorno \(C\), como mostrado na figura.

Tomamos então \(z_0=i\) e \(f\left( z\right) =\text{sen }z\) para uso da fórmula (1). Como resultado
$$
\oint\limits_{C}\frac{\text{sen }z}{z-i}dz=2\pi if\left( i\right) =\frac{2\pi i}{2i}\left( e^{-1}-e\right) =\pi \left( \frac{1}{e}-e\right).
$$
O cálculo do seno foi feito das seguinte forma: por definição
$$
\text{sen }z=\frac{1}{2i}\left( e^{iz}-e^{-iz}\right) ,
$$
portanto,
$$
\text{sen }i=\frac{1}{2i}\left( e^{-1}-e\right).
$$

Exemplo 6: Para calcular
$$
I=\oint\limits_{C}\frac{zdz}{\left( 9-z^{2}\right) \left( z+i\right) }; \;\; \text{onde }\;\; C:\left\vert z\right\vert =2
$$
observamos que o integrando possui três pontos singulares, que são \(z=-i\) e \(z=\pm 3\). Os pontos \(z=\pm 3\), no entanto, não estão dentro da região envolvida pelo contorno, de modo que podemos tomar
$$
z_0=-i,\ f\left( z\right) =\frac{z}{\left( 9-z^{2}\right) },
$$
e a integral é
$$
I=2\pi if\left( -i\right) =2\pi i\left( \frac{-i}{9+1}\right) =\frac{\pi }{5}.
$$

Exemplo 7: O cálculo da seguinte integral
$$
I=\oint\limits_{C}\frac{dz}{z^{2}+1}
$$
onde \(C\) é o retângulo de vértices \(\pm 2\pm 2i\) pode ser feito de duas formas. Os pontos \(z=\pm i\) são as únicas singularidades do integrando e ambos estão dentro da região limitada pelo contorno \(C\).

A integral pode ser reduzida ao cálculo sobre os contornos \(C_{1}\) e \(C_{2}\), como se mostra na figura, \(
\oint\nolimits_{C}=\oint\nolimits_{C_{1}}+\oint\nolimits_{C_{2}}\), assumindo a seguinte forma:
$$
I=I_{1}+I_{2}=\oint\limits_{C_{1}}\frac{dz}{\left( z+i\right) \left(
z-i\right) }+\oint\limits_{C_{2}}\frac{dz}{\left( z+i\right) \left(
z-i\right) },
$$
onde escrevemos \(z^{2}+1=\left( z+i\right) \left( z-i\right)\). Na primeira destas integrais apenas \(z_0=i\) é um ponto singular. Fazemos \(f\left(z\right) =1/\left( z+i\right)\) e usamos a fórmula da integral
$$
I_{1}=2\pi i~f\left( z_0\right) =2\pi i\frac{1}{2i}=\pi .
$$
Para calcular a segunda integral tomamos \(z_0=-i\) e \(f\left( z\right)=1/\left( z-i\right)\). Usando novamente a fórmula da integral temos
$$
I_{2}=2\pi i~f\left( z_0\right) =2\pi i\frac{-1}{2i}=-\pi ,
$$
de modo que a interal procurada é nula
$$
I=\oint\limits_{C}\frac{dz}{z^{2}+1}=I_{1}+I_{2}=\pi -\pi =0.
$$
Alternativamente, podemos proceder da seguinte forma. Escrevemos o integrando sob forma de frações parciais:
$$
\frac{1}{z^{2}+1}=\frac{1}{\left( z+i\right) \left( z-i\right) }=\frac{A}{z+i}+\frac{B}{z-i}.
$$
Para que a identidade seja satisfeita temos que identificar os numeradores, ou seja
$$
1=A\left( z-i\right) +B\left( z+i\right) =z\left( A+B\right) +i\left(-A+B\right) ,
$$
o que resulta no sistema
$$
\left.
\begin{array}{ll}
~~A+B & =0\ \\
-A+B & =-i,
\end{array}
\right\} \Rightarrow
\begin{array}{ll}
A & =i/2, \\
B & =-i/2.
\end{array}
$$
Verificamos assim que
$$
\frac{1}{z^{2}+1}=\frac{i/2}{z+i}-\frac{i/2}{z-i}
$$
e a integral procurada é
$$
I=\frac{i}{2}\left( \oint\limits_{C}\frac{dz}{z+i}-\oint\limits_{C}\frac{dz}{z-i}\right) =0
$$
pois cada uma das integrais tem a forma de
$$
\oint\limits_{C}\frac{dz}{z-z_0}=2\pi i
$$
onde \(C\) envolve apenas um ponto singular \(z_0\) uma vez, no sentido positivo.

Devemos nos recordar, neste ponto, de que funções reais de uma varíavel real são chamadas de funções analíticas se possuem derivadas de todas as ordens que são, por sua vez, também analíticas. Isto garante que elas possuem uma expansão de Taylor, em séries de potências. Esta terminologia tem origem no estudo das funções de variáveis complexas, devido ao teorema que se segue.

Teorema: Uma função analítica em uma região \(R\) do plano complexo possue derivadas de todas as ordens em \(R\). Estas derivadas são, também, analíticas e podem ser obtidas porderivação direta da fórmula de Cauchy, sendo dadas por
$$
f^{\prime }\left( z\right) =\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C}\frac{f\left(w\right) }{\left( w-z\right) ^{2}}dw.
$$

Demonstração: Seja \(C\) um contorno fechado simples em \(R\) e \(z\) um ponto na região interior a este contorno. Podemos então escrever
$$
f\left( z\right) =\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C}\frac{f\left( w\right) }{w-z}dw.
$$
Admitindo a possibilidade de inverter a ordem de operação entre a derivada e a integração obtemos
$$
f^{\prime }\left( z\right) =\frac{df\left( z\right) }{dz}=\frac{1}{2\pi i}
\frac{d}{dz}\oint\limits_{C}\frac{f\left( w\right) }{w-z}dw=\frac{1}{2\pi i}
\oint\limits_{C}\frac{d}{dz}\frac{f\left( w\right) }{w-z}dw.
$$
Observando que \(f\left( w\right)\) é constante, do ponto de vista de variações em \(z\), e
$$
\frac{d}{dz}\frac{1}{w-z}=\frac{1}{\left( w-z\right)^{2}}
$$
chegamos ao resultado que queremos mostrar:
$$
f^{\prime }\left( z\right) =\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C}\frac{f\left(w\right) }{\left( w-z\right) ^{2}}dw.
$$
Como consequência do teorema podemos obter a derivada segunda derivando mais uma vez a última expressão,
$$
f^{^{\prime \prime }}\left( z\right) =\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C}\frac{f\left( w\right) }{\left( w-z\right) ^{3}}dw,
$$
ou, por indução, a derivada de qualquer ordem

(6)

$$
f^{\left( n\right) }\left( z\right) =\frac{n!}{2\pi i}\oint\limits_{C}\frac{f\left( w\right) }{\left( w-z\right) ^{n+1}}dw.
$$

Exercícios:

1. Demonstre a equação (6).

Use a fórmula da integral de Cauchy para calcular:

2. \( \oint\limits_{\left\vert z-1\right\vert =2}\frac{zdz}{z-2}\)

4. \( \oint\limits_{\left\vert z-2i\right\vert =2}\frac{\text{sen }z}{z-i}dz\)

6. \( \oint\limits_{\left\vert z-1\right\vert =2}\frac{e^{iz}dz}{z+i}\)

8. \( \oint\limits_{\left\vert z-1\right\vert =2}\frac{e^{iz}dz}{\pi -2z}\)

3. \( \oint\limits_{\left\vert z+1\right\vert =2}\frac{zdz}{z+2}\)5. \( \oint\limits_{\left\vert z\right\vert=2}\frac{z\cos z}{z-i}dz\)

7. \( \oint\limits_{\left\vert z\right\vert =1}\frac{izdz}{1-2z}\)

9. \( \oint\limits_{\left\vert z-1\right\vert =2}\frac{e^{z}dz}{z^{2}-4}\)

10. \(\oint\limits_{C}\frac{dz}{z^{2}+1}\) onde \(C\) é o quadrado de vértices \(0\), \(2i,\ \pm 1+i\).

11. \(\oint\limits_{C}\frac{dz}{z^{2}+1}\) onde \(C\) é o quadrado de vértices \(0,-2i,\ \pm 1-i\).

12. \(\oint\limits_{C}\frac{ze^{z}dz}{z^{2}-2z-3}\) onde \(C\) é o losango de vértices \(\pm 2,\ \pm i\).

13. Use a fórmula da derivada para calcular \(\oint\limits_{\left\vert z\right\vert =3}\frac{\cos \left( z^{2}+3z-1\right) }{\left( 2z+3\right)^{2}}dz\)

Algumas respostas:
$$
\begin{array}{lll}
2)\; 4\pi i & 3)\; – 4\pi i & 4)\; \pi \left( 1-e^{2}\right) /e \\
5)\; -\pi \left( e^{2}+1\right) /e \;\; & 6)\; 2\pi ie \;\; & 7)\; \pi /2 \\
8)\; \pi & 9)\; i\pi e^{2}/2 & 10)\; \pi \\
11)\; -\pi & 12)\; \pi i/2e. & 13)\; 0.
\end{array}
$$

Exercício Resolvido:

5) Faça \(f\left( z\right) =z\cos z\), e \(z_0=i\). A integral é, portanto, \(I=2\pi i\left( i\cos i\right)\). Como
$$
\cos z=\frac{1}{2}\left( e^{iz}+e^{-iz}\right) \Rightarrow \cos i=\frac{1}{2} \left( e^{i^{2}}+e^{-i^{2}}\right) =\frac{1}{2}\left( e^{-1}+e\right) ,
$$
temos \(I=-\pi \left( e^{-1}+e\right) =-\pi \left( e^{2}+1\right) /e\).

13) Dada a integral
$$
I=\oint\limits_{\left\vert z\right\vert =3}\frac{\cos \left(z^{2}+3z-1\right) }{\left( 2z+3\right) ^{2}}dz
$$
defina
$$
I\left( w\right) =\oint\limits_{\left\vert z\right\vert =3}\frac{\cos
\left( z^{2}+3z-1\right) }{\left( 2z-2w\right) ^{2}}dz=\frac{1}{4}
\oint\limits_{\left\vert z\right\vert =3}\frac{\cos \left(
z^{2}+3z-1\right) }{\left( z-w\right) ^{2}}dz.
$$
Observe que a integral procurada é \(I=I\left( -3/2\right)\). Pela fórmula da derivada, obtida da fórmula da integral de Cauchy, temos
$$
I\left( w\right) =\frac{1}{4}\frac{d}{dw}\oint\limits_{\left\vert
z\right\vert =3}\frac{\cos \left( z^{2}+3z-1\right) }{z-w}dz,
$$
ond a última integral pode ser avaliada fazendo \(f\left( w\right) =\cos \left( w^{2}+3w-1\right)\). Portanto
$$
I\left( w\right) =\frac{2\pi i}{4}\frac{d}{dw}\left[ f\left( w\right) \right] =\frac{\pi i}{2}\frac{d}{dw}\left[ \cos \left( w^{2}+3w-1\right) \right] .
$$
Esta derivada pode ser obtida diretamente:
$$
I\left( w\right) =-\frac{\pi i}{2}\left[ \text{sen }\left( w^{2}+3w-1\right)\right] \left( 2w+3\right).
$$
A integral procurada é \(I=I\left( -3/2\right) =0\).

Teorema de Morera

3. Por isto se chama de função analítica a uma função real que possui expansão de Taylor em torno de um ponto \(x_0\) qualquer, o que equivale a dizer que ela possui derivadas de todas as ordens, neste ponto.

Uma função analítica, como vimos, possui derivadas de todas as ordens e suas derivadas são também analíticas3. Por outro lado a integral de uma função analítica, quando integrada sobre um contorno fechado é sempre nula. O teorema seguinte afirma que a recíproca é também verdadeira.

Teorema de Morera: Seja \(f\) uma função contínua em uma região \(R\) satisfazendo \(\oint\nolimits_{C}f\left( z\right) dz=0\) para todo contorno \(C\) em \(R\). Então \(f\) é analítica em \(R\).

Demonstração: Seja\(z_0\) um ponto fixo qualquer de \(R\). A função
$$
F\left( z\right) =\int_{z_0}^{z}f\left( w\right) dw
$$
independe do caminho de integração pois, por hipótese, a integral sobre um caminho fechado é nula. Como no teorema da primitiva, \(F\) é analítica e sua derivada,
$$
\frac{d}{dz}F\left( z\right) =\frac{d}{dz}\int_{z_0}^{z}f\left( w\right)dw=f\left( z\right) ,
$$
é, também, uma funções analítica, o que conclui a demonstração do teorema.

Funções harmônicas

4. Observe que \(\bigtriangledown ^{2}u=\bigtriangledown \cdot \bigtriangledown u=div\left( grad\ u\right)\).

Uma função é chamada de “harmônica” em uma região \(R\) se, nesta região, ela possui derivadas de segunda ordem e satisfaz à equação de Laplace4
$$
\bigtriangledown ^{2}u=\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}}=0.
$$
Se \(f\left( z\right) =u\left( x,y\right) +iv\left( x,y\right)\) é analítica em \(R\) então ela possui derivadas de todas as ordens e
$$
\frac{d}{dz}=\frac{\partial }{\partial x}=\frac{\partial }{\partial \left(iy\right) }.
$$
Podemos então derivar as equações de Cauchy-Riemann um número arbitrário de vezes. Derivando uma vez
$$
\left.
\begin{array}{ccc}
u_{x}=v_{y} & \text{(em }x\text{)}\rightarrow & u_{xx}=v_{yx} \\
u_{y}=-v_{x} & \text{(em }y\text{)}\rightarrow & u_{yy}=-v_{xy}
\end{array}
\right\} \Rightarrow u_{xx}+u_{yy}=0,
$$
$$
\left.
\begin{array}{ccc}
u_{x}=v_{y} & \text{(em }y\text{)}\rightarrow & u_{xy}=v_{yy} \\
u_{y}=-v_{x} & \text{(em }x\text{)}\rightarrow & u_{yx}=-v_{xx}
\end{array}
\right\} \Rightarrow v_{xx}+v_{yy}=0,
$$
de onde concluimos que, se \(f\) é analítiva então \(u\left(x,y\right)\) e \(v\left( x,y\right)\) são funções harmônicas.

Uma questão interesssante que segue dai é a seguinte: dada uma função harmônica qualquer ela pode ser considerada parte real ou imaginária de uma função analítica? A resposta é afirmativa, como mostraremos a seguir para o caso geral. Antes disto, porém, vamos mostrar em um exemplo como encontrar a parte imaginária de uma função analítica se conhecemos sua parte real.

Exemplo 8: A função \(u\left( x,y\right)=x^{2}-y^{2}\) é harmônica pois
$$
u_{xx}=2,\ u_{yy}=-2,\ \bigtriangledown ^{2}u=0.
$$
Queremos determinar \(v=\text{Im}\left( f\right)\) de forma que a função \(f=u+iv\) seja analítica. Usando a primeira condição de Cauchy-Riemann
$$
u_{x}=2x=v_{y}
$$
podemos determinar, por integração, que

(7)

$$
v=-\int 2xdy=2xy+h\left( x\right)
$$
onde \(h\) é uma função, por enquanto indeterminada, que só pode depender de \(x\). Para encontrar \(h\) usamos a outra condição
$$
u_{y}=-2x=-v_{x}\Rightarrow v_{x}=2x.
$$
Comparando com a equação (7) obtemos
$$
v_{x}=2y+h^{\prime }
$$
de onde concluimos que \(h^{\prime }=0\) e, portanto \(h=c\), uma constante. A função analítica procurada é
$$
f\left( z\right) =x^{2}-y^{2}+2ixy+c=z^{2}+c.
$$
A função \(v\) é a chamada a harmônica conjugada de \(u\).

O caso geral pode ser tratado da seguinte forma: dada \(u\left( x,y\right)\) uma função harmônica procuramos sua harmônica conjugada, \(v\). Sua diferencial será
$$
dv=v_{x}dx+v_{y}dy=-u_{y}dx+u_{x}dy.
$$
Procuramos \(v\) na forma de
$$
v\left( x,y\right) =v_{0}+\int_{\left( x_{0},y_{0}\right) }^{\left(x,y\right) }-u_{y}dx+u_{x}dy,
$$
onde \(v_{0}=v\left( x_{0},y_{0}\right)\). A função \(v\left(x,y\right)\) está bem definida e possui derivadas contúnuas se a integral independe do caminho, ou seja, se \(-u_{y}dx+u_{x}dy\) é uma diferencial exata. Se isto ocorre então \(\oint -u_{y}dx+u_{x}dy=0\) pois \(\oint dv=0\). Para mostrar que este é exatamente o caso denotamos por \(R^{\prime }\) a região interior ao contorno \(C\) e usamos o teorema de Green
$$
\oint -u_{y}dx+u_{x}dy=\iint\nolimits_{R^{\prime }}\left(u_{xx}+u_{yy}\right) =0
$$
sendo que a última integral é nula porque \(u\) é harmônica.

Exercícios :

Mostre que as funções \(u\) dadas abaixo são harmônicas, encontre suas conjugadas harmônicas e as funções analíticas \(f=u+iv\).
$$
\begin{array}{ll}
\text{1.} \; u=x-5xy \;\; & \text{2.} \; u=x-4xy \\
\text{3.}\; u=\text{sen }x \cosh y \;\;\;\; & \text{4.} \; u=x^{3}-3xy^{2}
\end{array}
$$

Algumas respostas:

1. \(f(z)=z+5iz^{2}/2+c,\) 3. \( v=\cos x\text{ senh }y+c, \;\; f(z) =\text{sen }z+ic\).

2 – Funções Analíticas

Funções de uma variável complexa

Uma função \(f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}\) é uma operação que transforma pontos do plano complexo em outros pontos. A cada função de uma variável complexa
$$
w=f\left( z\right) =u\left( x,y\right) +i\left( x,y\right)
$$
estão associadas duas funções reais: \(u\left( x,y\right) =\text{Re}f\left( z\right) \;\text{ e }\; v(x,y)=\text{Im}f\left( z\right)\). Como estas funções levam pontos do plano \(\mathbb{C}\) em pontos de \(\mathbb{C}\) há uma dificuldade natural em se visualizar geometricamente seu efeito. Em algumas situações é útil visualizar funções complexas como transformações. Neste caso se observa como um determinado conjunto de pontos de \(\mathbb{C}\) é levado no próprio \(\mathbb{C}\) pela função.

Exemplo 1: O valor absoluto é uma função que tem como argumento números complexos e retorna números reais: \(\;f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{R}\). Representaremos esta função por \(\;f(z) = \left\vert z \right\vert\) e a definimos como
$$
w=f\left( z\right) =\left\vert z\right\vert =\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
$$
A imagem desta função é \(\mathbb{R}^{+}\).

Exemplo 2: A função
$$
w=f\left( z\right) =\frac{2z-3i}{\left( z-2\right) \left( z+i\right) }
$$
é válida para todos os pontos de \(\mathbb{C}\), exceto \(z=2\) e \(z=-i\). Seu domínio é, portanto, \(D\left(f\right) =\mathbb{C}-\left\{ 2\right\} -\left\{ -i\right\}\).

Exercício Resolvido: Encontre as partes real e imaginária da função
$$
w=\frac{3}{z-5}.
$$
Em coordenadas cartesianas temos
$$
w=\frac{3}{x-5+iy}=\frac{3\left( x-5-iy\right) }{\left( x-5\right) ^{2}+y^{2}}=\frac{3x-15-3iy}{\left( x-5\right) ^{2}+y^{2}}.
$$
Portanto
$$
u\left( x,y\right) = \frac{3x-15}{\left( x-5\right) ^{2}+y^{2}} \;\;\;\;\text{ e }\;\;\;\; v\left( x,y\right) =\frac{3y}{\left( x-5\right) ^{2}+y^{2}}
$$
são as partes real e imaginária, respectivamente.

Limites e Continuidade

Algumas definições são necessárias para prosseguirmos nosso estudo.

Definição: Se \(z_{0}\) é um ponto de acumulação do domínio \(D\) de uma função \(f\) então
$$
\lim_{z\rightarrow z_{0}}f\left( z\right) =L
$$
se, dado qualquer \(\epsilon >0\) existe um \(\delta >0\) tal que
$$
z\in D,\;0<\left\vert z-z_{0}\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( z\right) -L\right\vert <\epsilon .
$$
Equivalentemente:
$$
z\in D\cap V_{\delta }\left( z_{0}\right) \Rightarrow f\left( z\right) \in V_{\varepsilon }\left( L\right).
$$

Definição: Se \(\lim_{z\rightarrow z_{0}}f\left( z\right) =f\left( z_{0}\right)\) então \(f\) é contínua em \(z_{0}\).

Teorema: Seja \(f=u+iv\) e \(L=U+iV\). Então
$$
\lim_{z\rightarrow z_{0}}f\left( z\right) =L\Longleftrightarrow \lim_{z\rightarrow z_{0}}u=U\text{ }\;\;\;\;\;\text{ e }\;\;\;\;\lim_{z\rightarrow z_{0}}v=V.
$$

Corolário: Uma função \(f\left(z\right) =u\left( x,y\right) +iv\left( x,y\right)\) é contínua se, e somente se, as funções \(u\) e \(v\) são contínuas.

Teorema: Se \(\lim_{z\rightarrow z_{0}}f\left( z\right) =F\) e \(\lim_{z\rightarrow z_{0}}g\left( z\right) =G\) então

(a) \(\lim_{z\rightarrow z_{0}}\left[ f\left( z\right) +g(z)\right] =F+G\)(b) \(\lim_{z\rightarrow z_{0}}\left[ f\left( z\right).g(z)\right] =F.G\)

(c) \(\lim_{z\rightarrow z_{0}}\left[ f\left( z\right) /g(z)\right] =F/G\), se \(G\neq 0\).

Teorema: Se \(\lim_{z\rightarrow z_{0}}f\left( z\right) =F\) então existe uma vizinhança \(V_{\delta }\left( z_{0}\right)\) onde \(f\left(z\right)\) é limitada.

Teorema: A soma e o produto de funções contínuas são contínuas. O quociente é contínuo se o denominador não se anula.

Analiticidade

Diferente do que acontece com as funções de uma variável real, quando se analisa o comportamento de uma função de uma variável complexa na vizinhança de um ponto \(z_{0}\) é necessário considerar os diferentes caminhos tomados para se chegar a \(z_{0}\) no plano complexo. De modo análogo ao que ocorre com funções de duas variáveis reais, diremos que uma função \(f:D\rightarrow \mathbb{C}\) é derivável em \(z_{0}\) se sua derivada não depende do caminho tomado para se chegar a \(z_{0}\).

Definição: Uma função \(f:D\rightarrow \mathbb{C}\) é derivável em \(z\in D\) se existe o limite
$$
\lim_{\Delta z\rightarrow 0}\frac{f\left( z+\Delta z\right) -f\left(
z\right) }{\Delta z}\equiv f^{\prime }\left( z\right).
$$
Este limite deve ser único, não podendo depender de como \(z+\Delta z\) se aproxima de \(z\) ou, equivalentemente, de como \(\Delta z\rightarrow 0\).

Exemplo 3: A função \(f\left( z\right) =\left\vert z\right\vert ^{2}\) não é derivável em nenhum ponto de \(\mathbb{C}\). Para ver isto fazemos \(f\left( z\right) =\left\vert z\right\vert ^{2}=z \bar{z}\) e, usando a definição,
$$
f^{\prime }\left( z\right) =\lim_{\Delta z\rightarrow 0}\frac{\left(
z+\Delta z\right) \left( \bar{z}+\Delta \bar{z}\right) -z\bar{z}}{\Delta z}
=\lim_{\Delta z\rightarrow 0}\frac{z\Delta \bar{z}}{\Delta z}+\Delta \bar{z}+
\bar{z}.
$$
Escrevendo o incremento em forma polar,
$$
\Delta z=re^{i\theta };\ \Delta \bar{z}=re^{-i\theta },
$$
e lembrando que \(\Delta z\rightarrow 0\) equivale a \(r\rightarrow 0\) temos que
$$
f^{\prime }\left( z\right) =\lim_{r\rightarrow 0}\ \left( ze^{-2i\theta
}+re^{-i\theta }+\bar{z}\right) =ze^{-2i\theta }+\bar{z}.
$$
Observe que este limite depende do ângulo \(\theta\) com que se aproxima de \(z\) e, portanto, o limite não é único. Dizemos que esta função só tem derivada no ponto \(z=0\) e, neste ponto, \(f^{\prime}\left( 0\right) =0\).

Definição: Uma função \(f:D\rightarrow \mathbb{C}\) é analítica em uma região \(R\) se é derivável em cada ponto de \(R\). \(f\) é analítica no ponto \(z_{0}\) se é analítica numa vizinhança \(V_{\delta }\left( z_{0}\right)\). Uma função é dita inteira se for analítica em todo o plano complexo. As expressões holomorfa ou regular são também empregadas.

Regras de derivação

As funções elementares, extendidas para o plano complexo, são analíticas. Veremos alguns exemplos simples deste fato.

Exemplo 4: A função contínua \(f\left( z\right)=z_0\;\) (uma constante) é analítica e sua derivada é nula em todo ponto.

Exemplo 5: Se \(f\left( z\right) =z^{2}\) então
$$
f^{\prime }\left( z\right) =\lim_{\Delta z\rightarrow 0}\frac{f\left(
z+\Delta z\right) -f\left( z\right) }{\Delta z}=\lim_{\Delta z\rightarrow 0}
\frac{\left( z+\Delta z\right) ^{2}-z^{2}}{\Delta z}=
$$
$$
= \lim_{\Delta z\rightarrow 0}\frac{2z\Delta z+\Delta z^{2}}{\Delta z}==\lim_{\Delta z\rightarrow 0}2z+\Delta z=2z.
$$
Observe que este limite não depende de como \(\Delta z\rightarrow 0\). Usando o binômio de Newton podemos generalizar este resultado para funções \(f\left( z\right) =z^{n}\), cujas derivadas são
$$
f^{\prime }\left( z\right) =nz^{n-1}.
$$

Observamos que a soma e o produto de funções analíticas são analíticas. O quociente é analítico se o denominador for não-nulo. As seguintes regras se aplicam:

a. \(\left(f+g\right)^{\prime}=f^{\prime}+g^{\prime }\)
b. \(\left(fg\right)^{\prime}=f^{\prime}g+fg^{\prime }\)
c. \(\left(\frac{f}{g}\right)^{\prime}=\frac{f^{\prime}g-fg^{\prime }}{g^{2}},\;\;\text{ se }\;\;g\neq 0\).

Além disto temos um resultado importante: se \(f\) é uma função derivável em \(z_{0}\) então ela é contínua neste ponto. Para ver isto notamos que
$$
f^{\prime }\left( z_{0}\right) =\lim_{z\rightarrow z_{0}}\frac{f\left(z\right) -f\left( z_{0}\right) }{z-z_{0}}.
$$
Definimos

(1)

$$
g\left( z\right) =\frac{f\left( z\right) -f\left( z_{0}\right) }{z-z_{0}}-f^{\prime }\left( z_{0}\right)
$$
e, portanto,
$$
\lim_{z\rightarrow z_{0}}g\left( z\right) =0.
$$
De (1) podemos escrever
$$
f\left( z\right) =f\left( z_{0}\right) +\left( z-z_{0}\right) g\left(z\right) +\left( z-z_{0}\right) f^{\prime }\left( z_{0}\right)
$$
e, desta última expressão
$$
\lim_{z\rightarrow z_{0}}f\left( z\right) =f\left( z_{0}\right).
$$
Logo ela é contínua.

Exemplo 6: A função
$$
f\left( z\right) =\frac{\left( z+i\right) \left( 3z+1\right) ^{2}}{z\left(z-i\right) \left( z+2\right) ^{2}}
$$
só deixa de ser analítica nos pontos \(z=0\), \(z=i\) e \(z=-2\).

Condições de Cauchy-Riemann

Seja \(f\left( z\right) =u+iv\) uma função derivável em \(z=x+iy\). Então o limite
$$
\lim_{\Delta z\rightarrow 0}\frac{f\left( z-\Delta z\right) -f\left(
z\right) }{\Delta z}=f^{\prime }\left( z\right)
$$
existe e independe de como \(\Delta z\rightarrow 0\). Tomamos em particular dois caminhos. Fazendo \(\Delta z=k\), que corresponde a \(z\) se aproximando de \(z_{0}\) ao longo do eixo real, temos
$$
f^{\prime }\left( z\right) =\lim_{k\rightarrow 0}\frac{1}{k}\left[ u\left(
x+k,y\right) +iv\left( x+k,y\right) -u\left( x,y\right) -iv\left( x,y\right)
\right]
$$
$$
=\lim_{k\rightarrow 0}\frac{1}{k}\left[ u\left( x+k,y\right) -u\left(
x,y\right) +iv\left( x+k,y\right) -iv\left( x,y\right) \right] =
$$
$$
=\frac{\partial u\left( x,y\right) }{\partial x}+i\frac{\partial v\left(
x,y\right) }{\partial x}.
$$
Por outro lado, fazendo \(\Delta z=it\), o que corresponde a tomar \(z\) se aproximando de \(z_{0}\) ao longo do eixo imaginário, temos
$$
f^{\prime }\left( z\right) =\lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{it}\left[ u\left(x,y+t\right) +iv\left( x,y+t\right) -u\left( x,y\right) -iv\left( x,y\right)
\right].
$$
Para explicitar as partes real e imaginária deste limite multiplicamos numerador e denominador por \(-i\),
$$
f^{\prime }\left( z\right) =\lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t}\left[ v\left(x,y+t\right) -v\left( x,y\right) -iu\left( x,y+t\right) +iu\left( x,y\right) \right] =
$$
$$
=\frac{\partial v\left( x,y\right) }{\partial y}-i\frac{\partial u\left(x,y\right) }{\partial y}.
$$
Para que a função seja derivável os limites tomados para os dois casos devem ser iguais. Identificando as partes reais e imaginárias chegamos às equações de Cauchy-Riemann:
$$
\frac{\partial u\left( x,y\right) }{\partial x}=\frac{\partial v\left(x,y\right) }{\partial y};
$$
$$
\frac{\partial u\left( x,y\right) }{\partial y}=-\frac{\partial v\left(x,y\right) }{\partial x}.
$$
Para simplificar a notação faremos
$$
\frac{\partial u}{\partial x}=u_{x};\;\ \frac{\partial v}{\partial y}=v_{y};\ \;\frac{\partial u}{\partial y}=u_{y};\ \;\frac{\partial v}{\partial x}=v_{x},
$$
de forma que as equações de Cauchy-Riemann podem ser escritas simplesmente como
$$
u_{x}=v_{y};\;\;\ \;u_{y}=-v_{x}.
$$
Estas condições, no entanto, são necessárias mas não suficientes para que \(f=u+iv\) seja uma função analítica. O seguinte teorema exibe as condições para que isto seja verdadeiro.

Teorema: Sejam \(u\left( x,y\right)\) e \(v\left(x,y\right)\) funções reais com derivadas parciais contínuas numa região \(R\). Então as equações de Cauchy-Riemann são condições necessárias e suficientes para que \(f=u+iv\) seja analítica.

Observe que, para uma função analítica, podemos tomar\ \(\Delta z\rightarrow 0\) ao longo de qualquer caminho, em particular podemos fazer \(\Delta z=\Delta x\), como fizemos na derivação das equações de Cauchy-Riemann. Sua derivada é, portanto
$$
\frac{df\left( z\right) }{dz}=\frac{\partial f\left( z\right) }{\partial x}.
\label{dparc}
$$
Se for conveniente podemos também usar a derivada parcial em \(y\).

Exemplo 8: A função \(f\left( z\right) =\bar{z}\) não é analítica. Note que \(\bar{z}=x-iy\). Dai
$$
u\left( x,y\right) =x,\; v\left( x,y\right) =-y,\; u_{x}=1,\; v_{x}=0,\; u_{y}=0,v_{y}=-1.
$$

Exemplo 9: Como já sabemos a função \(f\left(z\right) =z^{2}\) é analítica. Observe que, em coordenadas cartesianas,
$$
f\left( z\right) =\left( x+iy\right) ^{2}=x^{2}-y^{2}+2xyi.
$$
Suas partes real e imaginária são
$$
u\left( x,y\right) =x^{2}-y^{2};\ \ v\left( x,y\right) =2xy
$$
e suas derivadas parciais

(2)

$$
\begin{array}{ll}
\frac{\partial u}{\partial x}=2x, & \frac{\partial v}{\partial y}=2x \\
\frac{\partial u}{\partial y}=-2y,\ \ \ \ & \frac{\partial v}{
\partial x}=2y.
\end{array}
$$
Como \(u_{x}=v_{y}\), \(\ u_{y}=-v_{x}\) e as derivadas parciais são contínuas então a função é analítica. Sua derivada é, usando (2),
$$
\frac{dz^{2}}{dz}=\frac{\partial z^{2}}{\partial x}=u_{x}+iv_{x}=2x+2iy=2z.
$$

Exemplo 10: Vamos verificar que se a função \(f\left(z\right) =1/z\) é analítica e encontrar sua derivada. Precisamos primeiro escrever a função de forma a explicitar sua parte real e imaginária,
$$
f\left( z\right) =\frac{1}{z}=\frac{1}{x+iy}=\frac{1}{x+iy}\frac{x-iy}{x-iy}=
\frac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}.
$$
Portanto
$$
u\left( x,y\right) =\frac{x}{x^{2}+y^{2}},\;\;\;v\left( x,y\right) =\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}.
$$
Lembrando que a derivada de um quociente é
$$
\left( \frac{f}{g}\right) ^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-fg^{\prime }}{g^{2}}
$$
calculamos
$$
u_{x}=\frac{x^{2}+y^{2}-x\left( 2x\right) }{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}}=
\frac{y^{2}-x^{2}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}},
$$
$$
u_{y}=\partial _{y}\left[ x\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{-1}\right] =\frac{-2xy}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}},
$$
$$
v_{x}=\partial _{x}\left[ -y\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{-1}\right] =\frac{2xy}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}},
$$
$$
v_{y}=-\frac{x^{2}-y^{2}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}}=\frac{y^{2}-x^{2}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}}.
$$
Observamos que as equações de Cauchy-Riemann, \(u_{x}=v_{y},\;u_{y}=-v_{x},\;\) são satisfeitas em todo o plano complexo. No entanto as derivadas parciais de \(u\) e \(v\) não são contínuas em \(\left(x,y\right) =\left( 0,0\right)\) de onde concluímos que \(f\left(z\right)\) é analítica em \(\mathbb{C}-\left\{ 0\right\}\). Fora de \(z=0\) a função é analítica e podemos usar (2) para obter sua derivada:
$$
\frac{d}{dz}\left( \frac{1}{z}\right) =\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{z}\right) =\frac{\partial }
{\partial x}\left( \frac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}\right) =-\frac{1}{z^{2}}.
$$
Obtenha, como um exercício, a última igualdade.

Exercício Resolvido: Verifique se são analíticas e em que região são analíticas as funções:

a. \(f(z)=e^z\)   b. \(f(z) =z\bar{z}\)   c. \(f(z) =1\)

Encontre as derivadas das funções, quando existirem.

a. A função exponencial pode ser escrita como
$$
f\left( z\right) =e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}\left( \cos y+i\text{sen }y\right).
$$
Portanto
$$
u\left( x,y\right) =e^{x}\cos y\;\;\;\Rightarrow \;\;\;u_{x}=e^{x}\cos y,\;\;\;u_{y}=-e^{x}\text{sen }y
$$
$$
v\left( x,y\right) =e^{x}\text{sen }y\;\;\;\Rightarrow \;\;v_{x}=e^{x}\text{sen }y,\;\;\;v_{y}=e^{x}\cos y.
$$
Como as condições de Cauchy Riemann são satisfeitas e as derivadas parciais são contínuas a função é analítica em todo o plano complexo. Além disto sua derivada é
$$
\frac{d\,e^{z}}{dz}=\frac{\partial \,e^{z}}{\partial x}=u_{x}+iv_{x}=e^{x}\cos y+ie^{x}\text{sen }y=e^{x}e^{iy}=e^{z}.
$$

b. A função \(f\left( z\right) =z\bar{z}=(x+iy)\left( x-iy\right)=x^{2}+y^{2}\) só é analítica em \(z=0\) pois
$$
u\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}\;\;\;\Rightarrow \;\;\;u_{x}=2x,\;\;\;u_{y}=2y
$$
$$
v\left( x,y\right) =0\;\;\;\Rightarrow \;\;v_{x}=0,\;\;\;v_{y}=0.
$$

c. Já a função constante \(f\left( z\right) =1\) é analítica em \(\mathbb{C}\) pois \(u=1,\;v=0\), e todas as derivadas são nulas, portanto contínuas. Sua derivada é
$$
\frac{d\,1}{dz}=\frac{\partial \,1}{\partial x}=0.
$$

Equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares

Algumas vezes é mais fácil trabalhar com as funções em coordenadas polares para testar sua analiticidade. Para obter as equações de Cauchy-Riemann nestas coordenadas partimos das relações entre as coordenadas polares e as coordenadas cartesianas,
$$
r\left( x,y\right) =\sqrt{x^{2}+y^{2}};\;\;\theta \left( x,y\right) =\arctan\left( \frac{y}{x}\right)
$$
ou, inversamente,
$$
x=r\cos \theta ,\ \ y=r\text{sen }\theta .
$$
Se \(f\) é uma função de \(x\) e \(y\), que, por sua vez, são funções de \(r\) e \(\theta\),
$$
f=f\left( x\left( r,\; \theta \right) ,\;\; y\left( r,\; \theta \right) \right)
$$
podemos relacionar as derivadas parciais calculadas nos dois sistemas de coordenadas por meio da regra da cadeia:
$$
\frac{\partial f}{\partial r}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{
\partial r}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r},
$$
$$
\frac{\partial f}{\partial \theta }=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{
\partial x}{\partial \theta }+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{
\partial \theta }.
$$
Como estas duas relações são válidas independentemente da função \(f\) considerada podemos escrever as relações de operadores,
$$
\frac{\partial }{\partial r}=\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial x}{
\partial r}+\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r},
$$
$$
\frac{\partial }{\partial \theta }=\frac{\partial }{\partial x}\frac{
\partial x}{\partial \theta }+\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial y}{
\partial \theta }.
$$
Precisaremos das derivadas
$$
\begin{array}{ll}
x_{r}=\cos \theta , & y_{r}=\text{sen }\theta , \\
x_{\theta }=-r\text{sen }\theta ,\ \ \ & y_{\theta }=r\cos \theta .
\end{array}
$$
Então
$$
\frac{\partial }{\partial r}=\cos \theta \frac{\partial }{\partial x}+\text{
sen}\theta \frac{\partial }{\partial y},\; \; \; \; \frac{\partial }{
\partial \theta }=-r\text{sen }\theta \frac{\partial }{\partial x}+r\cos
\theta \frac{\partial }{\partial y}.
$$
Em particular
$$
\begin{array}{ll}
u_{r}=\cos \theta ~u_{x}+\text{sen }\theta ~u_{y}, & v_{r}=\cos \theta ~v_{x}+
\text{sen }\theta ~v_{y}, \\
u_{\theta }=-r\text{sen }\theta ~u_{x}+r\cos \theta ~u_{y},\; \; \; \; &
v_{\theta }=-r\text{sen }\theta ~v_{x}+r\cos \theta ~v_{y}.
\end{array}
$$
Usando as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas cartesianas (\(u_{x}=v_{y}\) e \(u_{y}=-v_{x}\) ) podemos escrever
$$
\begin{array}{ll}
u_{r}=\cos \theta & v_{y}-\text{sen }\theta ~v_{x}=\frac{1}{r}v_{\theta }, \\
u_{\theta }=-r\text{sen }\theta & v_{y}-r\cos \theta ~v_{x}=-rv_{r}.
\end{array}
$$
Estas são, portanto, as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares:
$$
\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta },
$$
$$
\frac{\partial v}{\partial r}=-\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}.
$$
Observe que, se a função é analítica, sua derivada é
$$
\frac{df\left( z\right) }{dz}=\frac{\partial f\left( z\right) }{\partial x}.
$$
A derivada parcial em \(x\) pode ser associada às derivadas em \(r\) e \(\theta\) da seguinte forma: primeiro calculamos as derivadas parciais
$$
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{x}{r}=\cos \theta,
$$
$$
\frac{\partial \theta }{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\text{arctag } \left( \frac{y}{x}\right) =\frac{1}{1+\left( y/x\right) ^{2}}\frac{-y}{x^{2}}
=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}=\frac{-\text{sen }\theta }{r}.
$$
Em seguida, usando a regra da cadeia, temos
$$
\frac{\partial }{\partial x}=\frac{\partial }{\partial r}\frac{\partial r}{
\partial x}+\frac{\partial }{\partial \theta }\frac{\partial \theta }{
\partial x}=\cos \theta \frac{\partial }{\partial r}-\frac{\text{sen }\theta
}{r}\frac{\partial }{\partial \theta }
$$
portanto
$$
\frac{df\left( z\right) }{dz}=\cos \theta \frac{\partial f\left( z\right) }{
\partial r}-\frac{\text{sen }\theta }{r}\frac{\partial f\left( z\right) }{
\partial \theta }.
$$
Apenas como referência vamos listar a derivada parcial em \(y:\)
$$
\frac{\partial }{\partial y}=\frac{\partial }{\partial r}\frac{\partial r}{
\partial y}+\frac{\partial }{\partial \theta }\frac{\partial \theta }{
\partial y}=\text{sen }\theta \frac{\partial }{\partial r}+\frac{\cos \theta
}{r}\frac{\partial }{\partial \theta },
$$
enquanto \(r\) e \(\theta\) tem derivadas em \(y\)
$$
\frac{\partial r}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\sqrt{x^{2}+y^{2}}=
\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{r\text{sen }\theta }{r^{2}}=\text{sen }
\theta ,
$$
$$
\frac{\partial \theta }{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\text{arctag}
\left( \frac{y}{x}\right) =\frac{1}{1+\left( y/x\right) ^{2}}\frac{1}{x}=
\frac{x}{x^{2}+y^{2}}=\frac{\cos \theta }{r}.
$$

Exemplo 11: Vamos verificar se a função \(f\left(z\right) =1/z\) é analítica. Já resolvemos este exercício em coordenadas cartesianas mas vale notar que a verificação fica mais simples em coordenadas polares. Para isto escrevemos

$$
f\left( z\right) =\frac{1}{z}=\frac{1}{re^{i\theta }}=\frac{e^{-i\theta }}{r}
=\frac{1}{r}\left( \cos \theta -i\text{sen }\theta \right).
$$
Portanto
$$
u\left( r,\theta \right) =\frac{1}{r}\cos \theta ,\;\;\;v\left( r,\theta
\right) =-\frac{1}{r}\text{sen }\theta .
$$
Calculamos agora
$$
u_{r}=-\frac{1}{r^{2}}\cos \theta ,\;\;\;\;\;u_{\theta }=-\frac{1}{r}
\text{sen }\theta ,
$$
$$
v_{r}=\frac{1}{r^{2}}\text{sen }\theta, \;\;\;\;\;\;v_{\theta }=-\frac{1}{r}\cos \theta.
$$
portanto \(u_{r}=\frac{1}{r}v_{\theta },\;v_{r}=-\frac{1}{r}u_{\theta }\), as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas. No entanto as derivadas parciais não são contínuas em \(r=0\) logo \(f\left(z\right)\) não é analítica em \(z=0,\;\) como já havíamos concluído usando a representação em coordenadas cartesianas.

Exemplo 12: Verifique se a função \(f\left( z\right) =1/z^{2}\) é analítica. Escrevemos a função em coordenadas polares,

$$
f\left( z\right) =\frac{1}{z^{2}}=\frac{1}{r^{2}e^{2i\theta }}=\frac{
e^{-2i\theta }}{r^{2}}=\frac{1}{r^{2}}\left( \cos 2\theta -i\text{sen }
2\theta \right).
$$
Portanto
$$
u\left( r,\theta \right) =\frac{1}{r^{2}}\cos 2\theta ,\;\;\;v\left(
r,\theta \right) =-\frac{1}{r^{2}}\text{sen }2\theta .
$$
As derivadas parciais de \(u\) e \(v\), em coordenadas polares, são
$$
u_{r}=-\frac{2}{r^{3}}\cos 2\theta ,\;\;\;\;\;u_{\theta }=-\frac{2}{r^{2}}\text{sen }2\theta ,
$$
$$
v_{r}=\frac{2}{r^{3}}\text{sen }2\theta ;\;\;\;\;\;\;v_{\theta }=-\frac{2}{
r^{2}}\cos 2\theta .
$$
portanto \(u_{r}=\frac{1}{r}v_{\theta },\;v_{r}=-\frac{1}{r}u_{\theta }\). As derivadas parciais não são contínuas em \(r=0\;\;\) logo \(f\left(z\right)\) não é analítica em \(r=0\).

Exercício Resolvido: Verifique se são analíticas e em que região são analíticas:
a. \(f\left( z\right) =\frac{1}{z^{3}},\;\;\;\)b.\( \; f\left( z\right) =\sqrt{z}\).

Para estas funções é mais fácil fazer o teste em coordenadas polares.

a. Escrevemos \(z=re^{i\theta }\), logo
$$
f\left( z\right) =\frac{1}{z^{3}}=\frac{1}{r^{3}e^{3\theta i}} =r^{-3}\left( \cos 3\theta -i\text{sen }3\theta \right).
$$
Foi usado aqui
$$
\frac{1}{e^{3\theta i}}=e^{-3\theta i}=\cos \left( -3\theta \right) +i \text{sen }\left( -3\theta \right) =\cos 3\theta -i\text{sen }3\theta ,
$$
pois o cosseno é uma função par enquanto o seno é impar. Temos então
$$
u=r^{-3}\cos 3\theta \;\;\;\Rightarrow \;\;\;u_{r}=-3r^{-4}\cos 3\theta ,\;\;\;u_{\theta }=-3r^{-3}\text{sen }3\theta
$$
$$
v=-r^{-3}\text{sen }3\theta \;\;\;\Rightarrow \;\;v_{r}=3r^{-4}\text{sen }3\theta ,\;\;\;v_{\theta }=-3r^{-3}\cos 3\theta .
$$
Então a função é analítica, exceto em \(z=0\), onde as derivadas parciais não são contínuas. Observe que neste ponto a função nem mesmo está definida.

b. Escrevemos \(z=re^{i\theta }\) e tomamos uma de suas raízes, observando que o mesmo resultado seria obtido com a outra raiz,
$$
f\left( z\right) =\sqrt{z}=\sqrt{re^{i\theta }}=\sqrt{r}e^{i\theta /2}=\sqrt{r}\left( \cos \frac{\theta }{2}+i\text{sen }\frac{\theta }{2}\right).
$$
Temos então
$$
u=\sqrt{r}\cos \frac{\theta }{2}\;\;\;\Rightarrow \;\;\;u_{r}=\frac{1}{2\sqrt{r}}\cos \frac{\theta }{2},\;\;\;u_{\theta }=-\frac{\sqrt{r}}{2}\text{
sen}\frac{\theta }{2},
$$
$$
v=\sqrt{r}\text{sen }\frac{\theta }{2}\;\;\;\Rightarrow \;\;v_{r}=\frac{1}{2
\sqrt{r}}\text{sen }\frac{\theta }{2},\;\;\;v_{\theta }=\frac{\sqrt{r}}{2}
\cos \frac{\theta }{2}.
$$
Então a função é analítica exceto em \(z=0\). Note que a função está definida em \(z=0\) mas suas derivadas parciais, \(u_{r}\) e \(v_{r}\), não são contínuas neste ponto.

Exercício Resolvido: Verifique se é analítica a função logaritmo, \(f\left( z\right) =\ln z=\ln \left(re^{i\theta }\right)\).

Observe que o logaritmo, que voltaremos a estudar ainda neste capítulo, pode ser escrito da seguinte forma, usando a propriedade \(\ln \left(ab\right) =\ln a+\ln b:\)
$$
\ln z=\ln \left( re^{i\theta }\right) =\ln r+\ln e^{i\theta }=\ln r+i\theta ,
$$
para \(0\leq \theta \leq 2\pi\). Nesta região temos
$$
u\left( r,\theta \right) =\ln r,\ \ v\left( r,\theta \right) =\theta .
$$
As derivadas parciais são
$$
\begin{array}{lll}
u_{r}=\frac{1}{r}, & & v_{\theta }=0, \\
v_{r}=0, & & v_{\theta }=1,
\end{array}
$$
e, portanto a função é analítica em todo o plano complexo exceto na origem, onde \(u_{r}\) não é contínua.

Interpretação geométrica da analiticidade

Para o estudo que se segue será útil fazer uma revisão dos conceitos de curva de nível e gradiente. Dada uma função de duas variáveis, \(z=u\left( x,y\right)\), então \(u\left( x,y\right) =k\), uma constante, formam famílias de curvas em \(\mathbb{R}^{2}\), cada curva correspondendo a um valor da constante \(k\). Estas são as chamadas curvas de nível de \(u\) consistindo no conjunto de pontos de \(\mathbb{R}^{2}\) que são levados no mesmo valor \(k\) pela função \(u\). Definimos o gradiente de \(u\) como o vetor
$$
\text{grad}u=\vec{\bigtriangledown}u=\left( \frac{\partial u}{\partial x},~
\frac{\partial u}{\partial y}\right)
$$
e observamos que o gradiente é perpendicular a um vetor tangente às curvas de nível, como ilustrado na figura. Para ver isto note que, sobre as curvas de nível, temos \(u\left( x,y\right) =k\) e portanto
$$
0=du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy=\left(
\frac{\partial u}{\partial x},~\frac{\partial u}{\partial y}\right) \cdot
\left( dx,~dy\right).
$$
Em outros termos temos
$$
\vec{\bigtriangledown}u\cdot d\vec{x}=0\Rightarrow \vec{\bigtriangledown} u\bot d\vec{x}.
$$

Podemos agora enunciar o seguinte teorema:

Teorema: Se a função \(f=u+iv\) é analítica em uma região \(R\) então as curvas de nível das famílias \(u\left( x,y\right) = \; \text{ constante e } \; v\left( x,y\right) =\) constante se cruzam em ângulo reto (são ortogonais) em todo ponto \(z_{0}\in R\) satisfazendo \(\;f^{\prime }\left( z_{0}\right) \neq 0\).

Demonstração: \(\text{grad}u=\vec{\bigtriangledown} u=\left( u_{x},~u_{y}\right)\) é normal às curvas \(u=\) cte enquanto \(\vec{\bigtriangledown}v=\left( v_{x},~v_{y}\right)\) é normal às curvas \(v=\) cte. Tomamos o produto escalar
$$
\vec{\bigtriangledown}u\cdot \vec{\bigtriangledown}v=\left(
u_{x},~u_{y}\right) \cdot \left( v_{x},~v_{y}\right) =u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}.
$$
Usando as condições de Cauchy-Riemann para a analiticade de \(f\) temos
$$
\vec{\bigtriangledown}u\cdot \vec{\bigtriangledown}v=-u_{x}u_{y}+u_{y}u_{x}=0,
$$
de onde concluímos que \(\vec{\bigtriangledown}u\bot \vec{\bigtriangledown}v\).

Observe que estas curvas, \(u\) e \(v\) constante, são curvas no domínio da função no plano complexo, representado pelas coordenadas \(z=x+iy\) como ilustrado na figura. As curvas \(u\) e \(v\) constante na imagem, \(w=f\left( z\right)\) são perpendiculares por definição.

Exemplo 13: Vamos verificar a perpendicularidade estudada acima para a função
$$
w=z^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy.
$$
As curvas \(u\left( x,y\right) =k\) são as hipérboles
$$
x^{2}-y^{2}=k_{1}\Rightarrow \frac{x^{2}}{k_{1}}-\frac{y^{2}}{k_{1}}=1,
$$
enquanto \(v\left( x,y\right) =k\) são também hipérboles, dadas por
$$
2xy=k_{2}\Rightarrow y=\frac{k_{2}}{2x}.
$$
Algumas vezes é útil considerar o último teorema sob a seguinte
forma:

Teorema: Se a função \(f=u+iv\) é analítica em uma região \(R\) então as famílias de curvas

$$
\begin{array}{ll}
F_{1}: & u\left( x,y_{0}\right) +iv\left( x,y_{0}\right) , \\
F_{2}: & u\left( x_{0},y\right) +iv\left( x_{0},y\right) ,
\end{array}
$$

parametrizadas por \(x\) e \(y\) respectivamente, são ortogonais em \(z_{0}\in R\), desde que \(f^{\prime }\left( z_{0}\right) \neq 0\).

Demonstração: Em forma vetorial as famílias \(F_{1}\) e \(F_{2}\) e suas respectivas tangentes, \(t_{1}\) e \(t_{2}\), são
$$
\begin{array}{ll}
F_{1}=\left( u\left( x,y_{0}\right) ,\ v\left( x,y_{0}\right) \right) ;\ &
t_{1}=\frac{\partial F_{1}}{\partial x}=\left. \left( u_{x},~v_{x}\right)
\right\vert _{\left( x_{0},y_{0}\right) },\; \; \\
F_{2}=\left( u\left( x_{0},y\right) ,~v\left( x_{0},y\right) \right) ;\ &
t_{2}=\frac{\partial F_{2}}{\partial y}=\left. \left( u_{y},~v_{y}\right)
\right\vert _{\left( x_{0},y_{0}\right) },
\end{array}
$$
lembrando que as tangentes são calculadas no ponto \(\left(x_{0},y_{0}\right)\). As tangentes são ortogonais, pois, tomando seu produto escalar obtemos
$$
t_{1}\cdot t_{2}=u_{x}u_{y}+v_{x}v_{y}=-u_{x}v_{x}+v_{x}u_{x}=0.
$$
Isto pode ser visualizado na figura abaixo.

Exemplo 14: Vamos visualizar a função \(w=\exp \left(z\right) =e^{z}\) como uma transformação e observar que as curvas \(\left( x_{\ },y_{0}\right)\) e \(\left( x_{0},y\right)\) no plano \(xy\) são levadas em curvas que se interceptam ortogonalmente no plano \(uv\). Notamos primeiramente que
$$
w=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}\left( \cos y+i\text{sen }y\right).
$$
As partes real e imaginária e suas derivadas são
$$
\begin{array}{lll}
u\left( x,y\right) =e^{x}\cos y, & u_{x}=e^{x}\cos y, & u_{y}=-e^{x}\text{sen }y, \\
v\left( x,y\right) =e^{x}\text{sen }y, & v_{x}=e^{x}\text{sen }y, & v_{y}=e^{x}\cos y.
\end{array}
$$
Como as condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas e as derivadas parciais são contínuas a função é analítica. Além disto sua derivada é
$$
\frac{de^{z}}{dz}=\frac{\partial e^{z}}{\partial x}=\frac{\partial }{
\partial x}\left( e^{x+iy}\right) =e^{x+iy}=e^{z},
$$
e
$$
\vec{\nabla}u\cdot \vec{\nabla}v=u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}=0.
$$
A reta \(\left( x,~0\right)\) é levada em \(w=e^x\), que é a semi-reta \(u\gt 0,\; v=0\) do plano \(uv\). A reta \(\left( x,~\pi /4\right)\) é levada em \(w=e^{x}e^{i\pi /4}\), que é a semi-reta bissetriz do primeiro quadrante. A reta \(\left( 0,\ y\right)\) é levada em \(w=e^{iy}\), que é a circunferência de raio \(1\). Estas e outras retas de \(xy\) e sua imagem no plano \(uv\) estão representadas na figura. Observe que nenhum ponto de \(\mathbb{C}\) é levado na origem da imagem.

Exercícios

1. Encontre as partes real e imaginárias das seguintes funções:
$$
\begin{array}{ll}
\text{a) }\;\; w=z^{2}-5z+3 & \;\; \text{b) }\;\; w=\frac{z+2}{z-i} \\
\text{c) }\;\; w=e^{iz} & \;\; \text{d) }\;\; w=\sqrt{z}
\end{array}
$$

2. Qual é o domínio máximo de definição das seguintes funções?

$$
\begin{array}{ll}
\text{a)}\ f\left( z\right) =\frac{z}{x}-\frac{y}{z}\ \ \ \ \
& \text{b)}\ f\left( z\right) =\frac{z^{2}+\left( z-1\right) ^{3}}{\left(
e^{z}-1\right) \cos y}
\end{array}
$$

3. Mostre, usando a definição, que
$$
\frac{d}{dz}\left( \frac{1}{z}\right) =-\frac{1}{z^{2}}
$$
para \(z\neq 0\). Obtenha a mesma derivada usando
$$
\frac{d}{dz}\left( \frac{1}{z}\right) =\frac{\partial }{\partial x}\left(
\frac{1}{z}\right)
$$
na região onde \(f\) é analítica.

4. Calcule as derivadas de
$$
\begin{array}{ll}
\text{a)}\ f\left( z\right) =z^{5}+3iz^{2}-1\ \ \ \ \ & \text{b)
}\ f\left( z\right) =\left( z^{2}-1\right) ^{2}\left( iz+1\right) ^{3} \\
\text{c)}\ f\left( z\right) =\frac{z-1}{z-i} & \text{d)}\ f\left(
z\right) =ze^{iz}
\end{array}
$$

5. Mostre por indução que \(\left( z^{n}\right) ^{\prime }=nz^{n-1}\) para todo \(n\) inteiro positivo.

6. Verifique se são analíticas e, em caso afirmativo, em que região são analíticas e quais as derivadas das funções:
$$
\begin{array}{lll}
\text{a)}\;\;w=z^{3} & \text{b)}\;\;w=e^{y+ix} & \text{c)}\;\;w=\bar{z} \\
\text{d)}\;\;w=\sqrt{z} & \text{e)}\;\;w=e^{-z} & \text{f)}\;\;w=x+iy\; \text{ a identidade.}
\end{array}
$$

7. Dadas as funções
$$
\text{(a)}\;\; w=z^{2}\;\; \text{(b)}\;\; w=\frac{1}{z}
$$
faça os gráficos das famílias de curvas \(\ u\left( x,y\right)=c_{1}\) e\ \(v\left( x,y\right) =c_{2}\) e verifique se elas se cruzam ortogonalmente.

Outras funções importantes

<h3Logaritmo

Embora já tenhamos usado o logaritmo em um exercício para mostrar que é uma função analítica em \(\mathbb{C}\) será útil fazermos um estudo mais completo desta função. Como uma revisão nos lembraremos de que o logaritmo natural ou neperiano pode ser definido como a área sob a curva do hipérbole \(y=1/t\), como ilustrado na figura.

Como consequência temos as propriedades:

i) O logaritmo é a inversa da exponencial: \(y=\ln x\Leftrightarrow x=e^{y}\),
ii) a função está definida para \(x>0\) real, \(\ln 1=0 \text{ e } \ln e=1\),
iii) \(\ln \left( ab\right) =\ln a+\ln b\), \(\ln \left( a/b\right) =\ln a-\ln b\),
iv) \(\ln a^{n}=n\ln a\).
Além disto valem os limites
\(\lim_{x\rightarrow 0}\ln x=-\infty ,\ \lim_{x\rightarrow \infty }\ln x=\infty.\)

Uma das motivações que levaram ao estudo dos números complexos foi exatamente a necessidade de se atribuir algum sentido ao logaritmo de números negativos, que não está definido para os reais. Como veremos a extensão desta função para os complexos está definida em \(\mathbb{C}-\left\{ 0\right\}\). Esta extensão é obtida de modo muito natural escrevendo-se
$$
\ln z=\ln re^{i\theta }=\ln r+\ln e^{i\theta }=\ln r+i\theta ,
$$
lembrando que a parte real está bem definida se \(z\neq 0\) pois, neste caso, \(r=\left\vert z\right\vert >0\). Se \(z\) é real então \(\theta =0\) e \(\ln z=\ln r\) e o logaritmo coincide com a função real. Com esta definição podemos dar um sentido ao logaritmo de um número negativo. Um exemplo disto é a célebre identidade escrita por Euler “associando os 4 números mais importantes”,
$$
e^{i\pi }=-1\Rightarrow \ln \left( -1\right) =i\pi .
$$

Observe, no entanto, que definida desta forma a função tem um problema. Ela é uma função “multivalente” , isto é, o mesmo ponto \(z\) pode corresponder a diversos pontos na imagem, o que não é compatível com a definição usual de uma função. Isto ocorre por uma ambiguidade na forma de se expressar o ponto \(z\), no domínio da função. Um ponto pode ser escrito como
$$
z=re^{i\theta }=re^{i\left( \theta +2k\pi \right) },\ k=0,~\pm 1,~\pm 2,…
$$
que pode ser levado em diversos pontos da imagem,
$$
\ln z=\ln re^{i\left( \theta +2k\pi \right) }=\ln r+i\left( \theta +2k\pi
\right) ,\ k\in \mathbb{Z}.
$$
Para torná-la uma função “univalente” podemos proceder da seguinte forma: para qualquer valor do argumento \(\theta\) em \(z=re^{i\theta }=re^{i\left( \theta+2k\pi \right) }\) tomamos \(\theta _{0}\) como o valor do argumento no intervalo \(\left[ 0,~2\pi \right)\). Então
$$
\theta _{0}=\theta +2k\pi ,\ k\in \mathbb{Z}
$$
e definimos o ramo principal (ou determinação) do \(\ln\) como \(\ln \theta =\ln \theta _{0}\). Se restringirmos \(\arg \left( z\right)\) aos intervalos
$$
2k\pi \leq \theta \lt 2\left( k+1\right) \pi ,\ k\in \mathbb{Z}
$$
teremos para cada valor de \(k\) um ramo do \(\ln\), ou seja
$$
\ln _{k}z=\ln r+i\theta .
$$
O logaritmo fica, desta forma, univocamente determinado se informarmos o ramo que está sendo usado. Os pontos \(\theta =0\) representam uma reta de corte em \(\mathbb{C}\), representada na figura (a) e são chamados pontos de ramificação. Pode ser interessante, dependendo da aplicação, estabelecer outra reta de corte definindo ramos diferentes para o \(\ln\). Podemos tomar
$$
\alpha \leq \theta \lt \alpha +2 \pi \;\;\text{ ou }\;\; \alpha \lt \theta \leq \alpha +2\pi,
$$
como representado na figura (b). Ao tomar estas restrições dizemos que \(\mathbb{C}\) foi cortado ao longo de \(z=re^{i\alpha }\).

Como já visto o logaritmo é analítico em \(z\neq 0\) no ramo principal, conclusão que pode ser ampliada para qualquer ramo. Por outro lado, usando a regra da cadeia, obtemos sua derivada,
$$
\frac{d}{dz}\ln \left( z\right) =\frac{\partial }{\partial x}\ln \left(z\right) =\frac{\partial }{\partial x}\left( \ln r+i\theta \right)
=\left(\frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{\partial\theta }{\partial x}\frac{\partial }{\partial \theta }\right)
\left( \ln r+i\theta \right),
$$
e as derivadas \(r_x=\cos \theta,\;\; r_y=-\text{sen }\theta /r\)
$$
\frac{d}{dz}\ln \left( z\right) =\left( \frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{\partial \theta }{\partial x}\frac{\partial }{\partial \theta }\right) \left( \ln r+i\theta \right) =\left( \frac{1}{r}\frac{\partial r}{\partial x}+i\frac{\partial \theta }{\partial x}\right) =
$$
$$
=\frac{\cos \theta }{r}-i\frac{\text{sen }\theta }{r}=\frac{e^{-i\theta }}{r}=\frac{1}{re^{i\theta }}=\frac{1}{z}.
$$

Um maneira prática de se visualizar o efeito da função logaritmo, e de outras funções igualmente, é encará-la como uma transformação entre pontos de \(\mathbb{C}\). Na tabela seguinte estão listados alguns conjuntos de pontos no domínio e sua imagem pelo logaritmo.

$$
\begin{array}{lll}
\text{Imagem } & z & \text{Domínio, } f\left( z\right) \\
\text{ponto } & z=0 & \ln 0=1 \\
\text{ponto } & z=i & \ln \left( i\right) =i\pi /2 \\
\text{reta } & \theta = cte. & v=\theta \left( \text{reta}\right) \\
\text{círculo } & r=1 & u=0\; \text{ (reta)} \\
\text{círculo } & r \gt 1 & u= \text{ cte. positivo (reta.)}
\end{array}
$$

Cada ramo tem como imagem uma faixa no plano \(w\), satisfazendo \(-\infty\lt u\lt \infty,\;\; 0\leq v \lt 2\pi\). A totalidade dos ramos cobre o plano \(w\). Observe na figura que retas \(\theta =\) cte. no plano \(z\) são levadas em \(w=\ln r+i\theta\) no plano \(w\), que são retas \(u=\) cte., enquanto circunferências \(r=\) cte. são levadas nas retas \(v=\) cte.no plano \(w\). A circunferência \(r=1\) tem como imagem a reta \(u=0\) (o eixo \(\mathcal{O}v)\) enquanto circunferências com raios menores (maiores) que 1 são levadas em retas verticais à esquerda (direita) do eixo \(\mathcal{O}v\).

Observe as funções exponencial e logaritmo são inversas mútuas: tome
$$
w=\ln _{k}z=\ln r+i\left( \theta +2k\pi \right) ,\ k=0,1,2,…
$$
Então, tomando a exponencial deste último termo temos
$$
e^{w}=e^{\ln _{k}z}=e^{\left[ \ln r+i\left( \theta +2k\pi \right) \right]
}=re^{i\left( \theta +2k\pi \right) }=re^{i\theta }=z.
$$
Por outro lado
$$
\ln _{k}\left( e^{w}\right) =\ln _{k}e^{\left[ \ln r+i\left( \theta +2k\pi\right) \right] }
=\ln _{k}\left( re^{i\theta }\right) =\left[ \ln r+i\left(\theta +2k\pi \right) \right] =w,
$$
como foi afirmado. Outras propriedades adicionais do logaritmo são:

i) \(\ln \left( z_{1}.z_{2}\right) =\ln \left( z_{1}\right) +\ln \left(z_{2}\right)\)
ii) Da propriedade anterior se conclui que \(\ln \left( z^{2}\right) =2\ln z\), ou, por indução, \(\ln \left( z^{n}\right) =n\ln z\).

 

Funções trigonométricas e Hiperbólicas

A partir da equação de Euler e seu conjugado complexo
$$
\begin{array}{l}
e^{iy}=\cos y+i\text{sen }y \\
e^{-iy}=\cos y-i\text{sen }y
\end{array}
$$
podemos verificar que as funções trigonométricas seno e cosseno podem ser escritas como
$$\begin{array}{l}
\cos y=\frac{1}{2}\left( e^{iy}+e^{-iy}\right), \\
\text{sen }y=\frac{1}{2i}\left( e^{iy}-e^{-iy}\right),
\end{array}
$$
definidas apenas para valores reais de \(y\). Podemos extender as funções para ter validade sobre todo o plano complexo fazendo
$$
\cos z=\frac{1}{2}\left( e^{iz}+e^{-iz}\right) ,
$$

(3)

$$
\text{sen }z=\frac{1}{2i}\left( e^{iz}-e^{-iz}\right).
$$
De forma análoga definimos
$$
\text{tag}z=\frac{\text{sen }z}{\cos z},\ \text{cotg}z=\frac{\cos z}{\text{sen }z},\ \sec z=\frac{1}{\cos z},\ \csc z=\frac{1}{\text{sen }z},
$$
respectivamente a tangente, cotangente, secante e cossecante. As derivadas das funções continuam formalmente iguais as derivadas no eixo real:
$$
\left( \text{sen }z\right) ^{\prime }=\cos z,\ \left( \cos z\right)^{\prime }=-\text{sen }z,
$$
como pode ser facilmente verificado derivando-se as expressões em (3). Da mesma forma se verifica que
$$
\begin{array}{l}
\text{sen }\left( -z\right) =-\text{sen }z,\ \ \cos \left( -z\right) =\cos z, \\
\text{sen }^{2}z+\cos ^{2}z=1, \\
\text{sen }\left( z_{1}+z_{2}\right) =\text{sen }z_{1}\cos z_{2}+\cos z_{1}\text{sen }z_{2}, \\
\cos \left( z_{1}+z_{2}\right) =\cos z_{1}\cos z_{2}-\text{sen }z_{1}\text{sen }z_{2}, \\
\text{sen }z=\cos \left( \frac{\pi }{2}-z\right) ;\ \ \cos z=\text{sen }\left( \frac{\pi }{2}-z\right).
\end{array}
$$

As funções hiperbólicas são extendidas para o plano complexo através das definições:
$$
\text{senh}z=\frac{1}{2}\left( e^{z}-e^{-z}\right) ,
$$
$$
\cosh z=\frac{1}{2}\left( e^{z}+e^{-z}\right).
$$
Com estas definições valem
$$
\left( \text{senh }z\right) ^{\prime }=\cosh z;\ \ \left( \cosh z\right) ^{\prime }=\text{senh}z.
$$

Exercícios :

1. Mostre que \(\ln \left( -1\right) =\left( 2k+1\right) \pi i\) e \(\ln \left(i\right) =\left( \frac{4k+1}{2}\right) \pi i,~k=0,\pm 1,\pm 2,…\).

2. Mostre que, se \(x\neq 0\),
$$
\ln \left( x+iy\right) =\frac{1}{2}\ln \left( x^{2}+y^{2}\right) +i\left(
\theta _{0}+2k\pi \right) ,
$$
onde \(\theta _{0}\) é uma das determinações de \(\text{arctg}\left( y/x\right)\).

3. Determine as raízes de

$$
\begin{array}{lll}
\text{(a)}\ e^{z}=-1, & & \text{(b)}\ e^{2z}=-e, \\
\text{(c)}\ e^{z}=-\sqrt{3}+3i, & & \text{(d)}\ \ln z=\pi i/2, \\
\text{(e)}\ e^{z}+6e^{-z}=5, & & \text{(f)}\ e^{3z-4}=-1.
\end{array}
$$

4. Mostre as seguintes relações:
$$
\begin{array}{lll}
\text{(a)}\ \left( \text{sen }z\right) ^{\prime }=\cos z, & \text{(b)}\
\left( \cos z\right) ^{\prime }=-\text{sen }z, & \text{(c)}\ \text{sen }^{2}z+\cos ^{2}z=1, \\
\text{(d)}\ \left( \text{senh}z\right) ^{\prime }=\cosh z, & \text{(e)}\ \left( \cosh z\right) ^{\prime }=\text{senh}z, & \text{(f)}\ \text{sen }\left( iz\right) =i\text{senh }z, \\
\text{(g)}\ \cos \left( iz\right) =\cosh z, & \text{(h)}\ \cosh ^{2}z-\text{senh}^{2}z=1, & \text{(i)}\ \text{senh}\left( z+i\pi \right) =-
\text{senh}z, \\
\text{(j)}\ \cosh \left( z+i\pi \right) =-\cosh z, & \text{(k)}\;\; \cos \left(x+iy\right) =\cos x\cosh y-i\text{sen }x\text{ senh }y.&
\end{array}
$$

1 – A Álgebra dos Complexos

Números complexos

A álgebra dos complexos

Para compreender a necessidade dos números complexos podemos considerar a solução de equações do tipo

(1)

$$
x^{2}+1=0.
$$

Para obter uma solução definimos \(\sqrt{-1}=i,\) a que damos o nome de unidade imaginária. Como consequência desta definição as raízes de (1) são \(i\) e \(-i\) pois
$$
i^{2}=\left( \sqrt{-1}\right) ^{2}=-1;\,\;\;\;\;\left( -i\right) ^{2}=-1.
$$
Um número complexo é um número na forma \(a+bi,\) possuindo, portanto, uma parte real \(a\) e uma parte imaginária \(b\). O conjunto dos complexos é
$$
\mathbb{C} =\left\{ x+iy;\;x,y\in \mathbb{R} \right\}.
$$
Um número complexo qualquer, \(z=x+iy,\) é composto de parte real e parte imaginária, respectivamente
$$
\begin{array}{ll}
\text{Re}\left( z\right) = & x, \\
\text{Im}\left( z\right) = & y.
\end{array}
$$

Dados dois complexos \(z_{1}=x_{1}+iy_{1}\;\) e \(\; z_{2}=x_{2}+iy_{2}\;\) as seguintes operações podem ser definidas:

Adição: \(z_{1}+z_{2}=\left( x_{1}+iy_{1}\right) +\left(x_{2}+iy_{2}\right) =\left( x_{1}+x_{2}\right) +i\left( y_{1}+y_{2}\right) \)Subtração: \(z_{1}-z_{2}=\left( x_{1}+iy_{1}\right) -\left(x_{2}+iy_{2}\right) =\left( x_{1}-x_{2}\right) +i\left( y_{1}-y_{2}\right) \)

Multiplicação: \(\ z_{1}\cdot z_{2}=\left( x_{1}+iy_{1}\right) \cdot\left( x_{2}+iy_{2}\right) =\left( x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}\right) +i\left(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right) \)

Divisão: para \(z_{2}\) \(\neq 0:\)
$$
\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}=\frac{x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}\frac{x_{2}-iy_{2}}{x_{2}-iy_{2}}=\frac{\left(
x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\right) +i\left( x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}\right) }{\left(
x_{2}\right) ^{2}+\left( y_{2}\right) ^{2}}.
$$

Observe que \(z_{1}=z_{2}\) se, e somente se, \(x_{1}=x_{2}\) e \(y_{1}=y_{2}\), de forma que uma equação complexa envolve, na verdade, duas equações reais.

Representação cartesiana e polar

Figura 1: Representaçãp cartesiana e polar

O conjunto dos complexos pode ser representado por meio do plano complexo, em sua forma cartesiana, mostrada na figura 1 (a) ou polar, figura (b).

As coordenadas cartesianas e polares se relacionam da seguinte forma:

(2)

$$
\left\{
\begin{array}{ll}
x= & r\cos \theta \\
y= & r\text{sen }\theta\end{array}\right. \Rightarrow \left\{
\begin{array}{ll}
r= & \sqrt{x^{2}+y^{2}}, \\
\theta = & \arctan \left( \frac{y}{x}\right).\end{array}\right.
$$
Podemos portanto escrever \(z=x+iy\) como
$$
z=r\left( \cos \theta +i\text{sen }\theta \right) ,
$$
onde as variáveis \(\left( r, \theta \right) \) e \(\left( x, y\right)\) se relacionam de acordo com as expressões em (2).

Definições: O valor absoluto de \(z=x+iy\) é denotado por
$$
\left\vert z\right\vert =\sqrt{x^{2}+y^{2}}=r,
$$
enquanto \(\theta \) é chamado de argumento de \(z,\; \theta =\text{Arg}\left( z\right).\) O conjugado complexo de \(z\) é denotado por \(\bar{z}\) e definido como
$$
\bar{z}=x-iy.
$$

Figura 2: Valor absoluto e complexo conjugado

Vemos na figura 2 que \(\left\vert z\right\vert \) é a distância do ponto até a origem enquanto \(\bar{z}\) é o complexo obtido de
\(z\) por reflexão no eixo real. Observe que, em termos destas definições temos:
$$
z\bar{z}=\left\vert z\right\vert ^{2},
$$
enquanto a divisão entre complexos pode ser escrita como
$$
\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{z_{1}\bar{z}_{2}}{z_{2}\bar{z}_{2}}=\frac{z_{1}\bar{z}_{2}}{\left\vert z_{2}\right\vert ^{2}}.
$$

Exercícios Resolvidos:

(1) Encontre as partes reais e imaginárias dos números complexos:
$$
z_{1}=\frac{1-i\sqrt{2}}{\sqrt{2}+i};\ \;\;\;\;\;\ z_{2}=\left( 1+i\right)^{8}.
$$
Racionalizamos o primeiro:
$$
z_{1}=\frac{1-i\sqrt{2}}{\sqrt{2}+i}\frac{\sqrt{2}-i}{\sqrt{2}-i}=\frac{\sqrt{2}-i-2i-\sqrt{2}}{3}=-i,
$$
e o segundo
$$
z_{2}=\left( 1+i\right) ^{8}=\left[ \left( 1+i\right) ^{2}\right]^{4}=\left( 2i\right) ^{4}=2^{4}=16.
$$
Portanto \(\text{Re}\left( z_{1}\right) =0,\;\text{Im}\left( z_{1}\right)=-1;\;\text{Re}\left( z_{2}\right) =16,\;\text{Im}\left( z_{2}\right) =0.\)

(2) Escreva na sua forma polar e calcule os conjugados complexos de:
$$
z_{3}=i,\;\;z_{4}=\frac{i}{1-i}.
$$
O argumento de \(z_{3}\;\) pode ser visto apenas pela posição do ponto no plano complexo, \(\theta =\pi /2,\,\) enquanto seu valor absoluto é \(\left\vert z_{3}\right\vert =\sqrt{1^{2}+0}=1.\) Então
$$
z_{3}=i=\cos \frac{\pi }{2}+i\;\text{sen }\frac{\pi }{2},
$$
$$
\bar{z}_{3}=\bar{\imath}=-i\;\;\text{ ou }\;\;\bar{z}_{3}=\cos \frac{\pi }{2}-i\;\text{sen }\frac{\pi }{2}.
$$
Quanto a \(z_{4}\;\) é melhor racionalizá-lo antes
$$
z_{4}=\frac{i}{1-i}\frac{1+i}{1+i}=\frac{-1+i}{2}.
$$
Portanto \(x=-\frac{1}{2}\) e \(y=\frac{1}{2}\) e
$$
r=\sqrt{\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}+\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},
$$
$$
\theta =\arctan \left( -1\right) =\frac{3\pi }{4}.
$$
Observe que \(\tan \left( 3\pi /4\right) =\tan \left( 7\pi /4\right) =-1.\) Sabemos no entanto que \(\theta =3\pi /4\) porque \(z_{4}\) está no segundo quadrante. Seu complexo conjugado é:
$$
z_{4}=\frac{-1-i}{2}
$$

Produto e quociente na forma polar

Algumas operações são mais simples se os números dados estão na forma cartesiana, como ocorre na adição. Outras poderão ser muito simplificadas se escrevermos os termos envolvidos em forma polar. Dados
$$
z_{1}=r_{1}\left( \cos \theta _{1}+i\text{sen }\theta _{1}\right) \;\;\text{ e }\;\;z_{2}=r_{2}\left( \cos \theta _{2}+i\text{sen }\theta_{2}\right)
$$
encontramos o produto:
$$
z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\left( \cos \theta _{1}+i\text{sen }\theta _{1}\right)\left( \cos \theta _{2}+i\text{sen }\theta _{2}\right) =
$$
$$
r_{1}r_{2} \left[ \cos \theta _{1}\cos \theta _{2}-\text{sen }\theta _{1}\text{sen }\theta _{2}+i\left( \cos \theta _{1}\text{sen }\theta _{2}+\text{sen }\theta _{1}\cos \theta _{2}\right) \right].
$$
Usando as identidades trigonométricas:
$$\begin{array}{l}
\cos A\cos B-\text{sen }A\text{sen }B=\cos \left( A+B\right), \\
\cos A\text{sen }B+\text{sen }A\cos B=\text{sen }\left( A+B\right),
\end{array}
$$
obtemos
$$
z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\left[ \cos \left( \theta _{1}+\theta _{2}\right) +i\text{sen }\left( \theta _{1}+\theta _{2}\right) \right] .
$$
Isto significa que, para multiplicar dois complexos, multiplicamos seus valores absolutos e somamos seus argumentos. Para efetuar a divisão observe antes que
$$
\frac{1}{\cos \theta _{1}+i\text{sen }\theta _{1}}=\frac{1}{\cos \theta _{1}+i\text{sen }\theta _{1}}\frac{\cos \theta _{1}-i\text{sen }\theta _{1}}{\cos\theta _{1}-i\text{sen }\theta _{1}}=\cos \theta _{1}-i\text{sen }\theta _{1},
$$
já que o denominador é \(\cos ^{2}\theta _{1}+\text{sen }^{2}\theta_{1}=1.\) Temos então que, se \(z_{2}\neq 0,\)
$$
\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}\left( \cos \theta _{1}+i\text{sen }\theta_{1}\right) }{r_{2}\left( \cos \theta _{2}+i\text{sen }\theta _{2}\right) }=\frac{r_{1}}{r_{2}}\left( \cos \theta _{1}+i\text{sen }\theta _{1}\right)\left( \cos \theta _{2}-i\text{sen }\theta _{2}\right) =
$$
$$
\frac{r_{1}}{r_{2}}\left[ \cos \left( \theta _{1}-\theta _{2}\right) +i\text{sen }\left( \theta _{1}-\theta _{2}\right) \right] .
$$

Fórmulas de de Moivre e de Euler

Considere \(n\) números complexos, expressos por
$$
z_{k}=r_{k}\left( \cos \theta _{k}+i\text{sen }\theta _{k}\right),\;\; k=1,..n.
$$
Para multiplicar todos estes números podemos operar dois a dois até incluir os \(n\) números, obtendo
$$
z_{1}z_{2}\ldots z_{n}=r_{1}r_{2}\ldots r_{n} \left[ \cos \left( \theta
_{1}+\theta _{2}+\ldots +\theta _{n}\right) +i\text{sen }\left( \theta
_{1}+\theta _{2}+\ldots +\theta _{n}\right) \right] .
$$
Se todos os \(n\) fatores são iguais temos
$$
z\;\; z\ldots z=z^{n}=r^{n}\left( \cos n\theta +i\text{sen }n\theta \right).
$$
Se \(\left\vert z\right\vert =1\) então \(r=1\) e obtemos a fórmula de de Moivre:
$$
\left( \cos \theta +i\text{sen }\theta \right)^{n}=\left( \cos n\theta +i\text{sen }n\theta \right).
$$
Observe que a fórmula acima vale também para expoentes negativos, pois
$$
\left( \cos \theta +i\text{sen }\theta \right) ^{-n}=\frac{1}{\cos n\theta +i\text{sen }n\theta }=\cos n\theta -i\text{sen }n\theta .
$$
Usando o fato de que o cosseno é par e o seno é ímpar, ou seja,

(3)

$$
\cos \left( -\theta \right) =\cos \theta;\;\;\text{sen }\left( -\theta\right) =-\text{sen }\theta,
$$
podemos escrever
$$
\left( \cos \theta +i\text{sen }\theta \right) ^{-n}=\cos \left( -n\theta\right) +i\text{sen }\left( -n\theta \right).
$$

Outra expressão importante foi obtida por Euler da seguinte forma: partimos das expansões em séries de potências para as funções exponencial, seno e cosseno, respectivamente
$$
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots +\frac{x^{n}}{n!}+\cdots ,
$$
$$
\text{sen }x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots
$$
$$
\cos x=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots.
$$
Fazendo \(x=i\theta \) no argumento da exponencial obtemos
$$
e^{i\theta }=1+i\theta +\frac{\left( i\theta \right) ^{2}}{2!}+\frac{\left(i\theta \right) ^{3}}{3!}+\cdots +\frac{\left( i\theta \right) ^{n}}{n!}+\cdots =
$$
$$
=1+i\theta -\frac{\theta ^{2}}{2!}-\frac{i\theta ^{3}}{3!}+\frac{\theta ^{4}}{4!}+\frac{i\theta ^{5}}{5!}-\cdots.
$$
Agrupando os termos reais e imaginários temos
$$
e^{i\theta }=1-\frac{\theta ^{2}}{2!}+\frac{\theta ^{4}}{4!}-\cdots +i\left(
\theta -\frac{\theta ^{3}}{3!}+\frac{\theta ^{5}}{5!}-\cdots \right).
$$
Podemos agora identificar a parte real com o cosseno e a parte imaginária com o seno e, portanto,
$$
e^{i\theta }=\cos \theta +i\text{sen }\theta.
$$
Ela nos permite escrever números complexos em uma forma alternativa, muito útil para a realização de diversas operações,
$$
z=x+iy=r\left( \cos \theta +i\text{sen }\theta \right) =re^{i\theta }.
$$
Observe que, nesta representação, o complexo conjugado é
$$
\bar{z}=r\left( \cos \theta -i\text{sen }\theta \right) =re^{-i\theta },
$$
onde usamos a paridade das funções trigonométricas, descrita nas equações (3).

A multiplicação e divisão dos complexos se torna bem mais simples se eles estão escritos em sua forma exponencial. Se \(z_{1}=r_{1}e^{i\theta _{1}}\) e \(z_{2}=r_{2}e^{i\theta _{2}}\) então
$$
z_{1}z_{2}=\left( r_{1}e^{i\theta _{1}}\right) \left( r_{2}e^{i\theta
_{2}}\right) =r_{1}r_{2}e^{i\left( \theta _{1}+\theta _{2}\right) },
$$
$$
\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}e^{i\theta _{1}}}{r_{2}e^{i\theta _{2}}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}e^{i\left( \theta _{1}-\theta _{2}\right) }.
$$
Igualmente
$$
z^{n}=\left( re^{i\theta }\right) ^{n}=r^{n}e^{in\theta },
$$
$$
z^{-n}=\frac{1}{r^{n}}e^{-in\theta }.
$$

Extração de raízes

Dados dois números complexos, \(z,\,p\in \mathbb{C}\) dizemos que \(z\) é a raíz enésima de \(p,\) \(z=\sqrt[n\,]{p},\) se \(z^{n}=p.\) Tomando \(p=r\left( \cos \theta +i\text{sen }\theta \right) \) então

(4)

$$
z=\sqrt[n\,]{p}=\sqrt[n\,]{r}\left[ \cos \left( \frac{\theta +2k\pi }{n}\right) +i\text{sen }\left( \frac{\theta +2k\pi }{n}\right) \right] ,
$$
\(k=0,1,\cdots ,n-1.\) Isto está correto porque
$$
z^{n}=r\left[ \cos \left( \theta +2k\pi \right) +i\text{sen }\left( \theta
+2k\pi \right) \right] =r\left[ \cos \theta +i\text{sen }\theta \right] =p,
$$
uma vez que o seno e o cosseno são funções periódicas de período \(2\pi .\) Temos portanto \(n\) raízes distintas,

(5)

$$
z_{k}=\sqrt[n\,]{r}\left[ \cos \left( \frac{\theta +2k\pi }{n}\right) +i\text{sen }\left( \frac{\theta +2k\pi }{n}\right) \right].
$$
Observe que se fizermos \(k=n\) então
$$
z_{n}=\sqrt[n\,]{r}\left[ \cos \left( \frac{\theta }{n}+2\pi \right) +i\text{sen }\left( \frac{\theta }{n}+2\pi \right) \right] =z_{0},
$$
ou seja, retornamos à raiz correspondente à \(k=0.\) Existem portanto \(n\) raízes \(n\)-ésimas distintas de um número complexo qualquer \(p\neq 0.\)

Exercício Resolvido: Calcule as raízes n-ésimas de 1.

Primeiro representamos \(1\) em sua forma polar, correspondendo à \(r=1,\,\theta =0.\) Logo \(1=\cos 0+i\text{sen }0.\) Agora podemos extrair as raizes
$$
w_{k}=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\text{sen }\frac{2k\pi }{n}.
$$
Observe que, se denotarmos
$$
w=\cos \frac{2\pi }{n}+i\text{sen }\frac{2\pi }{n},
$$
podemos representar as demais raízes por meio da fórmula de de Moivre,
$$
w^{k}=\cos \left( \frac{2k\pi }{n}\right) +i\text{sen }\left( \frac{2k\pi
}{n}\right).
$$
Estas são as chamadas raízes da unidade, \(w=\sqrt[n\,]{1},\) dadas por:
$$
1,w,w^{2},\ldots ,w^{n-1}.
$$

Exercício Resolvido: Vamos encontrar as raízes quartas de da unidade, \(\sqrt[4\,]{1}\), um caso particular do exercício anterior. Estas raízes são \(1,\;w,\;w^{2},\;w^{3}\) onde
$$
w=\cos \frac{\pi }{2}+i\text{sen }\frac{\pi }{2}=i.
$$
As demais raízes são
$$
w^{2}=i^{2}=-1,\;\;\;\;\;\text{ e }\;\;\;\;w^{3}=i^{3}=-i.
$$
As raízes são, portanto: \(1,\) \(i\), \(-1,\;-i.\)

Observe que a fórmula (4) para as raízes de um número qualquer pode ser escrita como
$$
z_{k}=\sqrt[n\,]{r}\left( \cos \frac{\theta }{n}+i\text{sen }\frac{\theta
}{n}\right) \left( \cos \frac{2k\pi }{n}+i\text{sen }\frac{2k\pi }{n}\right) =\sqrt[n\,]{r}\left( \cos \frac{\theta }{n}+i\text{sen }\frac{\theta }{n}\right) w^{k}.
$$
As raízes de um número \(z\) qualquer são dadas pelo produto de uma de suas raízes com as raízes \(n-\) ésimas da unidade.

Exercício Resolvido: Calcule as raízes \(\sqrt[3\,]{27}.\)

Uma das raízes é \(3.\) As raízes cúbicas da unidade são \(1,\;w,\;\; w^{3},\) onde
$$
w=\cos \frac{2\pi }{3}+i\text{sen }\frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}.
$$

As raízes são, portanto, \(z_{0}=3,\)
$$
z_{1}=3\left( \cos \frac{2\pi }{3}+i\text{sen }\frac{2\pi }{3}\right) =-\frac{3}{2}+i\frac{3\sqrt{3}}{2},
$$
$$
z_{2}=3\left( \cos \frac{4\pi }{3}+i\text{sen }\frac{4\pi }{3}\right) =-\frac{3}{2}-i\frac{3\sqrt{3}}{2}.
$$
As três raízes estão sobre um círculo de raio \(3\) e são representadas graficamente na figura.

 

Exercício Resolvido: Calcule as raízes cúbicas de \(-1\) e as represente graficamente no plano complexo. Começamos por escrever em forma polar:
$$
\sqrt[3]{-1}=\sqrt[3]{\cos \pi +i\text{sen }\pi }.
$$
Sabemos que temos três raíz:
$$
z_{k}=\cos \frac{\pi +2k\pi }{3}+i\text{sen }\frac{\pi +2k\pi }{3},\;\;k=0,1,2.
$$
Portanto
$$
z_{0}=\cos \frac{\pi }{3}+i\text{sen }\frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\left( 1+i\sqrt{3}\right) ,
$$
$$
z_{1}=\cos \pi +i\text{sen }\pi =-1,
$$
$$
z_{2}=\cos \frac{5\pi }{3}+i\text{sen }\frac{5\pi }{3}=\frac{1}{2}\left(
1-i\sqrt{3}\right).
$$
Note que, se fizermos \(k=3\) obteremos novamente a raiz \(z_{0}.\)

Exercício Resolvido: Calcule as raízes \(\sqrt{-i}\). Observe que
$$
\sqrt{-i}=\sqrt{\cos 3\pi /2+i\text{sen }3\pi /2}.
$$
As duas raízes são, portanto:
$$
z_{k}=\cos \left( \frac{3\pi }{4}+k\pi \right) +i\text{sen }\left( \frac{3\pi }{4}+k\pi \right) ,\;\;k=0,1,
$$
ou seja
$$
z_{0}=\cos \frac{3\pi }{4}+i\text{sen }\frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left( -1+i\right) ,
$$
$$
z_{1}=\cos \frac{7\pi }{4}+i\text{sen }\frac{7\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left( 1-i\right) ,
$$
Representamos graficamente as raízes obtidas nos dois exercícios na figura.

Exercício Resolvido: Decomponha o polinômio \(P\left( z\right)=z^{3}+1\) em um produto de fatores do \(1\)º grau. As raízes de \(P\left( z\right) \) já foram encontradas no problema 2(a). Usando o teorema fundamental da álgebra temos
$$
P\left( z\right) =\left( z-z_{0}\right) \left( z-z_{1}\right) \left(z-z_{2}\right)
$$
ou seja
$$
P\left( z\right) =\left( z+1\right) \left( z-\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt{3}}{2}\right) \left( z-\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2}\right).
$$

Subconjuntos de \(\mathbb{C}\)

Algumas definições são necessárias para a continuidade de nosso estudo e a solução dos próximos exercícios. Façamos uma lista destas definições:

  1. Um disco aberto é a região
    $$
    D_r \left( z_0 \right) =\left\{ z;\;\left\vert z-z_{0}\right\vert \lt r \right\},
    $$
    representada graficamente na figura seguinte.
  2. Uma vizinhança de \(z_{0},\) que denotaremos por \(V_{r}\left( z_{0}\right) \) é qualquer subconjunto de \(\mathbb{C}\) que contenha \(D_{r}\left( z_{0}\right).\)
  3. Dado um conjunto de \(C\subset \mathbb{C}\) chamaremos de seu complementar o conjunto \(C^{\prime }= \mathbb{C} – C,\) o conjunto dos pontos do plano complexo que não estão em \(C.\)
  4. Um ponto \(z_{0}\) qualquer é dito um ponto interior de \(C\) se existe um disco aberto centrado em \(z_{0}\) inteiramente contido em \(C.\)
  5. Um conjunto é aberto se todos os seus pontos são pontos interiores. Um conjunto é fechado se seu complementar é aberto.
  6. A fronteira de \(C\) é o conjunto de pontos \(z\) tais que qualquer vizinhança de \(z\) contém pontos de \(C\) e de seu complementar.
  7. Nenhum ponto interior de um conjunto é um ponto de fronteira.
  8. \(C\) é aberto \(\Leftrightarrow C\) não contém pontos de sua fronteira.
  9. \(C\) é fechado \(\Leftrightarrow C\) contém todos os pontos de sua fronteira.
  10. \(z_{0}\) é um ponto de acumulação de \(C\) se qualquer vizinhança de \(z_{0}\) contém infinitos ponto de \(C.\) Portanto, pontos do interior e pontos da fronteira, pertencendo ou não a \(C,\) são pontos de acumulação.
  11. Um ponto isolado de \(C\) é um ponto de \(C\) que não é ponto de acumulação.
  12. Um aberto \(C\) é conexo se dois quaisquer de seus pontos podem ser unidos por um arco inteiramente contido em \(C.\)
  13. Uma região é um conjunto aberto e conexo.
  14. \(C\) é limitado se existe um número \(k\) positivo tal que \(\left\vert z\right\vert \leq k,\) \(\forall z\in C.\) Um conjunto limitado e fechado é dito compacto.
  15. No conjunto
    $$
    V_{k}=\left\{ z\in C\ ;\ \left\vert z\right\vert >k\right\}
    $$
    incorporamos o infinito (um único ponto!) para formar o chamado plano complexo extendido.

Exemplo: No conjunto infinito
$$
C=\left\{ 0,\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{4},\ldots ,\frac{n}{n+1},\ldots \right\}
$$
\(1\) é o único ponto de acumulação, sendo todos os outros pontos isolados. Note que este único ponto de acumulção não está contido em \(C.\)

Exemplo: Vamos discutir com mais detalhes o conjunto
$$
D_r \left( z_0\right) =\left\{ z;\;\left\vert z-z_{0}\right\vert \lt r \right\}.
$$
Se denotarmos \(z=x+iy\;\) e \(\;z_{0}=x_{0}+iy_{0}\) então
$$\left\vert z-z_{0}\right\vert =\sqrt{\left( x-x_{0}\right) ^{2}+\left( y-y_{0}\right)^{2}}.$$
Portanto os pontos de \(D_r\left(z_0\right)\) satisfazem a relação
$$ \left( x-x_0\right)^{2}+\left(y-y_0\right)^{2} \lt r^{2},$$
ou seja, são os pontos interiores ao círculo de raio \(r\) e centro em \(z_0\).

Exemplo: \(\left\vert z-3i\right\vert \lt 5\) é o disco aberto interior ao círculo de raio 5 e centro em \(3i\), como na figura (a). O conjunto \(z=z_0+re^{i\theta }, 0 \leq \theta \leq 2\pi\) é a circunferência de centro em \(z_{0}\) e raio \(r\).

Exemplo: Qual é o conjunto \(\text{Re}\left(z^{2}\right) \lt 0\)? Observamos primeiro que
$$
\text{Re}\left( z^{2}\right) =\text{Re}\left( r^{2}e^{2i\theta }\right) =r^{2}\cos 2\theta .
$$
O cosseno \(\cos 2\theta\) é negativo em duas situações: \(\pi /2 \lt 2\theta \,\lt 3\pi /2 \;\;\text{ou}\;\; -3\pi /2\lt 2\theta \, \lt -\pi /2.\) O conjunto procurado é a parte do plano complexo dado por
$$
\frac{\pi }{4}<\theta \,\lt \frac{3\pi }{4}\;\; \text{ ou }\;\;\frac{-3\pi }{4}\lt \theta \,\lt \frac{-\pi }{4},
$$
as retas bissetrizes excluídas, como representado na figura.

Exercícios

1. Dados \(z_1 =\left( 3+5i\right)\;\;\text{ e } \;\; z_{2}=\left( -2+i\right)\) calcule \(z_{1}+z_{2},\;\; z_{1}-z_{2},\; z_{1}.z_{2},\; z_{1}/z_{2}.\) Represente graficamente cada um dos números complexos envolvidos.

2. Calcule:
$$
\begin{array}{llll}
\text{(a)}\frac{1}{2+3i}\ \ \ \ \ & \text{(b)}\frac{1+i}{1-i} & \text{(c)} \frac{1-i}{1+i} & \text{(d)} \frac{4-3i}{i-1} \\
\text{(e)}\frac{1}{\left( 1+i\right) ^{2}} & \text{(f)}\ \left( \frac{1+i}{1-i}\right)^{30} & \text{(g)}\ \left( 1-i\right)
\left(\sqrt{3}+i\right). &
\end{array}
$$

3. Mostre que
a.
$$
\sum\limits_{n=0}^{N}i^{n}=\left\{
\begin{array}{ll}
1, & \;\;\text{ se }\;\;r=0, \\
1+i, & \;\;\text{ se }\;\;r=1, \\
i, & \;\;\text{ se }\;\;r=2, \\
0, & \;\;\text{ se }\;\;r=3,
\end{array}\right.
$$
onde \(r\) é o resto da divisão de \(N\) por 4 seja, \(N\equiv r\text{ mod }4.\)

b. \(\left( x+iy\right) ^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy\)

c. \(\left( x-iy\right) ^{2}=x^{2}-y^{2}-2ixy\)

d. \(\left( x+iy\right) ^{2}\left( x-iy\right) ^{2}=\left(x^{2}+y^{2}\right) ^{2}\)

e. \(\left( x+iy\right) ^{n}\left( x-iy\right) ^{n}=\left(x^{2}+y^{2}\right) ^{n}\)

4. Mostre que

a. \(\text{Re}\left[ -i\left( 2-3i\right) ^{2}\right] =-12\)

b. \(\frac{1-i\sqrt{2}}{\sqrt{2}+i}=-i\)

c. \(\text{Im}\left[ \frac{\left( 1-i\sqrt{3}\right) ^{2}}{i-2}\right] =\frac{2}{5}\left( 1+2\sqrt{3}\right) \)

d. \(\frac{1+i\tan \theta }{1-i\tan \theta }=\cos 2\theta +i\text{sen }2\theta \)

5. Escreva na forma polar e represente graficamente:

$$
\begin{array}{llll}
\text{(a) }-2+2i & \text{(b) }1+i\sqrt{3} & \text{(c)} -\sqrt{3}+i & \text{(d)} \left( \frac{i}{1+i}\right) ^{5} \\
\text{(e) }\frac{1}{-1-i\sqrt{3}} & \text{(f)} -1-i & \text{(g)} \frac{-3+3i}{1+i\sqrt{3}}.&
\end{array}
$$

6. Mostre que \(\cos 3\theta =\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \text{sen }^{2}\theta \;\; \text{ e } \text{sen }3\theta =-\text{sen }^{3}\theta +3\cos^{2}\theta \text{sen }\theta.\)
Sugestão: calcule as partes real e imaginária de \(\left( \cos\theta +i\text{sen }\theta \right)^{3}.\)

7. Mostre que: a. \(\left\vert \frac{2+i}{2-i\sqrt{3}}\right\vert =\frac{5}{7}\;\;\;\) b. \(\left\vert \frac{\left( \sqrt{3}+i\right)\left( 1-3i\right) }{\sqrt{5}}\right\vert =2\sqrt{2}.\)

8. Encontre as seguintes raízes e represente-as graficamente:
$$
\begin{array}{llll}
\text{(a) } \sqrt[3]{-1} \;\;\;\; & \text{(b) }\sqrt{2i} & \text{(c) } \sqrt{-2i} & \text{(d) } \sqrt[3]{i} \\
\text{(e) } \sqrt[3]{-i} & \text{(f) } \left( -1+i\sqrt{3}\right) ^{1/4}.& &
\end{array}
$$

9. Decomponha os polinômios em fatores do \(2\)º grau com coeficientes reais:

a. \(P\left( x\right) =x^{4}+1\;\;\;\;\) b. \(P\left( x\right) =x^{4}+9\)

10. Decomponha os polinômios em um produto de fatores do primeiro grau:

a. \(P(z)=z^{6}-64 \)
b. \(P(z)=z^{6}+64\)
c. \(P(z)=z^{4}-\left( 1-i\right) z^{2}-i.\)

11. Mostre que, se \(w\) é uma raíz \(n\)-ésima qualquer da unidade diferente de 1 (\(w=\sqrt{1},\) \(w\neq 1\) ) então
a. \(1+w+w^{2}+\ldots + w^{n-1}=0.\)
b. \(1+2w+3w^{2}+\ldots + nw^{n-1}=\frac{n}{w-1}.\)

12. Escreva na forma exponencial, \(z=re^{i\theta }\):
a. \(1+i,\;\;\;\) b. \(1-i,\;\;\;\) c. \(-1+i,\;\;\;\) d. \(-1-i\).

13. Mostre que:
$$
\begin{array}{ll}
\text{(a)} \exp \left( 3+7\pi i\right) =-e^{3} & \text{(b)} \exp \left( \frac{3-2\pi i}{6}\right) =\frac{\sqrt{e}\left( 1-i\sqrt{3}\right) }{2} \\
\text{(c)} \cos \theta =\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2} & \text{(d)}\ \text{sen }\theta =\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}
\end{array}
$$
14. Represente graficamente os conjuntos no plano complexo:
$$
\begin{array}{llll}
\text{(a) }\text{Re}\left( z\right) <-3 & \text{(b) }\left\vert z-2i\right\vert >2 & \text{(c) }\left\vert z+1\right\vert \leq 2 & \text{(d) }\left\vert z-1+i\right\vert \lt 3 \\
\text{(e) }\text{Im}\left( z^{2}\right) \lt 0 & \text{(f) }\left\vert
z-2\right\vert =\left\vert z-3i\right\vert & \text{(g) }\left\vert
z\right\vert \gt 2, \left\vert \arg \left( z\right) \right\vert <\pi
& \text{(h) }\text{Re}\left( 1-z\right) =\left\vert z\right\vert.
\end{array}
$$

Algumas Soluções

3a. Queremos mostrar que
$$
\sum\limits_{n=0}^{N}i^{n}=\left\{
\begin{array}{ll}
1, & \text{ se }\;\;r=0, \\
1+i, & \;\;\text{ se }\;\;r=1, \\
i, & \;\;\text{ se }\;\;r=2, \\
0, & \;\;\text{ se }\;\;r=3,
\end{array}
\right.
$$
onde \(r\) é o resto da divisão de \(N\) por 4 seja, \(N\equiv r\text{ mod }4\). Denotando \(N=4p+r\) observamos que

$$ i^{N}=i^{4p+r}=i^{4p}\ i^{r}=i^{r} $$
pois \(i^{4p}= (i^4)^p=1\). Este resultado é válido inclusive se \(N \lt 4\) quando \(p=0\). Vamos escrever a soma procurada como

$$ S_{N}=\sum\limits_{n=0}^{N}i^{n}=1+i+i^{2}+\ldots +i^{N} $$
e, portanto,
$$ iS_{N}=\sum\limits_{n=0}^{N}i^{n+1}=i+i^{2}+i^{3}+\ldots +i^{N+1}. $$
Subtraindo
$$ S_{N}-iS_{N}=S_{N}\left( 1-i\right) =1-i^{N+1} $$
temos uma expressão adicional para a soma procurada, ou seja
$$ S_{N}=\frac{1-i^{N+1}}{1-i}=\frac{1-i^{r+1}}{1-i}=S_{r} $$
onde a última igualdade é devida à expressão (4). Isto significa que somar os \(N\) termos equivale a somar os \(r\) primeiros termos:
$$
\begin{array}{l}
S_{0}=\sum\limits_{n=0}^{0}i^{n}=1, \\
S_{1}=\sum\limits_{n=0}^{1}i^{n}=1+i, \\
S_{2}=\sum\limits_{n=0}^{2}i^{n}=1+i+i^{2}=i, \\
S_{3}=\sum\limits_{n=0}^{3}i^{n}=1+i+i^{2}+i^{3}=0.
\end{array}
$$

Veremos que um procedimento semelhante facilitará a solução das questões 11a e 11b.

3e. \(\left(x+iy\right)^{n}\left(x-iy\right)^{n}=z^{n}\bar{z}^{n}=\left(z\bar{z}\right)^{n}=\left(\left\vert z\right\vert ^{2}\right)^{n}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{n}.\)

9a. Para decompor o polinômio \(P\left( x\right) =x^{4}+1\) em fatores do \(2\)º grau com coeficientes reais usaremos o produto notável \(\left( a+b\right) \left( a-b\right) =a^{2}-b^{2}.\) Escrevemos \(1=-i^{2}\) e assim
$$ P\left( x\right) =x^{4}-i^{2}=\left( x^{2}+i\right) \left( x^{2}-i\right). $$
Os dois fatores, no entanto, contém coeficientes complexos. Para obter a decomposição com coeficientes reais podemos usar a raíz de \(i\):
$$i=w^{2}\Rightarrow w=\frac{1+i}{\sqrt{2}}.$$
Tomando o conjugado complexo de \(i=w^{2}\) obtemos \(-i=\bar{w}^{2}\) e reescrevemos o polinômio
$$
P\left( x\right) =\left( x^{2}-\bar{w}^{2}\right) \left( x^{2}-w^{2}\right)=\left( x+\bar{w}\right) \left( x-\bar{w}\right) \left( x+w\right) \left(x-w\right).
$$
Reagrupando os termos de forma conveniente temos
$$
\begin{array}{rl}
P\left(x\right) = & \left[ \left( x+w\right) \left( x+\bar{w}\right) \right] \left[ \left( x-w\right) \left( x-\bar{w}\right) \right] = \\
= & \left( x^{2}+\bar{w}x+wx+w\bar{w}\right) \left( x^{2}-wx-\bar{w}x+w\bar{w}\right).
\end{array}
$$
Usamos agora as seguintes propriedades
$$w+\bar{w}=2\text{Re}\,w=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$$
$$w\bar{w}=\left\vert w\right\vert ^{2}=\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}+\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right) ^{2}=1,$$
podemos completar o exercício:
$$P\left( x\right) =\left( x^{2}+\sqrt{2}x+1\right) \left( x^{2}-\sqrt{2}x+1\right).$$

11. Sendo \(w\) uma raíz \(n\)-ésima qualquer da unidade diferente de 1 (\(w=\sqrt{1},\;\;w\neq 1\)) então:

(a) \(1+w+w^{2}+\ldots +w^{n-1}=0.\) Escrevemos
$$ L=1+w+w^{2}+\ldots +w^{n-2}+w^{n-1} $$
$$ wL=w+w^{2}+\ldots +w^{n}=w+w^{2}+\ldots +w^{n-1}+1, $$
onde usamos \(w^{n}=1\). Observemos acima que \(wL=L\) donde
$$ wL-L = L\left(w-1\right) =0. $$
Como \(w\neq 1\) concluímos que \(L=0.\)

(b) \(1+2w+3w^{2}+\ldots + nw^{n-1}=\frac{n}{w-1}.\) Definimos
$$ S=1+2w+3w^{2}+\ldots +nw^{n-1}, $$
portanto
$$ wS=w+2w^{2}+3w^{3}+\ldots +nw^{n}=w+2w^{2}+3w^{3}+\ldots +n. $$
Dai
$$ S \left( 1-w\right) =1+w+w^{2}+\ldots + w^{n-1}-n. $$
Usando o resultado do ítem anterior \(1+w+w^{2}+\ldots + w^{n-1}=0\) e
$$ S=\frac{n}{w-1}.$$

(13a) \(\exp \left( 3+7\pi i\right) =e^{3}e^{7\pi i}=-e^{3}.\) Observe que \(e^{7\pi i}=e^{6\pi i}e^{\pi i}=\) \(-1.\)

(14h) Buscamos conjunto no plano complexo satisfazendo \(\text{Re}\left(1-z\right) =\left\vert z\right\vert .\) Escrevendo em forma cartesiana
$$ z=x+iy, z-1=x-1+iy. $$
Sua parte real é
$$ \text{Re}\left(1-z\right) =x-1 \;\; \text{ e } \text{Re}\left(1-z\right) =\left\vert z\right\vert \Rightarrow x-1=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. $$
Elevando os dois lados ao quadrado temos
$$ x^{2}+y^{2}=\left( x-1\right) ^{2}=1-2x+x^{2} $$
que é a parábola
$$ x=\frac{1}{2}\left( 1-y^{2}\right). $$

Variáveis Complexas

Variáveis Complexas

Nestas notas apresentamos o estudo das variáveis complexas e algumas aplicações, incluindo alguns exercícios resolvidos e exercícios propostos. O resumo não é completo mas procura esclarecer apenas os aspectos da mais importantes da teoria. A leitura dos exercícios resolvidos e a solução dos exercícios propostos é essencial para a plena compreensão do assunto.

Números complexos, variáveis complexas e funções destas variáveis formam um parte da matemática extremamente importante devido à grande quantidade de suas aplicações e porque lançam um entendimento fundamental sobre a base da matemática e sobre o cálculo.

História das Variáveis Complexas

As equações do segundo grau apareceram na Matemática aproximadamente 1700 anos antes de Cristo e se encontram registradas nas tabuletas de argila da Suméria. Em alguns casos elas levavam a raízes de números negativos que, em geral, eram descartadas. O primeiro exemplo de raiz de número negativo foi encontrado em um texto atribuído a Heron de Alexandria, aproximadamente 75 d.C., em um cálculo sobre o desenho de uma pirâmide onde surge a necessidade de se calcular a raiz \(\sqrt{84-100}\). Heron, no entanto, simplesmente substituiu este número por \(\sqrt{100-84}\).

Em torno do ano de 275 d.C. Diofanto de Alexandria, resolvendo um problema geométrico, chegou à equação do segundo grau
$$
24x^2-172x+366=0
$$
cujas raízes são \(x=(\pm 43\sqrt{-167})/12\). Diofanto, no entanto, prosseguiu sem dar maiores explicações sobre o significado da raiz de um número negativo. Por volta de 850 d.C. o matemático indiano Mahavira afirmou que … como na natureza das coisas um negativo não é um quadrado ele não tem, portanto, raiz quadrada. Deve-se a Bhaskara, que viveu aproximadamente de 1114 até 1185, a afirmação: O quadrado de um afirmativo é um afirmativo; e a raiz quadrada de um afirmativo é dupla: positiva e negativa. Não há raiz quadrada de um negativo pois ele não é um quadrado.

Um grande impulso para a descoberta e aprimoramento dos números complexos se deu no início do século XVI quando os algebristas italianos reconheceram a necessidade da adoção de raízes imaginárias, na época também chamadas de raízes impossíveis, para a solução de equações do terceiro grau dos seguintes tipos:
$$
x^{3}+ax=b,\;\; x^{3}=ax+b \;\;\text{ e }\;\; x^{3}+b=ax.
$$
Também as equações do segundo grau apresentavam desafios. Luca Paccioli (1445 – 1514) observou em uma publicação datada de 1494 que a equação \(x^2+c=bx\) é solúvel se \(b^2 \geq 4c\) enquanto o francês Nicola Chuquet (1445 – 1500) fez observações semelhantes sobre soluções impossíveis em uma publicação de 1484.

Em 1545 Gerônimo Cardano publicou uma fórmula para resolver equações do terceiro grau que ficou conhecida como Fórmula de Cardano embora se saiba que foi Tartaglia quem sugeriu a ele a solução para estas equações. Em seu livro Ars Magna Cardano apresentou o que se considera ser a primeira publicação do conceito de número complexo. Cardano fez a seguinte pergunta: Se alguém pede que você divida 10 em duas partes, que multiplicadas resultariam em 30 ou 40, é evidente que este problema não tem solução. Em seguida ele faz um comentário surpreendente: No entanto, resolveremos isto da seguinte maneira, … e prossegue encontrando as raízes \(5+\sqrt{-15}\) e \(5-\sqrt{-15}\) cuja soma é \(10.\) Neste ponto ele afirmou que, … colocando de lado a tortura mental envolvida, multiplicando as duas raízes temos 25 — (–15). Portanto o produto é 40. Apesar das descobertas de Cardano mais de dois séculos se passaram até que os números complexos fossem aceitos como entidades matemáticas legítimas. Durante este intervalo muitos autores se recusaram a usar tais estranhas entidades.

Em 1572 Raphael Bombelli publicou um livro sobre o mesmo tema onde estudava as raízes da equação \(x^{3}=15x+4,\) usando a fórmula de Cardano. Ele mostrou que esta equação, além de possuir uma raiz real \(x=4,\) também admite uma raiz na forma de
$$
x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}
$$
que ele, assim como fez Cardano, chamou de um sofisma. Acredita-se que esta foi a primeira vez em que surgiu uma equação que admitia como solução um termo envolvendo raízes de números negativos, embora existisse também uma solução real. Motivado por este fato Bombelli procurou compreender melhor o que estava se passando, embora enfrentando grandes dificuldades, em particular devido a não possuir uma notação adequada. A partir do trabalho de Bombelli os números complexos passaram a ser usados como instrumentos auxiliares de cálculo, mesmo que se duvidasse de sua existência.

A primeira tentativa para atribuir um significado concreto aos números complexos por meio de uma interpretação geométrica é devida a John Wallis (1616 – 1703) em um trabalho onde se fazia analogias entre quantidades imaginárias e quantidades negativas, em seu livro De Algebra Tractatus.

Em 1702 Jean Bernoulli afirmou que um número e seu oposto (\(a\) e \(-a\) ) tem o mesmo logaritmo. Esse fato intrigou os matemáticos do início do século XVIII que não sabiam como atribuir um valor ao logaritmo de um número negativo. Coube a Euler explicar a questão em 1747, em uma carta dirigida a d’Alembert. Foi Euler quem empregou pela primeira vez a notação \(i=\) \(\sqrt{-1},\) embora o símbolo \(\sqrt{-1}\) já tivesse sido usado Albert Girard em 1629.

No século XVII Descartes percebeu a distinção entre raízes reais e imaginárias embora os principais progressos no estabelecimento da disciplina só foram obtidos no século XVIII, através dos trabalhos de Abraham de Moivre e Euler. Em 1707 de Moivre publicou a solução da equação de grau ímpar por um método análogo ao de Cardano. De Moivre publicou a fórmula que leva seu nome,
$$
(\cos \theta +i\text{sen }\theta )^{n}=\cos (n\theta )+i\text{sen }(n\theta ),
$$
em 1722, inicialmente apenas para alguns valores particulares do argumento \(\theta\). Em 1748 Euler mostrou que a fórmula está correta para qualquer valor do argumento, permitindo com isto o cálculo de raízes de números complexos. Neste período começou a se consolidar a representação geométrica para os complexos, o que facilitou muito a sua aceitação por parte dos matemáticos da época e fez com que muitos deles se dedicassem a este tema e contribuíssem para este campo da matemática.

No século XVIII Kuhn e Caspar Wessel apresentaram novos progressos na direção da teoria atualmente conhecida. Os escritos de Wessel foram publicados nos Anais da Academia de Copenhagen de 1799, sendo um texto extremamente claro e completo, mesmo em comparação com as obras modernas. Ele também considerou a esfera e apresentou uma teoria dos quatérnions a partir da qual desenvolveu um tratamento completo da trigonometria esférica. Em seu texto Wessel apresentou a representação geométrica para os complexos que usamos até os dias de hoje. Seu objetivo, além de justificar os complexos, era o de representar direções de forma analítica. Apesar de ter sido bem sucedido na representação geométrica dos complexos, de definir as operações de soma, subtração, multiplicação e divisão deste números, o artigo estava escrita em dinamarquês e não teve ampla divulgação nem se tornou conhecido dos matemáticos da época.

Em 1804 o abade Buée apresentou independentemente o mesmo conceito sugerido por Wallis, de que \(\sqrt{-1}\) deveria ser representado em uma reta perpendicular ao eixo real. O artigo de Buée só foi publicado em 1806, no mesmo ano em Argand produziu um panfleto sobre o mesmo assunto. O trabalho de Argand foi reconhecido como o introdutor da representação geométrica e deu origem ao termo hoje usado, plano de Argand, para representar o plano complexo.

Euler foi o primeiro a usar, em 1777, o símbolo \(i\) como a unidade imaginária, \(i=\sqrt{-1}.\) Ele observou que \(ii=-1\) o que leva à \(1/i=-i\). O símbolo, no entanto, só apareceu em uma publicação no ano de 1794 em seu livro Institutionum Calculi Integralis e só foi amplamente divulgado se tornou de uso comum quando Gauss o adotou em 1801. Embora os termos real e imaginário já tivessem sido usados René Descartes em 1637, a expressão número complexo só foi introduzida por Gauss em 1832.

Quando Gauss se interessou pela teoria dos complexos, em 1831, ele a considerou bastante incompleta e trabalhou para aperfeiçoá-la e difundi-la entre os matemáticos da época. Gauss estava interessado em descobrir as propriedades geométricas de quantidades complexas. Assim como Wessel, ele procurava entidades análogas aos complexos que pudessem ser usadas na descrição de direções no espaço tri-dimensional.

A formalização completa dos números complexos como pares ordenados de números reais foi desenvolvida em 1833 por Hamilton e em 1847 por Cauchy. Também se deve mencionar que os esforços de Cauchy e Abel foram importantes para que a teoria fosse amplamente aceita e utilizada. Vários outros matemáticos fizeram contribuições importantes: Kummer (1844), Kronecker (1845), Scheffler (1845, 1851, 1880), Bellavitis (1835, 1852), Peacock (1845), e De Morgan (1849). Também se deve lembrar os artigos de Möbius sobre aplicações geométricas dos complexos, e Dirichlet pela expansão da teoria para envolver os primos, congruências ou reciprocidade, entre outros aspectos estudados.

Além da familiar forma dos complexos, \(a+bi\), onde \(i\) é a raiz de \(x^{2}+1=0,\) outros estudos foram empreendidos. Eisenstein estudou números do tipo de \(a+bj\), onde \(j\) é a raiz complexa de \(x^{3}-1=0\). Uma generalização devida em grande parte a Kummer estuda as raízes complexas derivadas de \(x^{k}-1=0,\) onde \(k\) é um primo. Galois estudou números complexos baseadas nas raízes imaginárias de uma congruência irredutível \(F(x)\equiv 0 (\text{mod }p)\) onde \(p\) é primo. Estudos mais recentes da teoria, após o ano de 1884, foram realizados por Weierstrass, Schwarz, Dedekind, Hölder, Berloty, Poincaré, Study e Macfarlane.

A terminologia atualmente empregada na matemática em relação aos complexos é principalmente devida a seus fundadores. Argand chamava \(\cos \phi +i\text{sen }\phi \) de fator de direção, e \(r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) o módulo do complexo. Cauchy (1828) denominava \(\cos \phi +i\text{sen }\phi \) a forma reduzida l’expression réduite); Gauss usou \(i\) para denotar \(\sqrt{-1}\), introduziu a expressão número complexo para se referir ao número da forma \(a+bi\), com \(a\) e \(b\) reais, e chamou \(a^{2}+b^{2}\) de a norma. A expressão coeficiente de direção, ainda hoje utilizada, é devida a Hankel (1867), e valor absoluto, para módulo, é devida a Weierstrass.

7 – Autovalores e Autovetores

Introdução

Dada uma transformação linear \(T : V \rightarrow V\) buscamos descobrir quais são os vetores fixos de \(V\) sob esta transformação, ou seja, que vetores satisfazem a expressão \(T (v) = v\). Em seguida procuraremos quais são as direções fixas ou invariantes sob esta transformação, sendo estas as direções dos vetores \(v\) que satisfazem a expressão \(T (v) = \lambda v\), \(\lambda\) um escalar. No primeiro caso dizemos que \(v\) fica invariante sob \(T\) ; no segundo caso a
direção de \(v\) é invariante.

Exemplo 1. Considere as transformações
$$
\begin{array}{r}
I : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\\
v \mapsto v
\end{array} \begin{array}{r}
N : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\\
(x, y) \mapsto (0, 0)
\end{array} \begin{array}{r}
r_x : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\\
(x, y) \mapsto (x, – y)
\end{array}
$$

A primeira delas é a identidade que deixa todos os vetores fixos. O plano \(\mathbb{R}^2\) é invariante sob esta transformação. A segunda é a aplicação nula, que só deixa invariante o próprio vetor nulo, a oriegm de de \(\mathbb{R}^2\). A terceira transformação consiste em uma reflexão em torno do eixo \(\mathcal{O}x\). Não é difícil perceber que todos os vetores da forma \((x, 0)\) são fixos pois \(r_x (x, 0) = (x, 0)\). Isto significa que o eixo \(\mathcal{O}x\) é refletido nele mesmo. Para verificar se existem outros vetores fixos vamos procurar soluções da equação \(r_x (x, y) = (x, y)\) ou, em forma matricial,
$$
\left. \left[ \begin{array}{rr}
1 & 0\\
0 & – 1
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] \Rightarrow \begin{array}{r}
x = x\\
y = – y
\end{array} \right\} \Rightarrow y = 0.
$$

Portanto os vetores \((x, 0)\) são os únicos deixados fixos por esta reflexão.

Queremos agora encontrar direções fixas. Sempre que não houver ambiguidade na notação entre transformações e vetores omitiremos os parênteses. Na expressão
$$ T \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} $$
dizemos que \(\mathbf{v}\) é um autovetor de \(T\), e \(\lambda \) é um autovalor de \(T\).

Observe que o vetor nulo \(\mathbf{0} \in V\) sempre é um autovetor de qualquer transformação linear correspondendo ao autovalor nulo. Procuramos autovetores não-nulos, também chamados de não triviais.

Exemplo 2. Vamos encontrar os autovetores e autovalores da reflexão em \(\mathbb{R}^2, r_x (x, y) = (x, – y)\). A equação de autovalores é
$$ r_x (x, y) = \lambda (x, y) \Rightarrow (x, – y) = \lambda (x, y) $$
que corresponde ao seguinte sistema e sua solução
$$
\left\{ \begin{array}{r}
x = \lambda x\\
– y = \lambda y
\end{array} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r}
\lambda = 1, y = 0 \;\;\text{ e }\;\; x \;\;\text{ qualquer, }\;\; \\
\lambda = – 1, x = 0 \;\;\text{ e } y \;\; \text{ qualquer.}
\end{array} \right. \right.
$$

Descobrimos portanto que, \(\lambda = 1\) é um autovalor, correspondente aos autovetores \((x, 0)\), enquanto \(\lambda = – 1\) é outro autovalor, correspondente aos autovetores \((0, y)\). Isto está correto pois, como podemos verificar diretamente,
$$ r_x (x, 0) = 1 (x, 0) ; r_x (0, y) = (0, – y) = – 1 (0, y). $$

O procedimento de busca de autovetores e autovalores é muito importante em diversas aplicações à engenharia, física, computação e outras áreas, e uma técnica mais eficaz foi desenvolvida para isto.

Para entender este procedimento vamos encontrar autovetores e autovalores da mesma reflexão em \(\mathbb{R}^2, r_x (x, y) = (x, – y)\). Escrevemos a transformação em forma matricial,
$$
r_x \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr}
1 & 0\\
0 & – 1
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r}
x\\
– y
\end{array} \right].
$$

Com isto a equação de autovetores fica
$$
\left[ \begin{array}{rr}
1 & 0\\
0 & – 1
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] = \lambda \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] \Rightarrow \left( \left[ \begin{array}{rr}
1 & 0\\
0 & – 1
\end{array} \right] – \lambda \mathbb{I} \right) \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] = 0,
$$

onde a identidade \(2 \times 2\) foi inserida para deixar o vetor das incógnitas em evidência. A operação dentro de parênteses pode ser efetuada e o sistema de devemos resolver é
$$
\left[ \begin{array}{rr}
1 – \lambda & 0\\
0 & – 1 – \lambda
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] = 0.
$$
Para que exista uma solução não trivial para este sistema é necessário que o determinante da primeira matriz seja nulo (ou seja, que ela seja não invertível),
$$
\det \left[ \begin{array}{rr}
1 – \lambda & 0\\
0 & – 1 – \lambda
\end{array} \right] = 0 \Rightarrow (1 – \lambda) (- 1 – \lambda) = 0.
$$

A solução do polinômio acima fornece os autovalores procurados, \(\lambda = 1\) e \(\lambda = – 1\). De posse dos autovalores retornamos à equação (1) para encontrar os autovetores: Se \(\lambda = 1\) temos
$$
\left[ \begin{array}{rr}
0 & 0\\
0 & – 2
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] = 0 \Rightarrow y = 0, x \;\; \text{qualquer} .
$$

Se \(\lambda = – 1\) temos
$$
\left[ \begin{array}{rr}
– 2 & 0\\
0 & 0
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] = 0 \Rightarrow x = 0, y \;\; \text{qualquer} .
$$

Chegamos ao resultado já obtido: \(\lambda = 1\) é autovalor correspondente aos autovetores \((x, 0)\), enquanto \(\lambda = – 1\) é autovalor correspondente aos autovetores \((0, y)\).

Relembrando: Dada uma matriz quadrada \(A\), na solução da equação (*) \(A \mathbf{v} = 0\), o vetor \(\mathbf{v} = 0\) sempre é uma solução, a chamada solução trivial.

Para que existam outras soluções (chamadas não-triviais) é necessário que \(\det A = 0\). Caso contrário, se \(\det A \neq 0\), existe a inversa \(A^{- 1}\) e podemos multiplicar a equação original (*) de \(\det (A – \lambda \mathbb{I}) = 0\),o que resulta em um polinômio de grau \(n\) chamado de polinômio característico,

Generalizando este procedimento, para resolver a equação de autovetores \(T \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}\) fazemos o seguinte:

  1. encontramos a matriz \(A_{n \times n}\) associada à transformação \(T\),
  2. escrevemos \(A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}\) como \((A – \lambda \mathbb{I}) \mathbf{v} = 0\),
  3. calculamos a solução,
  4. resolvemos o polinômio característico para achar os autovalores \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\),
  5. para cada autovalor \(\lambda_k\) encontramos o autovetor que satisfaz a expressão \((A – \lambda_k \mathbb{I}) \mathbf{v}_k = 0\).

Exemplo 3. Vamos encontrar autovetores e autovalores da transformação \(R : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\), dada por \((x, y) \mapsto (- y, x)\), que consiste em uma rotação de \(90^o\) em torno da origem, sentido antihorário. Em notação,
$$
R \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr}
0 & – 1\\
1 & 0
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r}
– y\\
x
\end{array} \right].
$$

A equação de autovetores é
$$
\left[ \begin{array}{rr}
0 & – 1\\
1 & 0
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] = \lambda \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] \Rightarrow \left( \left[ \begin{array}{rr}
0 & – 1\\
1 & 0
\end{array} \right] – \lambda \mathbb{I} \right) \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] = 0.
$$

A matriz entre parênteses tem determinante que não se anula para [/latex] \lambda[/latex] real, pois
$$
\det \left[ \begin{array}{rr}
– \lambda & – 1\\
1 & – \lambda
\end{array} \right] = 0 \Rightarrow \lambda^2 + 1 = 0.
$$
Portanto esta equação de autovetores não admite solução para autovalores reais. (Ela poderia ser resolvida, no entanto, para autovalores complexos.)

Exemplo 4. Vamos encontrar autovetores e autovalores da matriz
$$
A = \left[ \begin{array}{rr}
2 & 2\\
0 & 1
\end{array} \right].
$$

A equação de autovetores é
$$
\left[ \begin{array}{rr}
2 & 2\\
0 & 1
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] = \lambda \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] \Rightarrow \left( \left[ \begin{array}{rr}
2 & 2\\
0 & 1
\end{array} \right] – \lambda \left[ \begin{array}{rr}
1 & 0\\
0 & 1
\end{array} \right] \right) \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr}
2 – \lambda & 2\\
0 & 1 – \lambda
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] = 0.
$$

Para que existam soluções não triviais é necessário que
$$
\det \left[ \begin{array}{rr}
2 – \lambda & 2\\
0 & 1 – \lambda
\end{array} \right] = 0,
$$

de onde obtemos o polinômio característico e suas raízes,
$$ (2 – \lambda) (1 – \lambda) = 0 \Rightarrow \lambda_1 = 1 ; \lambda_2 = 2. $$

Para \(\lambda_1 = 1\) temos
$$
\left[ \begin{array}{rr}
1 & 2\\
0 & 0
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] = 0 \Rightarrow x + 2 y = 0 \Rightarrow y = –
\frac{x}{2},
$$

e os autovetores correspondentes são \(\mathbf{v}_1 = (x, – x / 2)\). Para
[/latex] \lambda_2 = 2[/latex] temos
$$
\left[ \begin{array}{rr}
0 & 2\\
0 & – 1
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] = 0 \Rightarrow y = 0
$$
e os autovetores correspondentes são \(\mathbf{v}_2 = (x, 0)\). De fato, observamos que
$$
A \mathbf{v}_1 = \left[ \begin{array}{rr}
2 & 2\\
0 & 1
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{r}
x\\
– x / 2
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r}
x\\
– x / 2
\end{array} \right] = \lambda_1 \mathbf{v}_1,
$$

$$
A \mathbf{v}_2 = \left[ \begin{array}{rr}
2 & 2\\
0 & 1
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{r}
x\\
0
\end{array} \right] = 2 \left[ \begin{array}{r}
x\\
0
\end{array} \right] = \lambda_2 \mathbf{v}_2 .
$$

Teorema: Se \(T : V \rightarrow V\) é uma transformação linear e \(\mathbf{v} \in V\) um autovetor associado ao autovalor \(\lambda\) então \(\mathbf{w} = \rho \mathbf{v}\) onde \(\rho \in \mathbb{R}\) (um escalar), também é um autovetor associado à mesmo autovalor \(\lambda\).

Demonstração: Se \(T (\mathbf{v}) = \lambda \mathbf{v}\) então

$$ T (\mathbf{w}) = T (\rho \mathbf{v}) = \rho T (\mathbf{v}) = \rho \lambda \mathbf{v} = \lambda (\rho \mathbf{v}) = \lambda \mathbf{w}. $$

Este teorema signica que a equação de autovetores permite, como proposto no início desta seção, encontrar apenas direções. Qualquer vetor com a mesma direção de um autovetor é também autovetor, correspondendo ao mesmo autovalor. Observe que em todos os exemplos resolvidos, para cada autovalor, encontramos infinitos autovetores correspondentes. Em algumas aplicações se busca encontrar autovetores \(v\) normalizadas (ou seja \(|v| = 1\) ). Com esta exigência encontramos um número finito de soluções, desde que \(V\) seja finito.

Definição: Dada a transformação linear \(T : V \rightarrow V\) o subespaço \(V_{\lambda} = \{ \mathbf{v} \in V ; T (\mathbf{v}) = \lambda \mathbf{v} \}\) é denominado subespaço associado ao autovalor \(\lambda . V_{\lambda} \) é, portanto, o conjunto dos autovetores de \(T\) correspondentes ao mesmo autovalor \(\lambda\).

Exercício: Lembrando que \(\mathbf{0} \in V_{\lambda}\), o vetor nulo, mostre que \(V_{\lambda}\) é um subespaço vetorial de \(V\).

6 – Aplicações Lineares e Matrizes

Aplicações Lineares e Matrizes

Como vimos na seção anterior, toda matriz \(m \times n\) corresponde a uma aplicação linear \(T : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m .\) A afirmação recíproca também é verdadeira: fixadas as bases de \(V\) e \(W\), toda aplicação linear \(T : V \rightarrow W\) está associada à uma única matriz \(m \times n\), desde que se escolha as bases de ambos os espaços. Vamos começar revendo a primeira parte deste conceito através de um exemplo para depois generalizá-lo.

Dados dois espaços vetoriais \(V\) e \(W\), com bases \(\beta\) e \(\beta’\), respectivamente, e uma matriz \(A_{m \times n}\), sendo \(n = \dim V\) e \(m = \dim
W\), então esta matriz corresponde a uma única aplicação linear.

Exemplo 1. Tome \(V = W =\mathbb{R}^2,\;\; \beta = \{(1, 0), (0, 1)\}, \;\;\beta’ = \{(1, 1), (- 1, 1)\},\) e a matriz
$$
A = \left[ \begin{array}{rr}
2 & 0\\
0 & 1
\end{array} \right],
$$

buscamos \(T_A\), a aplicação associada a esta matriz, lembrando que \(T_A\) depende das bases \(\beta\) e \(\beta’\). Se \(\vec{v} \in V\), escrevemos \(\vec{v} = (x, y)\) e o escrevemos na base \(\beta\) (que é a base canônica) como
$$ [\vec{v}]_{\beta} = \left[ \begin{array}{r} x\\ y \end{array} \right]. $$

O efeito da transformação sobre sobre este vetor é
$$
A \vec{v} = \left[ \begin{array}{rr}
2 & 0\\
0 & 1
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r}
2 x\\
y
\end{array} \right] = \left[T_A (\vec{v})\right]_{\beta’},
$$

onde pretendemos que o vetor de chegada seja descrito na base \(\beta’\). Nesta base temos
$$ T_A (\vec{v}) = 2 x (1, 1) – y (- 1, 1) = (2 x – y, 2 x + y), $$

que é a aplicação procurada. Por exemplo, a imagem do vetor \(\vec{v} = (2, 3)\) é \(T_A (2, 3) = (1, 7)\).

Generalizando o procedimento acima, sejam \(V\) e \(W\) dois espaços vetoriais com suas respectivas bases, \(\beta = \{v_1, \ldots, v_n \}\) e \(\beta’ = \{w_1, \ldots, w_m \}\) e \(A\) uma matriz \(m \times n\),
$$
A = \left[ \begin{array}{llll}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n}\\
\vdots & & & \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{array} \right].
$$

Podemos então associar a esta matriz a aplicação \(T_A : V \rightarrow W\) da seguinte forma: escrevemos \(v\) na base \(\beta\),
$$ [v]_{\beta} = \vec{X} = \left[ \begin{array}{r} x_1 \\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{array} \right] $$

e a ação da aplicação sobre este vetor, \(T_A (v)\), descrita em termos da base \(\beta’\),
$$
[A \cdot \vec{X}]_{\beta’} = \left[ \begin{array}{r}
y_1\\
y_2\\
\vdots\\
y_n
\end{array} \right]_{\beta’} \;\; \text{ onde } \;\; \left[
\begin{array}{r}
y_1\\
y_2\\
\vdots\\
y_n
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{llll}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n}\\
\vdots & & & \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{r}
x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_n
\end{array} \right].
$$

Como queremos obter o vetor de chegada na base \(\beta’\) temos \(T_A (v) = y_{1} w_1 + y_{2} w_2 + \ldots + y_{m} w_m\). Se nenhuma base for explicitada usaremos, por convenção, as bases canônicas.

Exemplo 2. Queremos encontrar a transformação \(T_A : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2\), associada à matriz
$$ A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & – 3 & 5 \\ 2 & 4 & – 1 \end{array} \right]. $$

Como as bases não são mencionadas, usamos as bases canônicas de \(\mathbb{R}^3\) e \(\mathbb{R}^2\), respectivamente
$$
\beta = \{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\} \;\; \text{ e } \;\; \beta’ = \{(1, 0),
(0, 1)\} .
$$

Tome \(\vec{v} = (x, y, z)\), ou, na base canônica
$$
[\vec{v}]_{\beta} = \vec{X} = \left[ \begin{array}{r}
x\\
y\\
z
\end{array} \right].
$$

A matriz \(A\) transforma este vetor em
$$
A \vec{X} = \left[ \begin{array}{rrr}
1 & – 3 & 5 \\
2 & 4 & – 1
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{r}
x\\
y\\
z
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r}
x – 3 y + 5 z\\
2 x + 4 y – z
\end{array} \right].
$$

Como queremos a transformação descrita nas bases canônicas dos dois espaços, que é, portanto
$$ T_A (\vec{v}) = (x – 3 y + 5 z, 2 x + 4 y – z). $$

Exemplo 3. Vamos procurar pela transformação \(F_A : P_2 (t) \rightarrow P_1 (t)\) (lembrando que \(P_n\) é o espaço dos polinômios em \(t\) de grau menor ou igual a \(n\) ) com as respectivas bases \(\beta = \{1, t, t^2 \}\) e \(\beta’ = \{1, t + 1\}\), associada à matriz
$$
A = \left[ \begin{array}{lll}
1 & 0 & 1\\
2 & 1 & 2
\end{array} \right].
$$

Se \(f \in P_2 (t)\) então \(f = a + bt + ct^2\) e podemos escrever, na base \(\beta\)
$$
[f]_{\beta} = \vec{X} = \left[ \begin{array}{r}
a\\
b\\
c
\end{array} \right].
$$

Transformado pela matriz \(A\) este vetor se torna
$$
A \vec{X} = \left[ \begin{array}{lll}
1 & 0 & 1\\
2 & 1 & 2
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{r}
a\\
b\\
c
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c}
a + c\\
2 a + b + 2 c
\end{array} \right] = [F_A (f)]_{\beta’} .
$$

O vetor transformado aparece na base \(\beta’\) por definição. A transformação procurada é
$$
F_A (f) = (a + c) 1 + (2 a + b + 2 c) (t + 1) = 3 a + b + 3 c + (2 a + b +
2 c) t.
$$

Como foi afirmado antes, toda transformação linear corresponde a uma única matriz se as bases de ambos os espaços forem especificadas. Considere transformação linear \(T : V \rightarrow W\), com bases \(\beta = \{v_1, \ldots, v_n \}\) e \(\beta’ = \{w_1, \ldots, w_m \}\), respectivamente. Os vetores de \(\beta\) transformados por \(T\) são vetores de \(W\), ou seja \(T (v_k) \in W\) e, portanto, podem ser decompostos na base \(\beta’\)
$$\begin{array}{cc}
T (v_1) = & a_{11} w_1 + a_{21} w_1 + \ldots + a_{m 1} w_m, \\
\vdots & \vdots \\
T (v_n) = & a_{1 n} w_1 + a_{2 n} w_2 + \ldots + a_{mn} w_m,
\end{array}
$$

onde, mais uma vez, a escolha dos índices fica explicada a seguir. A transposta da matriz dos coeficientes é a matriz que corresponde a \(T\) nas bases escolhidas,
$$
\left[T\right]^{\beta}_{\beta’} = \left[ \begin{array}{llll}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n}\\
\vdots & & & \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{array} \right].
$$

Novamente, escreveremos apenas \(\left[T\right]\) quando as bases envolvidas forem ambas canônicas.

Formalizando a afirmação acima temos:

Teorema: Dados os espaços vetoriais \(V\) e \(W\), com bases \(\alpha\) e \(\beta\) respectivamente, toda transformação linear \(T : V \rightarrow W\) corresponde a uma matriz \(A_{m \times n}\), onde \(n\) é a dimensão de \(V\) e \(m\) a dimensão de \(W\). Além disto, denotando esta matriz \(A = \left[T\right]_{\beta}^{\alpha}\) vale a relação
$$
\left[T(v)\right]_{\beta} = \left[T\right]_{\beta}^{\alpha} [v]_{\alpha} .
$$

Demonstração: Considere que \(\beta = \{v_1, \ldots, v_n\}\) e \(\beta’ = \{w_1, \ldots, w_m \}\) são, respectivamente, bases de \(V\) e \(W\). Escrevemos \(v \in V\) na base \(\alpha\) e \(T (v) \in W\) na base \(\beta\),
$$
[v]_{\alpha} = \left[ \begin{array}{r}
x_1\\
\vdots\\
x_n
\end{array} \right], \left[T(v)\right]_{\beta} = \left[ \begin{array}{r}
y_1\\
\vdots\\
y_m
\end{array} \right].
$$

A matriz procurada, correspondente a \(T\), é tal que \(A [v]_{\alpha} = [T(v)]_{\beta}\), ou seja,
$$
\left[
\begin{array}{lll}
a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & & \vdots \\
a_{m 1} & \cdots & a_{m n}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{r}
x_1 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}
\right] =
\left[
\begin{array}{r}
y_1 \\
\vdots \\
y_m
\end{array}
\right],
$$

onde denotamos \(A = \{a_{ij} \}\). Resta apenas encontrar as entradas \(a_{ij}\) da matriz. Para fazer isto tomamos \(v_1 \in \alpha\), o primeiro vetor desta base. Sendo um vetor de \(V\) ele pode ser escrito na própria base \(\alpha\) como
$$
[v_1]_{\alpha} = \left[ \begin{array}{r}
1\\
\vdots\\
0
\end{array} \right].
$$

Por efeito da transformação acima ele é levado em um vetor \(T(v_1) \in W\), que pode, portanto, ser escrito na base \(\beta\) como
$$
\left[T (v_1)\right]_{\beta} = \left[ \begin{array}{r}
y_1\\
\vdots\\
y_m
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{lll}
a_{11} & \cdots & a_{1 n}\\
\vdots & & \vdots\\
a_{m 1} & \cdots & a_{m n}
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{r}
1\\
\vdots\\
0
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r}
a_{11}\\
\vdots\\
a_{m 1}
\end{array} \right].
$$

Dai podemos concluir que
$$
\left[ \begin{array}{c}
y_1\\
\vdots\\
y_m
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c}
a_{11}\\
\vdots\\
a_{m 1}
\end{array} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c}
y_1 = a_{11},\\
\vdots\\
y_m = a_{m 1} .
\end{array} \right.
$$

Isto equivale a escrever
$$ T(v_1) = y_1 w_1 + \ldots + y_m w_m = a_{11} w_1 + \ldots + a_{m 1} w_m .$$

Pelo mesmo procedimento podemos mostrar que para qualquer vetor \(v_k \in \beta\) temos
$$ T (v_k) = a_{1 k} w_1 + \ldots + a_{mk} w_m, k = 1, \ldots, n. $$

Observe que, denotando \(A = \left[T\right]_{\beta}^{\alpha}\), podemos escrever
$$
\left[T(v)\right]_{\beta} = \left[T\right]_{\beta}^{\alpha} [v]_{\beta},
$$

o que representa uma forma de fácil memorização para representar todo o processo adotado. O símbolo \(\left[T\right]_{\beta}^{\alpha}\) significa a matriz associada a transformação \(T\) que leva vetores de \(V\), escritos na base \(\alpha\) para vetores de \(W\) escritos na base \(\beta\).

Resumindo: para encontrar os coeficientes da matriz associada a \(T\) nas bases dadas procedemos da seguinte forma:

  1. Tomamos os vetores \(v_k \in \alpha\) e os escrevemos na base \(\beta\).
  2. A matriz \(\left[T\right]_{\beta}^{\alpha}\) tem como componentes os termos \(a_{ik}\) da decomposição \(T (v_k) = \sum a_{ik} w_i\).
Exemplo 4. Dada uma transformação \(T : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2\) dada por
$$ T (x, y, z) = (2 x + y – z, 3 x – 2 y + 4 z) $$

e considerando as bases \(\beta = \{(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)\}\) e \(\beta’ = \{(1, 3), (1, 4)\}\) vamos encontrar a matriz \(\left[T\right]_{\beta’}^{\beta}\) associada a esta transformação.

Primeiro calculamos o efeito de \(T\) sobre as vetores de \(\beta\) e escrevemos as imagens na base \(\beta’\):
$$ \begin{array}{rl}
T (1, 1, 1) = & (2, 5) = a (1, 3) + b (1, 4) = 3 (1, 3) – 1 (1, 4), \\
T (1, 1, 0) = & (3, 1) = c (1, 3) + d (1, 4) = 11 (1, 3) – 8 (1, 4), \\
T (1, 0, 0) = & (2, 3) = e (1, 3) + f (1, 4) = 5 (1, 3) – 3 (1, 4).
\end{array}
$$

As constantes \(a, b, \ldots, f\) foram calculadas como solução de sistemas. Por exemplo, na primeira equação temos
$$
\left. \begin{array}{l} a + b = 2 \\ 3 a + 4 b = 5 \end{array} \right\} \Rightarrow a = 3, \;\; b = – 1.$$

A matriz procurada é a transposta da matriz dos coeficientes, ou seja,
$$
\left[T\right]^{\beta}_{\beta’} = \left[ \begin{array}{rrr}
a & c & e\\
b & d & f
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr}
3 & 11 & 5\\
– 1 & – 8 & – 3
\end{array} \right].
$$

Exemplo 5. Dada a mesma transformação \(T : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2\) do exemplo anterior
$$ T (x, y, z) = (2 x + y – z, 3 x – 2 y + 4 z) $$

com as bases canônicas \(\beta = \{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\}\) e \(\beta’ = \{(1, 0), (0, 1)\}\) veremos que a matriz \(\left[T\right]\) associada a esta transformação será diferente da anterior. Listamos a seguir a transformação sobre os vetores de \(\beta\) e escrevemos as imagens na base \(\beta’\) :
$$ \begin{array}{rl}
T (1, 0, 0) = & (2, 3) = a (1, 0) + b (0, 1) = 2 (1, 0) + 3 (01, 1), \\
T (0, 1, 0) = & (1, – 2) = c (1, 0) + d (0, 1) = 1 (1, 0) – 2 (0, 1),\\
T (0, 0, 1) = & (- 1, 4) = e (1, 0) + f (0, 1) = – 1 (1, 0) + 4 (0, 1) .
\end{array}
$$

A transposta da matriz dos coeficientes é a matriz procurada,
$$
\left[T\right] = \left[ \begin{array}{lll}
2 & 1 & – 1\\
3 & – 2 & 4
\end{array} \right].
$$

Exemplo 6. Considere a transformação identidade, \(T : V \rightarrow V\), \(T (v) = v\), realizada entre as bases \(\beta = \{v_1, \ldots, v_n \}\) de \(V\) e \(\beta’ = \{w_1, \ldots, w_m \}\) de \(W\). Repetimos o procedimento, encontrando a imagem dos vetores de \(\beta\) e os escrevendo em \(\beta’\),
$$ \begin{array}{cc}
T (v_1) = & v_1 = a_{11} w_1 + a_{21} w_1 + \ldots + a_{m 1} w_m, \\
\vdots & \vdots \\
T (v_n) = & v_n = a_{1 n} w_1 + a_{2 n} w_2 + \ldots + a_{mn} w_m.
\end{array} $$

A representação matricial desta transformação é
$$
\left[T\right]_{\beta’}^{\beta} = \left[ \begin{array}{ccc}
a_{11} & \cdots & a_{1 n}\\
\vdots & & \vdots\\
a_{m 1} & \cdots & a_{m n}
\end{array} \right] = I_{\beta’}^{\beta},
$$

que é, simplesmente, a matriz mudança de base, partindo da base \(\beta\) para \(\beta’\).

Exemplo 7. Dadas as bases \(\beta = \{(1, 1), (0, 1)\}\) \(\beta’ = \{(0, 3, 0), (- 1, 0, 0), (0, 1, 1) \}\), de \(\mathbb{R}^2\) e \(\mathbb{R}^3\) respectivamente, procuramos a transformação linear \(T : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3\) correspondente à matriz associada
$$
\left[T\right]_{\beta’}^{\beta} = \left[ \begin{array}{rr}
0 & 2\\
– 1 & 0\\
– 1 & 3
\end{array} \right].
$$

Fazemos o processo inverso, pois os coeficientes da expansão de \(T (1, 1)\) e \(T (0, 1)\) na base \(\beta’\) são conhecidos,
$$ \begin{array}{rl}
T (1, 1) = & 0 (0, 3, 0) – 1 (- 1, 0, 0) – 1 (0, 1, 1) = (1, – 1, – 1), \\
T (0, 1) = & 2 (0, 3, 0) + 0 (- 1, 0, 0) + 3 (0, 1, 1) = (0, 9, 3).
\end{array} $$

Como conhecemos o efeito desta transformação sobre os vetores da base \(\beta\), sabemos seu efeito sobre qualquer vetor \((x, y) \in \mathbb{R}^2\). Nesta base
$$ (x, y) = x (1, 1) + (y – x) (0, 1) $$
e, portanto,
$$ \begin{array}{rl}
T (x, y) = & T [x (1, 1) + (y – x) (0, 1)] = xT (1, 1) + (y – x) T (0, 1) \\
= & x (1, – 1, – 1) + (y – x) (0, 9, 3) = (x, 9 y – 10 x, 3 y – 4 x).
\end{array}$$

Portanto a transformação procurada é \(T (x, y, z,) = (x, 9 y – 10 x, 3 y – 4 x)\).

6 – Transformações Lineares

Dados dois espaços vetoriais, \(V\) e \(W\), uma transformação entre eles é uma função que associa vetores de \(V\) em vetores de \(W\). Ela pode ser uma rotação de \(\mathbb{R}^2\) como as que foram estudadas na seção anterior, que associa vetores do plano em outros vetores do plano, girados de um ângulo \(\theta\). Outro exemplo seria a associação de um vetor do espaço em um vetor do plano que corresponde a uma projeção do primeiro vetor neste plano. Esta última transformação poderia, por exemplo, ser usada em uma aplicação gráfica para desenhar a sombra de um objeto tridimensional. Denotaremos por \(F : V \rightarrow W\) uma transformação que leva vetores de \(V\) em vetores de \(W\). Os termos transformação, aplicação e função são equivalentes e serão usados livremente neste texto.

Definição: Se \(V\) e \(W\) são dois espaços vetoriais, uma transformação \(F : V \rightarrow W\) é uma regra que associa a vetores de \(V\) um único vetor de \(W\).

Definição: Dados os espaços vetoriais \(U, V\) e \(W\), se \(F : U \rightarrow V\) e \(G : V \rightarrow W\), a transformação composta \(G \circ F : U \rightarrow W\) é definida da seguinte forma: se \(u \in U\) então
$$ G \circ F (u) = w = G (F (u)) \in W, $$

desde que \(F (u)\) esteja no domínio de \(G\).

Definição: Dada uma transformação \(F : V \rightarrow W\) entre dois espaços vetoriais a transformação inversa, quando existir, é uma transformação \(F^{-1} : W \rightarrow V\) tal que se
$$ F (v) = w \Rightarrow F^{-1}(w) = v. $$

Observe que, se \(F^{-1}\) é a inversa de \(F\), então \(F^{-1} \circ F : V \rightarrow V\) é a aplicação identidade, \(F^{-1} \circ F (v) = v, \forall v \in V\) (ela deixa inalterado qualquer vetor \(v)\).

Figura *

Exemplo . A composição de funções é uma prática rotineira em aplicações da matemática desde os estágios iniciais de seu estudo. Por exemplo, se \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dada por \(f (x) = x + 1\) e \(g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dada por \(g (x) = \sqrt{x}\) então a composta \(g \circ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) é a função \(g (f(x)) = g (x + 1) = \sqrt{x + 1}\).

As transformações lineares representam um caso particular das transformações me geral, de grande importância no estudo da matemática e aplicações. Elas são importantes porque muitos objetos e fenômenos que se pretende descrever ocorrem de forma linear, entre eles o estudo de circuitos passivos (contendo apenas resistores), o cálculo de estruturas de concreto, a manipulação computadorizada de imagens, etc. Além disto, mesmo objetos e fenômenos que não ocorrem de forma linear admitem, em seu tratamento, uma primeira aproximação linear, a partir da qual se procura fazer correções e aperfeiçoamentos.

Definição: Dados dois espaços vetoriais, \(V\) e \(W\), uma transformação linear entre eles é uma função de \(V\) em \(W\), \(F : V \rightarrow W\), satisfazendo:

  1. \(F (u + v) = F (u) + F (v), \forall u, v \in V\),
  2. \(F (k u) = k F (u), \forall u \in V, k\) um escalar qualquer.

Exemplo . A transformação de \(\mathbb{R}^2\) em \(\mathbb{R}^2\)
$$ \begin{array}{rl}
F : \mathbb{R}^2 \mapsto & \mathbb{R}^2 \\
(x, y) \mapsto & (x+y, x-y)
\end{array} $$
é uma transformação linear. Antes de mostrar isto, como ilustração do significado de uma transformação, observe que \(F\) tem o seguinte efeito sobre os vetores abaixo:
$$ \begin{array}{rrr}
F (1, 1) = (2, 0), & F (1, 0) = (1, 1), &\\
F (0, 0) = (0, 0), & F (3, 2) = (5, 1), & \text{etc..}
\end{array}
$$

Dados dois vetores de \(\mathbb{R}^2\), \(\vec{u} = (u_x, u_y)\) e \(\vec{v} = (v_x, v_y)\) então
$$ \begin{array}{rl}
F (\vec{u} + \vec{v}) = & F[(u_x + v_x, u_y + v_y)]=(u_x + v_x + u_y + v_y, u_x + v_x – u_y – v_y) = \\
& (u_x + u_y, u_x – u_y) + (v_x + v_y, v_x – v_y) = F (\vec{u}) + F (\vec{v}).
\end{array}
$$

Além disto, se \(k\) é um escalar temos
$$ F (k \vec{u}) = F [(k u_x, k u_y)] = (k u_x + k u_y, k u_x – k u_y) = k(u_x + u_y, u_x – u_y) = k F (\vec{u}).$$

Portanto a aplicação \(F\) satisfaz as duas condições e é, portanto, uma transformação linear. Vale a pena notar que \(F (\vec{0}) = \vec{0}\), i. e. ela leva o vetor nulo no vetor nulo, o que é, como veremos em breve, uma característica de todas as transformações lineares.

Exemplo . A transformação \(G : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dada por \(G (u) = \alpha u\), (a multiplicação de um vetor por um fator \(\alpha\) ) é linear, pois:
$$ \begin{array}{rl}
G(u+v)= & \alpha (u + v)=\alpha u + \alpha v = G(u)+G(v), \\
G(ku)= & \alpha (ku)=k(\alpha u) = k\,G(u).
\end{array}
$$

Observamos novamente que \(G (0) = 0\).

Exemplo . A transformação
$$ \begin{array}{r}
H : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\\
x \mapsto x^2
\end{array}
$$
não é linear. Qualquer uma das duas propriedades (i) e (ii) não são satisfeitas pois
$$ \begin{array}{rl}
H (u + v) = & (u + v)^2 = u^2 + v^2 + 2 u v \neq H (u) + H (v) ; \\
H (k u + v) = & (k u)^2 = k^2 u^2 \neq k H (u).
\end{array}
$$

Embora esta não seja uma transformação linear é verdade que \(H (0) = 0\).

Exemplo . A transformação
$$ \begin{array}{r}
J : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3\\
(x, y) \mapsto (2 x, 0, x + y)
\end{array}
$$
é linear. Dados o vetores de \(\mathbb{R}^2\), \(\vec{u} = (x_1, y_1)\) e \(\vec{v} = (x_2, y_2)\) então
$$ \begin{array}{rl}
J (\vec{u}+\vec{v})= & J [(x_1 + x_2, y_1 + y_2)] = (2 x_1 + 2 x_2, 0, x_1 + y_1 + x_2 + y_2) = \\
& (2 x_1, 0, x_1 + y_1) + (2 x_2, 0, x_2 + y_2) = F (\vec{u}) + F (\vec{v}).
\end{array}
$$

Sendo \(k\) um escalar
$$ J (k \vec{u}) = J [(k x_1, k y_1)] = (2 k x_1, 0, k x_1 + k y_1) = k (2x_1, 0, x_1 + y_1) = k J (\vec{u}) . $$

Afirmação: Se \(F : V \rightarrow W\) é uma transformação linear, então \(F (0_V) = 0_W,\) onde \(0_V \;\text{ e }\; 0_W\) são, respectivamente, os vetores nulos de \(V\) e de \(W\).

Demonstração: Podemos escrever o vetor nulo como \(W \ni 0 = u – u\). Se \(F\) é linear então,
$$ F (0) = F (u – u) = F (u) – F (u) = 0 \in W. $$

No último exemplo, \(J (x, y) = (2 x, 0, x + y)\) temos que \(J (0, 0) = (0, 0, 0)\), ou seja, \(J\) leva o vetor nulo de \(\mathbb{R}^2\) no vetor nulo de \( \mathbb{R}^3\). Vimos também que a transformação \(H : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}; H (x) = x^2\) não é linear mas \(H(0) = 0\). Esta é, portanto, uma condição necessária mas não suficiente para que a transformação seja linear.

Exemplo . A transformação \(L : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3\), dada por
$$ \text{ } L (x, y, z) = (x + 1, y, z) $$

não é linear pois \(L (0, 0, 0) = (1, 0, 0) \neq 0\). As condições (i) e (ii) não precisam ser testadas, nesta caso.

Exemplo . A transformação \(M : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}\), dada por
$$ \text{ } M (\vec{v}) = \vec{v} \cdot \vec{v} \;\;\; \text{(o produto escalar)} $$

não é linear, embora \(M (\vec{0})=0.\;\;\) Apesar disto, se \(\vec{u}\), \(\vec{v} \in \mathbb{R}^3\) então
$$ \begin{array}{rl}
M(\vec{u}+\vec{v})= & (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})=\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot\vec{v}+2\vec{u}\cdot \vec{v}\neq M(\vec{u})+M(\vec{v}), \\
M(k\vec{u})= & (k \vec{u}) \cdot (k \vec{u}) = k^2 \vec{u} \cdot \vec{u}\neq k M (\vec{u}).
\end{array}$$

Naturalmente, se uma das condições não é satisfeita já sabemos que a transformação não é linear. Nos exemplos sempre testamos as duas condições, para efeito de exercício.

Exemplo . A operação derivada \(D : P_n \rightarrow P_n\) (que leva polinômios em polinômios, ambos de grau menor ou igual a \(n\) ) é uma transformação linear. Se \(f, g \in P_n\) (são polinômios), e \(k\) é um escalar então
$$ \begin{array}{l} D (f + g) = D (f) + D (g), \\ D (k f) = k D (f). \end{array} $$

Exemplo . \(N : V \rightarrow W\), \(N (u) = 0, \forall u \in V\), é uma transformação linear pois
$$ \begin{array}{l} N (u + v) = 0 = N (u) + N (v); \\ N (k u) = k N (u) = 0. \end{array} $$

Exemplo . Toda matriz \(m \times n\) esta associada a uma transformação linear \(A : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m\):
$$
\left[ \begin{array}{rrrr}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & & & \vdots \\
a_{m1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{r} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{array} \right] =
\left[ \begin{array}{r} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_m\end{array} \right].
$$

Denotando a operação acima por \(A \vec{x} = \vec{y}\), sabemos da álgebra das matrizes que
$$ \begin{array}{l}
A (\overrightarrow{x_1} + \overrightarrow{x_2}) = A (\overrightarrow{x_1}) + A (\overrightarrow{x_2}); \\
A (k \vec{x}) = k A (\vec{x}).
\end{array}
$$

Veremos mais tarde que a afirmação inversa também é verdadeira, ou seja, que toda a transformação linear \(T : V \rightarrow W\) (dois espaços vetorais) pode ser representada por uma matriz \(m \times n\) onde \(n\) é a dimensão de \(V\) e \(m\) a dimensão de \(W\).

Exemplo . Dada a matriz \(3 \times 2\)
$$
A = \left[ \begin{array}{rr}
2 & 0\\
0 & 0\\
1 & 1
\end{array} \right]
$$

existe a aplicação linear \(L_A : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3\),
$$ \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] \mapsto \left[ \begin{array}{rr}
2 & 0\\
0 & 0\\
1 & 1
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c}
x \\ 0 \\ x + y
\end{array} \right] .
$$

Esta transformação é idêntica à \(J (x, y) = (2 x, 0, x + y)\), usada anteriormente em um exemplo.

Afirmação: Se \(F : V \rightarrow W\) é uma transformação linear, então \(F\) leva retas de \(V\) em retas de \(W\).

Demonstração: Uma reta de \(V\) é um espaço gerado por um único vetor. Vamos aqui denotar esta reta por \(\alpha = [v] = \{t v\},\) onde \(v \in V\) é um vetor fixo, \(t\) uma variável. A imagem desta reta, sob a acão de \(F\) é \(F \{tv\} = \{tF (v)\} = [F (v)]\), que é uma reta de \(W\).

Observação: Esta é, aliás, o motivo do nome, transformação linear.

Figura *

Transformações do plano no plano

De particular importância entre as transformações lineares entre espaços vetoriais estão as transformações \(T : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\). Grande parte das operações em computação gráfica pertencem a este tipo de transformações, em particular as expansões e contrações (para aumentar ou diminuir o tamanho de uma figura na tela do computador), as reflexões, projeções e rotações.

Expansão e contração uniforme

Uma transformação
$$ \begin{array}{lll}
T : & \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 & \\
& \vec{v} \mapsto \alpha \vec{v}, & \alpha \in \mathbb{R}
\end{array}
$$

é uma expansão ou dilatação se \(\alpha \gt 1\), ou uma contração se \(\alpha \lt 1\). Vale aqui nos lembrarmos de que a multiplicação de um vetor por um escalar \(\alpha\) tem o efeito de multiplicar seu comprimento por \(| \alpha |\) pois
$$ |T (\vec{v}) | = | \alpha \vec{v} | = \sqrt[]{\alpha^2 \vec{v} . \vec{v} } = | \alpha | | \vec{v} |. $$

Exemplo . A seguinte transformação é uma dilatação,
$$ \begin{array}{rr}
T : & \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\\
& \vec{v} \mapsto 2 \vec{v},
\end{array}
$$
que dobra o comprimento do vetor, conforme a figura *a. Em termos matriciais ela pode ser expressa por
$$ T \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr}
2 & 0\\
0 & 2
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r}
2 x\\
2 y
\end{array} \right] .
$$

Por outro lado a aplicação \(F (x, y) = \frac{1}{2} (x, y)\) é uma contração, mostrada na figura *b.

figura

Reflexão em torno do eixo \(\mathcal{O}x\)

A transformação
$$ \begin{array}{rl}
R_x : & \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \\
& (x, y) \mapsto (x,- y),
\end{array} $$
representa uma reflexão em torno do eixo \(\mathcal{O}x\), ilustrada na figura *. Em notação matricial
$$ \left[ \begin{array}{r}
x’\\
y’
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr}
1 & 0\\
0 & – 1
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r}
x\\
– y
\end{array} \right], \;\;\;\text{ onde }\;\;\; \left[ \begin{array}{r}
x’\\
y’
\end{array} \right] = T \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] .
$$

Rotação de um ângulo \(\theta\)

Dado um vetor \(\vec{v} \in \mathbb{R}^2\) queremos conhecer a transformação \(R_{\theta} : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\) tal que \(\vec{v}’ = R_{\theta} (\vec{v})\) tem o mesmo comprimento que \(\vec{v}\) mas está girado de um ângulo \(\theta\) no sentido antihorário, como mostrado na figura *. Vamos começar denotando por \(r = | \vec{v} |\) o módulo deste vetor, e \(\alpha\) o ângulo que ele faz com o eixo \(\mathcal{O}x\). Nesta notação, se \(\vec{v} = (x, y)\) temos
$$ \left. \begin{array}{r} x = r \cos \theta \\ y = r \text{sen } \theta\end{array} \right\} \Rightarrow \vec{v} = r (\cos \theta, \text{sen }\theta). $$

O novo vetor \(\vec{v}’\) obtido de \(\vec{v}\) por meio de um giro de ângulo \(\theta\) será escrito por
$$ \begin{array}{r} x’ = r \cos (\alpha + \theta),\\ y’ = r \text{sen } (\alpha + \theta). \end{array} $$

Podemos aqui usar as identidades trigonométricas para a soma de ângulos,
$$ \begin{array}
\cos (\alpha + \theta) = \cos \alpha \cos \theta – \text{sen } \alpha \text{sen } \theta, \\
\text{sen } (\alpha + \theta) = \text{sen } \alpha \cos \theta + \cos \alpha \text{sen } \theta.
\end{array} $$

Por conseguinte as coordenadas de \(\vec{v}’\) serão
$$ \begin{array} {l}
x’ = r \cos \alpha \cos \theta – r \text{sen } \alpha \text{sen } \theta = x \cos \theta – y \text{sen } \theta, \\
y’ = r \text{sen } \alpha \cos \theta + r \cos \alpha \text{sen } \theta = x \text{sen } \theta + y \text{sen } \theta.
\end{array} $$

Temos portanto, a transformação procurada,
$$ R_{\theta} \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r}
x’\\
y’
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr}
\cos \theta & – \text{sen } \theta\\
\text{sen } \theta & \cos \theta
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] .
$$

Exemplo . No caso particular de uma rotação de \(\theta = \pi / 2\) temos
$$ R_{\pi / 2} \left[ \begin{array}{r}
x\\ y
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr}
0 & – 1\\ 1 & 0
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{r}
x\\ y
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r}
– y\\ x
\end{array} \right].
$$

Exercício: Denotando por \(R_{\theta}\) a rotação antihorário de um ângulo \(\theta\) mostre que
$$ R_{\theta 1} \cdot R_{\theta_2} = R_{(\theta_1 + \theta_2)}.$$

Extra: Um conceito importante em álgebra moderna é o de um grupo. Um grupo é um conjunto \(G \neq \emptyset\), dotado de uma operação binária \(\ast\), satisfazendo as seguintes propriedades:

  1. Se \(a,\, b,\, c \in G \Rightarrow (a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c)\) (associatividade).
  2. \(\exists \, e \, \in G\) tal que \(e \ast a = a \ast e = a, \forall a \in G\) (existência do elemento neutro).
  3. \(\forall a \in G \; \exists b \; \in G\) tal que \(a \ast b = b \ast a = e\) (existência do elemento inverso).

Estas propriedades significam que um grupo é um conjunto com uma operação \(\ast\) associativa, onde existe um elemento neutro \(e\) (com relação àquela operação) e que para cada elemento \(a\) de \(G\) existe um inverso \(b\) (algumas vezes denotado por \(a^{-1}\)).

Mostre que o conjunto \(G = (R_{\theta}, \ast)\) onde \( \ast\) é a multiplição usual de matrizes, é um grupo. Quem são, neste grupo, os elementos \(e\) (a identidade) e \( [R_{\theta}]^{-1}\), o inverso de \(R_{\theta}\)?

Translações

Exemplos de transformações importantes no plano são as translações
$$ T (x, y) = (x + a, y + b) $$

ou
$$ T \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r}
x’\\
y’
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr}
1 & 0\\
0 & 1
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{r}
a\\
b
\end{array} \right] .
$$

Estas não são, no entanto, transformações lineares, como se pode mostrar facilmente.

O teorema seguinte seguinte mostra que, para conhecer o efeito de uma transformação linear sobre os vetores de um espaço vetorial, basta conhecer o efeito desta transformação sobre todos os vetores de uma de suas bases.

Teorema: Uma transformação linear \(T : V \rightarrow W\) fica inteiramente determinada por sua ação sobre os vetores de uma base de \(V\).

Demonstração: Seja \(\beta = \{v_1, \ldots, v_n \}\) uma base de \(V\) e suponha conhecidos \(T (v_1) = w_1, \ldots, T (v_n) = w_n\). Então, qualquer \(v \in V\) e sua transformação \(T(v)\) podem ser escritos respectivamente como
$$ \begin{array}{rl}
v = & a_1 v_1 + \ldots + a_n v_n \;\;\; \text{e} \\
T(v)= & T(a_1 v_1+\ldots +a_n v_n)=a_1 T(v_1)+ \ldots + a_n T(v_n) \\
= & a_1 w_1 + \ldots + a_n w_n,
\end{array} $$
como foi afirmado.

Exemplo . Qual é a transformação linear \(T : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3\) satisfazendo
$$ T (1, 0) = (2, – 1, 0) \text{ e } T (0, 1) = (0, 0, 1) ? $$

Qualquer vetor \(\vec{v} \in \mathbb{R}^2\) pode ser escrito na base canônica
$$ \vec{v} = (x, y) = x (1, 0) + y (0, 1) . $$
Então
$$ T (\vec{v}) = xT (1, 0) + yT (0, 1) = x (2, – 1, 0) + y (0, 0, 1) = (2 x, – x, y) . $$
Em termos matriciais
$$ T \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr}
2 & 0\\
– 1 & 0\\
0 & 1
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r}
2 x\\
– x\\
y
\end{array} \right] .
$$

Relembramos aqui que uma matriz \(3 \times 2\) corresponde a uma transformação de \(\mathbb{R}^2\) em \(\mathbb{R}^3\).

Exemplo . Queremos encontrar a transformação linear \(T : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3\) satisfazendo
$$ T (1, 1) = (3, 2, 1) \text{ e } T (0, – 2) = (0, 1, 0) . $$

Neste caso, \(\{(1, 1), (0, – 2)\}\) não é a base canônica de \(\mathbb{R}^2\). Temos então que encontrar a decomposição de um vetor qualquer nesta base. O \(\vec{v} = (x, y) \in \mathbb{R}^2\) pode ser escrito nesta base como
$$
\vec{v} = (x, y) = a (1, 1) + b (0, – 2) \Rightarrow \left\{
\begin{array}{r}
(a, a – 2 b) = (x, y), \\
a = x, \\
b = \frac{1}{2} (x – y).
\end{array} \right.
$$

Dai
$$ (x, y) = x (1, 1) + \frac{1}{2} (x – y) (0, – 2) $$
e o vetor transformado é
$$ T (x, y) = xT (1, 1) + \frac{1}{2} (x – y) T (0, – 2) = $$

$$ = x (3, 2, 1)+\frac{1}{2}(x-y)(0, 1, 0)=\left(3x,\frac{5 x-y}{2},x\right).$$

Em termos matriciais
$$ T \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr}
3 & 0\\
5 / 2 & – 1 / 2\\
1 & 0
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{r}
x\\
y
\end{array} \right] .
$$

Vimos que uma transformação linear \(T : V \rightarrow W\) transforma vetores de um espaço vetorial \(V\) em vetores de outro, \(W\). Algumas definições serão necessárias para prosseguirmos.

Definição: Seja \(T : V \rightarrow W\) uma transformação linear. A imagem de \(T\) é o conjunto
$$ \text{Im} (T) = \{w \in W ; T (v) = w \text{ para algum } v \in V\} . $$

A imagem é, portanto, o conjunto de todos os vetores de \(W\) que são imagem de algum vetor de \(V\) pela transformação \(T\). Podemos denotar a imagem por \(\text{Im} (T)\) ou por \(T (V)\).

Definição: Seja \(T : V \rightarrow W\) uma transformação linear. O núcleo da transformação \(T\) é o conjunto
$$ \text{Nuc } (T) = \{v \in V ; T (v) = 0\} . $$

O núcleo é, portanto, o conjunto de todos os vetores de \(V\) que são levados no vetor nulo de \(W\). Observe que \(\text{Nuc } (T) \neq \emptyset\) pois se \(0_V\) é o vetor nulo de \(V\) então \(T (0_V) = 0_W\) (i.e. pelo menos o vetor nulo de \(V\) está no núcleo).

Obs. Em alguns textos o núcleo é denotado por \(\text{Ker} (T)\) (do inglês, kernel).

Exercício importante: Mostre que \(T (V)\) é um subespaço vetorial de \(W\) e \(\text{Nuc }(V)\) é um subespaço vetorial de \(V\).

Figura: Imagem e núcleo (feita)

Exemplo . Considere a transformação linear
$$ \begin{array}{rl}
T : & \mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R} \\
& (x, y) \mapsto x + y.
\end{array}
$$

O núcleo desta transformação é \(\text{Nuc } (T) = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 ; x + y = 0\}\). Portanto o núcleo desta transformação é a reta \(y = – x\), exibida na figura *. A imagem de \(T\) é \(\text{Im} (T) =\mathbb{R}\), (toda a reta real) pois qualquer ponto \(r\) desta reta pode ser obtido pela expressão \(r = x + y\), escolhndo-se \(x, y\) adequadamente.

figura *

Exemplo . A transformação linear \(T : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3\) dada por \(T (x, y, z) = (x, 2 y, 0)\) tem como imagem o conjunto
$$ \text{Im} (T) = \{(x, 2 y, 0) | x, y \in \mathbb{R}\} . $$

Observe que esta imagem é o plano \([(1, 0, 0), (0, 1, 0)]\), isto é, o plano gerado por \(\hat{\imath}\) e \(\hat{\jmath}\) ou ainda o plano \(x\mathcal{O}y\) \((z = 0)\). A dimensão da imagem é \(\dim \text{Im} (T) = 2\), pois existem 2 vetores em sua base. O núcleo desta transformação é
$$ \text{Nuc } (T) = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 ; (x, 2 y, 0) = 0\}, $$

ou seja, \(x = 0, y = 0\). Não há qualquer restrição sobre o valor de \(z\), portanto
$$ \text{Nuc } (T) = \{(0, 0, z) ; z \in \mathbb{R}\} . $$

Isto significa que \(\text{Nuc } (T) = [(0, 0, 1)]\), o eixo \(\mathcal{O}z\) e \(\dim \text{Nuc } (T) = 1\). Observe que
$$ \dim \text{Im} (T) + \dim \text{Nuc } (T) = 3 = \dim V. $$

Este resultado será explorado em breve.

Definição: Uma aplicação \(T : V \rightarrow W\) é injetora se, dados \(u, v \in V\), com \(T (u) = T (v)\), então \(u = v\). Equivalentemente, se \(u \neq v\) então \(T (u) \neq T (v)\).

figura

Uma aplicação injetora é aquela que tem imagens distintas para vetores distintos.

Definição: Uma aplicação \(T : V \rightarrow W\) é sobrejetora se \(T (V) = W\), ou seja, a imagem de \(V\) por \(T\) é todo o espaço \(W\). Isto significa que todo vetor de \(W\) é imagem de algum vetor de \(V\) por \(T\).

figura *

Definição: Uma aplicação que é simultaneamente injetora e sobrejetora é uma aplicação bijetora (ou uma bijeção).

Exemplo . A aplicação \(T : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2\), dada por \(T (x) = (x, 0)\) é injetora pois, se \(x \neq y\) temos \(T (x) \neq T (y)\). No entanto ela não é sobrejetora pois sua imagem é apenas o eixo \(\mathcal{O}x\) de \(\mathbb{R}^2\).

Teorema: Uma aplicação linear \(T : V \rightarrow W\) é injetora se, e somente se, \(\text{Nuc } (T) = \{0\}\).

Demonstração: Suponha que \(\text{Nuc } (T) = \{ \vec{0} \}\). Tome dois vetores \(u, v \in V\) tal que \(T (u) = T (v)\). Então \(T (u) – T (v) = 0 \Rightarrow T (u – v) = 0\), já que a aplicação é linear. Isto indica que \(u – v \in \text{Nuc } (T)\) logo \(u – v = 0\) (pois o núcleo contém apenas o vetor nulo). Resumindo, se \(T (u) = T (v)\) temos, obrigatoriamente que \(u = v\), logo \(T\) é injetora.

Por outro lado, suponha \(T\) injetora e tome um vetor \(v \in \text{Nuc } (T) \Rightarrow\) \(T (v) = 0\). Mas \(T (0) = 0\) para qualquer aplicação linear logo \(T (v) = T (0)\) ou seja \(v = 0\) (pois \(T\) é injetora) de onde se conclui que \(\text{Nuc } (T) = \{0\}\).

Exemplo . Queremos descobrir se a aplicação
$$ \begin{array}{rl}
T : & \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3 \\
& (x, y) \mapsto (x + y, x, x – y),
\end{array}
$$
é injetora. Sem usar a definição do que é uma aplicação injetora procuramos por núcleo,
$$ \begin{array}{r}
\text{Nuc }(T)=\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 ; T (x, y) = 0 \} \Rightarrow \\
(x + y, x, x – y) = 0 \Rightarrow x = 0, y = 0.
\end{array}
$$
portanto \(\text{Nuc } (T) = \{0\}\), logo \(T\) é injetora.

Teorema: Seja \(T : V \rightarrow W\) uma aplicação linear. Então
$$ \dim \text{Nuc } (T) + \dim \text{Im} (T) = \dim V. $$

Demonstração: Considere que \(\beta_N = \{v_1, \ldots, v_n \}\) é uma base de \(\text{Nuc } (T)\) à qual adicionamos o conjunto de vetores \(w_k\) necessários para que \(\beta_V = \{v_1, \ldots, v_n, w_1, \ldots, w_m \}\) seja uma base de \(V\). Com estas definições temos que \(\dim \text{Nuc } (T) = n\) e \(\dim V = n + m\). Qualquer vetor \(v \in V\) pode ser decomposto na base \(\beta_V \) como
$$ v = a_1 v_1 + \ldots + a_n v_n + b_1 w_1 + \ldots + b_m w_m . $$

O efeito da transformação \(T\) sobre este vetor é dada por
$$ \begin{array}{rl}
T(v) = & a_1 T (v_1) + \ldots + a_n T (v_n) + b_1 T (w_1) + \ldots + b_m T(w_m) = \\ & b_1 T (w_1) + \ldots + b_m T (w_m),
\end{array} $$

onde a última igualdade se deve a que os vetores \(v_k, k = 1, \ldots, n\) estão no núcleo, logo \(T (v_k) = 0\). A imagem de \(T\) é, portanto
$$ \text{Im} (T) = \{b_1 T (w_1) + \ldots + b_m T (w_m) ; b_k \in \mathbb{R}, k = 1, \ldots, m\} $$

ou ainda
$$ \text{Im} (T) = [T (w_1), \ldots, T (w_m)]. $$

Resta mostrar que os vetores \(T (w_i)\) são l.i.. Procedemos, como de costume, verificando se a combinação linear
$$ c_1 T (w_1) + \ldots + c_m T (w_m) = 0 $$

só pode ser obtida com todos os coeficientes \(c_k = 0\). Como \(T\) é linear podemos escrever
$$ T (c_1 w_1 + \ldots + c_m w_m) = 0, $$

concluindo que o vetor entre parênteses está no núcleo e pode, portanto, ser decomposto na base \(\beta_N\) como
$$ c_1 w_1 + \ldots + c_m w_m = d_1 u_1 + \ldots + d_n u_n . $$

A seguinte combinação linear é, por isto, nula,
$$ c_1 w_1 + \ldots + c_m w_m – d_1 u_1 – \ldots – d_n u_n = 0, $$

o que só pode ser conseguido com todos os coeficientes constantes nulos, \(c_k = 0\) e \(d_l = 0\), pois esta é uma combinação linear entre os vetores da base \(\beta_V\) de \(V\) (que são, por definição, l.i.). Isto mostra que o conjunto \(\beta_I = \{T (w_1), \ldots, T (w_m)\}\) é l.i. e gera \(\text{Im} (V)\), portanto é uma base da imagem. Dai se conclui que \(\dim \text{Im} (V) = m\) e o teorema fica provado.

Corolário: Se \(T : V \rightarrow W\) é uma aplicação linear e injetora, e \(\dim V = \dim W\) então \(T\) transforma bases de \(V\) em bases de \(W\).

Observação: Em outras palavras, o corolário afirma que, se \(\beta_V = \{v_1, \ldots, v_n \}\) é uma base de \(V\) então \(\beta_W = \{T (v_1), \ldots, T (v_n)\}\) é uma base de \(W\).

Demonstração: Tome \(\beta_V = \{v_1, \ldots, v_n \}\),uma base de \(V\). Queremos saber se \(\beta_W = \{T (v_1), \ldots, T (v_n)\}\) é l.i.. Para isto tornamos nula a combinação linear
$$ k_1 T (v_1) + \ldots + k_n T (v_n) = 0 \Rightarrow T (k_1 v_1 + \ldots + k_n v_n) = 0, $$

a última afirmação decorrendo de ser \(T\) linear. Como \(T\) é injetora então \(\text{Nuc } (T) = \{0\}\) e, portanto, \(k_1 v_1 + \ldots + k_n v_n = 0\), o que só pode ser obtido se todos os coeficientes constantes forem nulos, \(k_i = 0, i = 1, \ldots, n\). Dai se conclui que \(\beta_W\) é um conjunto de vetores l.i.. Como \(\dim V = \dim W = n\) então, como queríamos mostrar, \(\beta_W\) é uma base de \(W\).

Definição (isomorfismo): Se a aplicação linear \(T : V \rightarrow W\) é simultaneamente injetora e sobrejetora então dizemos que ela é um isomorfismo. Dizemos que os espaços vetoriais \(V\) e \(W\) são isomorfos.

Convém aqui enfatizar, apesar da repetição, alguns pontos importantes. Espaços isomorfos tem a mesma dimensão: como \(T\) é injetora temos que \(\dim \text{Nuc } (T) = 0\) e \(\dim \text{Im} (T) = \dim V\). Mas \(T\) é também sobrejetora, o que significa que sua imagem cobre todo o espaço \(W\), \(\text{Im} (T) = W\) logo \(\dim W = \dim V\). Além disto um isomorfismo leva bases de \(V\) em bases de \(W\). Como existe uma correspondência biunívoca entre vetores dos dois espaços e todos os vetores de \(W\) correspondem a algum vetor de \(V\), então é possível encontrar a aplicação inversa \(T^{-1} : W \rightarrow V\) e ela é também um isomorfismo.

Exemplo . Seja \(T : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3\) dada por \(T (x, y, z) = (x – 2 y, z, x + y)\). Vamos mostrar que \(T\) é um isomorfismo e encontrar sua inversa, \(T^{-1}\).

Pelo corolário, como a dimensão do espaço de partida e de chegada são as mesmas (pois são o mesmo espaço) se \(T\) é injetora então \(\dim \text{Nuc }(T)=0\) e \(\dim \text{Im}(T)=3\), o que significa que a imagem é o próprio \(\mathbb{R}^3\) (\( T\) é sobrejetora). Basta portanto verificar que a transformação é injetora. Para isto procuramos pelo núcleo de \(T\),
$$ \text{Nuc } (T) = \{(x, y, z) ; T (x, y, z) = 0\}$$
o que significa que vetores do núcleo devem satisfazer
$$ (x – 2 y, z, x + y) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r}
x – 2 y = 0\\
z = 0\\
x + y = 0
\end{array} \Rightarrow (x, y, z) = (0, 0, 0) . \right. $$

Como \(\text{Nuc } (T) = \{0\}\), \(T\) é injetora e, sendo sobrejetora, é um isomorfismo e existe a transformação inversa. Para achar a transformação inversa encontramos sua ação sobre 3 vetores l.i. de \(\mathbb{R}^3\). Em geral é mais simples usar a base canônica, embora qualquer base possa ser usada. Listamos abaixo a ação da transformação sobre a base canonônica e a ação de sua inversa sobre os vetores:
$$ \left\{ \begin{array}{rr}
T (1, 0, 0) = & (1, 0, 1) \\
T (0, 1, 0) = & (- 2, 0, 1) \\
T (0, 0, 1) = & (0, 1, 0)
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{rr}
T^{-1} (1, 0, 1) = & (1, 0, 0), \\
T^{-1} (- 2, 0, 1) = & (0, 1, 0), \\
T^{-1} (0, 1, 0) = & (0, 0, 1).
\end{array} \right.
$$

Sabemos que \(\{(1, 0, 1), (- 2, 0, 1), (0, 1, 0) \}\) é uma base de \(\mathbb{R}^3\) pois isomorfismos transformam bases em bases. Qualquer vetor deste espaço pode ser escrito nesta base como
$$ (x, y, z) = a (1, 0, 1) + b (- 2, 0, 1) + c (0, 1, 0) $$

o que representa o sistema listado abaixo, com sua solução,
$$ \left. \begin{array}{r}
x = a – 2 b\\
y = c\\
z = a + b
\end{array} \;\;\right\} \Rightarrow \begin{array}{l}
a = \frac{1}{3} (x + 2 z),\\
b = \frac{1}{3} (z – x),\\
c = y.
\end{array}
$$

Podemos escrever qualquer vetor de \(\mathbb{R}^3\) nesta base como
$$(x,y,z)=\frac{1}{3} (x + 2 z) (1, 0, 1) + \frac{1}{3} (z – x) (- 2, 0, 1) + y (0, 1, 0) $$

enquanto a ação de \(T^{-1}\) sobre este vetor arbitrário é
$$ T^{-1} (x, y, z) = \frac{1}{3} (x + 2 z) T^{-1} (1, 0, 1) + \frac{1}{3} (z – x) T^{-1} (- 2, 0, 1) + yT^{-1} (0, 1, 0), $$

onde usamos o fato de que \(T\) é linear. Já conhecemos o efeito de \( T^{-1}\) sobre os vetores envolvidos, portanto encontramos **
$$ \begin{array}{rl}
T^{-1}(x, y, z)= & \frac{1}{3}(x + 2 z)(1, 0, 0)+\frac{1}{3}(z-x) (0, 1, 0)+y (0, 0, 1)= \\
& \left(\frac{x + 2 z}{3},\frac{z – x}{3}, y \right).
\end{array} $$

Esta é a transformação inversa procurada.

Segue um resumo dos resultados sobre as transformações lineares

• Uma transformação \(T : V \rightarrow W\) é linear se \(T (\alpha u + \beta v) = \alpha T (u) + \beta T (v)\)

• A transformação fica totalmente determinada por meio de sua ação sobre uma base de \(V\).

• Def.: \(\text{Im} (T) = T (V) ; \text{Nuc } (T) = \{v \in V ; T (v) = 0_W \}\).

• \(T\) é injetora se \(T (u) = T (v) \Rightarrow u = v\), ou, se \(u \neq v \Rightarrow T (u) \neq T (v)\).

• \(T\) é sobrejetora se \(\text{Im} (T) = W\). Se \(T\) é injetora e sobre então é um isomorfismo.

• \(T\) linear é injetora \( \Leftrightarrow \text{Nuc } (T) = \{0_V \}\).

• \(\dim \text{Nuc } (T) + \dim \text{Im} (T) = \dim V\).

• Se \(\dim V = \dim W\), T é injetora \(\Leftrightarrow T\) é sobrejetora.

• \(T\) injetora: Se \(\dim V = \dim W\) então \(T\) leva bases de \(V\) em bases de \(W\).

• Se \(T\) é um isomorfismo então \(\exists \; T^{-1} : W \rightarrow V\), (existe a inversa de \(T\) ).