Probabilidade e Estatística

O estudo matemático das probabilidades e da estatística, além de sua evidente importância prática, representa uma grande oportunidade para o uso dos conceitos da Teoria dos Conjuntos. Por isso faremos uma revisão dos conceitos relevantes.

Conjuntos

O conceito de conjuntos é um conceito primário, básico ao entendimento de toda a matemática. Conjuntos são coleções de objetos, não necessariamente envolvendo números ou outra entidade matemática. Podemos representar um conjunto exibindo explicitamente seus elementos. É o que fazemos mostrando os naipes de cartas de baralho:

$$ C_{1}=\{\spadesuit,\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit\}, $$
ou o conjunto dos inteiros ímpares menores que 10:
$$ C_{2}=\{1,3,5,7,9\}. $$

Outra forma útil consiste em descrever o conjunto usando a notação:
$$ \text{Conjunto } =\{x_i|\; \text{ alguma propriedade satisfeita pelos elementos} \}.$$
Em muitas situações o conjunto pode ser muito grande ou possuir infinitos elementos, de forma que não podemos explicitá-los uma a um. É o que ocorre com o conjunto dos inteiros pares
$$ C_{3}=\{ \left.n_i \in \mathbb{N}\right|n_i \,\,\text{ os inteiros pares}\} = \{ 2n_i | n_i \in \mathbb{Z} \} $$

$$ C_{3}=\{n_i \in \mathbb{N} | n_i \,\text{ um inteiro par} \} = \{ 2n_i | n_i \in \mathbb{Z} \}, $$

ou o conjunto de pontos no plano \(\mathbb{R}^2\) sobre a circunferência de raio 1,

$$ C_{4}=\{\left.(x,\,y)\in\mathbb{R}^2\right|(x^2+y^2=1)\}. $$

Se os elementos de um conjunto podem ser contados ele é dito enumerável e sua ordem, que denotaremos por \(\text{ord}(A)=n\), é o número de seus elementos. Nos exemplos acima temos \(\text{ord}(C_{1})=4\), \(\text{ord}(C_{2})=5\). O conjunto \(C_{3}\) é enumerável, com infinitos elementos, e \(C_{4}\) não é enumerável (também possuindo infinitos elementos).

Dizemos que um elemento \(a\) pertence à um conjunto \(C\) se \(a\) é um dos elementos de \(C\). Denotamos esta relação por \(a\in C\). Caso contrário escrevemos \(a\notin C\).

Dizemos que um conjunto \(A\) está contido no conjunto \(B\) se todos os elementos de \(A\) estão também em \(B\). Denotamos esta relação por \(A\subset B\). Caso contrário escrevemos \(A\not\subset B\). Observe que vale a seguinte afirmação: se \(A\subset B\) e \(x\in A\Rightarrow x\in B.\)

A contido em B
União e Intersecção

Conjuntos podem ser combinados de várias maneiras. Por exemplo, se \(A\) e \(B\) são dois conjuntos podemos encontrar a união dos dois, \(A\cup B\), ou sua intersecção \(A\cap B\), ilustradas na figura 1. Observe que
$$ x\in A\cup B \Rightarrow x\in A\text{ ou }x\in B, $$
$$ x\in A\cap B \Rightarrow x\in A\text{ e }x\in B. $$

Um número maior de conjuntos podem também ser combinados. Se \(A_{i}\) é uma coleção de conjuntos (\(i=1,\ldots,\,n)\) denotamos a união e intersecção destes conjuntos por: \(\underset{i=1}{\cup}A_{i}, \underset{i=1}{\cap}A_{i},\) respectivamente. Observe que dois conjuntos são disjuntos se \(A\cap B=\emptyset\).

 

Definição: Se \(A\subset S\) definimos \(\bar{A},\) o complementar de \(A,\) como o conjunto de todos os elementos de \(S\) que não estão em \(A\),
$$ \bar{A}=\{x\in S;\,\,x\notin A\}. $$

Observe que \(A\cup\bar{A}=S\).

Se \(S\) é finito ou numerável com \(n\) elementos então existem \(2^{n}\) eventos associados (subconjuntos de \(S\)).

 

O produto externo é outra forma de combinar conjuntos:

$$ A\times B=\left\{ (a,b)|a\in A,b\in B\right\}. $$

Seus elementos são os pares ordenados \((a,b)\). Observe que \(\mathbb{R}^n = \mathbb{R}\times\ldots\times\mathbb{R}.\)

Experimento aleatório e espaço amostral

Um experimento é não determinístico ou aleatório se seu resultado não pode ser determinado previamente, à partir das condições iniciais do sistema usado. Na prática um experimento pode ser considerado aleatório se o conjunto das condições iniciais e sua evolução até a obtenção do resultado forem muito complexas e de difícil análise. Por exemplo, quando se atira uma moeda todas as leis envolvidas no movimento são causais e é possível prever o resultado (com que face ela cairá ao solo) se todas as condições iniciais forem conhecidas. No entanto estas condições envolvem um grande número de variáveis (tais como as colisões com partículas do ar) e é, quase sempre, mais apropriado considerar que o resultado será aleatório. Na natureza macroscópica poucos experimentos são realmente aleatórios. No nível microscópico (quântico) temos fenômenos completamente aleatórios, tais como o momento em que uma substância radioativa sofrerá um decaimento e emitirá uma partícula ou radiação.

O conjunto dos resultados possíveis para um dado experimento é denomidado seu espaço amostral. Denotaremos por \(\varepsilon\) os experimentos e \(S\) seu espaço amostral. Alguns exemplos de experimentos aleatórios (dentro das ressalvas dadas acima) são:

\(\varepsilon_{1}:\) Jogue uma moeda 4 vezes e observe número de caras resultantes. \(S=\{0,1,2,3,4\} \).

\(\varepsilon_{2}:\) Jogue uma moeda 4 vezes e verifique a sequência de caras (que denotaremos por h) e coroas (que denotaremos por t). \(S=\{ \text{(hhhh), (hhht), …, (tttt)}\} \).

\(\varepsilon_{3}:\) Jogue uma moeda 4 vezes e verifique quantas caras e coroas resultam. \(S=\{(0,4),\,(1,3),\,(2,2),\,(3,1),\,(4,0)\} \).

\(\varepsilon_{4}:\) Deixe uma lâmpada acesa até queimar. Verifique o tempo de vida da lâmpada (um espaço amostral contínuo).

\(\varepsilon_{5}:\) Em um lote com 10 peças, sendo 3 defeituosas, retire 1 de cada vez, sem repor, até que todas com defeito sejam removidas. Quantas peças serão retiradas? \(S=\{3,4,5,6,7,8,9,10\}\).

\(\varepsilon_{5′}:\) Mesmo experimento anterior. Quantas peças podem ser retiradas sem que alguma tenha defeito? \(S=\{1,2,3,4,5,6,7\}\).

Definição: Um evento relativo ao experimento \(\varepsilon\) é um subconjunto de \(S\).

Exemplo 1: São eventos associados aos experimentos já listados:

\(\varepsilon_1\): \(A=\{2\} ,\) duas caras ocorrem,

\(\varepsilon_3\): \(B=\{(3,1),\,(4,0)\}\), mais caras que coroas,

\(\varepsilon_4\): \(C=\{t |\, t \lt 3000h \}\), lâmpada queima antes de 3000 horas.

Observe que, com esta definição, \(S\) e \(\emptyset\) são ambos eventos.

Se \(A\) e \(B\) são eventos então também são eventos:

\(A\cup B\) ocorre se \(A\) ou \(B\) ocorrem,
\(A\cap B\) ocorre se \(A\) e \(B\) ocorrem,
\(\bar{A}\) ocorre se \(A\) não ocorre.

No caso de diversos eventos \(A_{i}\) associados ao experimento:

\(\underset{i}{\cup}A_{i}\) ocorre se um dos \(A_i\) ocorre,
\(\underset{i}{\cap}A_{i}\) ocorre se todos os \(A_i\) ocorrem.
Resumindo: União e interseção.

Notação: Se um experimento consiste na execução do experimento \(\varepsilon\) \(n\) vezes denotamos seu espaço amostral por meio do produto externo
$$ \text{S}\times\ldots\times\text{S}=\left\{ \left(s_{1},\cdots,\,s_{n}\left|s_{i}\in S\right.\right)\right\}.$$

Definição: Dois eventos \(A\) e \(B\) são mutuamente excludentes se não podem ocorrer simultaneamente. Neste caso \(A\cap B=\emptyset\).

Definição: Uma coleção de subconjuntos de \(S\), que denotaremos por \(\{A_i\}\), é uma cobertura de  \(S\) se os subconjuntos são mutuamente disjuntos (\(A_{i}\cap A_{j}=\emptyset\) para \(i\neq j\))  sua união é o próprio \(S\) (\(\underset{i}{\cup}A_{i}=S\)). Desta forma cada elemento de \(S\) está contido em exatamente um dos subconjuntos \(A_{i}\).

Definição: A cada evento de \(S\) associado ao experimento \(\varepsilon\) associamos uma probabilidade de ocorrência \(P\left(A\right)\), um número real, satisfazendo

1. \(0\leq P\left(A\right)\leq1\),
2. \(P\left(S\right)=1\),
3. Se \(A\cap B=\emptyset\) então \(P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)\).

Se \(\{A_{i}\}\) é uma coleção de eventos disjuntos (\(A_i \cap A_j=\emptyset\) para \(i\neq j\)) então \(P\left(\cup A_{i}\right)=\sum P\left(A_{i}\right)\).

Teorema: \(P(\emptyset)=0\)

Demonstração: \(A=A\cup\emptyset\) portanto \(P(A)=P\left(A\cup\emptyset\right)=P\left(A\right)+P\left(\emptyset\right)\Rightarrow P\left(\emptyset\right)=0 \)

Teorema: \(P(\overline{A})=1-P(A)\)

Demonstração: \(S=A\cup\overline{A}\), uma união disjunta. \(P\left(S\right)=1=P\left(A\right)+P\left(\overline{A}\right)\ \).

Esta última propriedade é muito interessante em alguns casos onde é mais fácil calcular \(P\left(\overline{A}\right)\), a probabilidade de não ocorrer o evento \(A\).

Teorema: \(P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)\)

Demonstração: \(A\cup B=A\cup\left(B\cap\overline{A}\right)\) e \(B=\left(B\cap A\right)\cup\left(B\cap\overline{A}\right)\). Como ambas uniões são disjuntas temos que
$$ P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\cap\overline{A}\right)\,\,\,\text{e}\,\,\,P\left(B\right)=P\left(A\cap B\right)+P\left(\overline{A}\cap B\right) $$
$$ \Rightarrow P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right).\ $$

Aplicando-se este mesmo resultado 2 vezes temos

$$
\begin{array}{rl}
P(A\cup B\cup C)= & P(A)+P(B)+P(C) \\
& -P(A\cap B)-P(B\cap C)-P(C\cap A)+P(A\cap B\cap C)
\end{array}
$$

Teorema: Se \(A\subset B\Longrightarrow P\left(A\right)\leq P\left(B\right)\)

Demonstração: Escreva \(B=A\cup\left(B\cap\overline{A}\right)\Longrightarrow P(B)=P(A)+P(B\cap\overline{A})\Longrightarrow P\left(A\right)\leq P\left(B\right).\)

Definição: Uma coleção de eventos \(\{A_i\}\) é uma partição de \(S\) se

1. \(A_{i}\cap A_{j}=\emptyset\) para \(i\neq j\),
2. \(\underset{i}{\cup}A_{i}=S\),
3. \(P\left(A_{i}\right)>0,\forall i\).

Portanto, uma partição é uma coleção de subconjuntos de \(S\) mutuamente disjuntos, que cobrem todo o conjunto \(S\). Uma partição é uma cobertura composta de subconjuntos de probabilidade não nula. Devido à propriedade 1, quando um experimento é realizado apenas um dos eventos de uma partição ocorre de cada vez.

Espaços amostrais finitos

Vamos considerar, nesta seção, experimentos cujos resultados são descritos por um espaço amostral consistindo de um número finito de \(k\) elementos, \(S={ a_1,\ldots,\,a_k}\). Chamaremos de um evento simples (ou elementar) a um evento formado por um resultado simples, \(A={a_i} \). A cada evento simples associaremos uma probabilidade \(p_i=P({a_i})\) satisfazendo

(a) \(0\leq p_{i}\leq1\),
(b) \(\sum_{i}^{k}p_{i}=1.\)

Notamos que \(\left\{ a_{i}\right\} \cap\left\{ a_{j}\right\} =\emptyset,\;i\neq j,\) o que significa que a coleção de todos os eventos simples de \(S\) é uma partição do espaço amostral.

Se tomarmos um evento constituído de \(r\) destes eventos simples (\(1\leq r\leq k)\; A={a’_1,\ldots,\,a’_r}\) (uma combinação de \(r\) eventos quaisquer de S) então
$$ P\left(A\right)=p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{r}=\sum^{r}p{}_{i.} $$

Isto significa que conhecemos a probabilidade de \(A\) se conhecermos a probabilidade dos elementos simples que a compõem.

Se todos os \(k\) resultados são igualmente verossímeis (ocorrem com a mesma probabilidade) então
$$ p_{i}=\frac{1}{k}\;\;\text{e}\;\;P(A)=\frac{r}{k}. $$

Resumindo, se \(A\) é formado por \(k\) resultados simples igualmente prováveis então
$$ P(A)=\frac{\text{número de casos favoráveis}.}{\text{número de casos possíveis}} $$

Exemplo 2: Atirando uma moeda 2 vezes (ou duas moedas, ao mesmo tempo) qual é a probabilidade de se obter 1 cara? O experimento consiste em contar o número de caras resultantes e o espaço amostral é \(S={0,1,2}\). O evento favorável é \(A={1 \text{ cara }}={1 h}\). Note que \(P(A)\neq\frac{1}{3}\) pois os eventos de \(S\) não são igualmente verossímeis. Uma descrição mais apropriada do espaço amostral seria:
$$
S’=\{(h,h),\,(h,t),\,(t,h),\,(t,t)\}
$$

O espaço amostral \(S’\) consiste de 4 casos possíveis, dois deles favoráveis. Portanto
$$ P(A)=P(1\text{cara})=\frac{2}{4}=0,5. $$

Isto mostra a importância de se conhecer técnicas de contagens de eventos.

Exemplo 3: Um dado honesto (bem balanceado) cai com qualquer das faces virada para cima com a mesma probabilidade. Jogando-se o dado uma vez, qual a probabilidade de que ele caia com um número maior que 2? O espaço amostral é \(S=\{1,2,3,4,5,6\}\), o evento favorável é \(A=\{3,4,5,6\}\). A probabilidade procurada é \(P(A)=4/6=2/3.\)

Exemplo 4: Jogando-se um dado 2 vezes, qual é a probabilidade de que a soma dos números obtidos seja 6?

Neste caso o espaço amostral é
$$ S=\left\{\begin{array}{cccc}
(1,1) & (1,2) & \ldots & (1,6) \\
\vdots & & & \vdots \\
(6,1) & (6,2) & \ldots & (6,6)
\end{array}\right\}.
$$

Destes eventos simples os únicos favoráveis são \(A=\{(1,5),\,(2,4),\,(3,3),\,(4,2),\,(5,1)\}.\) Portanto \(P(A)=5/36.\)

Métodos de enumeração ou contagem

Vemos que é importante saber contar quantos eventos podem resultar de um certo experimento. Consideremos então a questão: de quantas maneiras diferentes podemos dispor de \(n\) objetos (permutações)? O primeiro pode ser escolhido entre \(n\) objetos, o segundo entre \(n-1\), até o útimo objeto restante. Como ilustrado na figura, o número resultante é \(n \times (n-1) \times \cdots \times 1 =n!\).

Como notação escreveremos \(_{n}P_{n}=n!\) para indicar a permutaçao de \(n\) objetos.

De quantas formas diferentes podemos escolher apenas \(r,\;(r\lt n)\) entre \(n\) objetos diferentes? Agora a escolha é interrompida após a seleção do \(r\)-ésimo objeto. Denotando por \(_{n}A_{r}\) este número temos
$$ _{n}A_{r}=n\left(n-1\right)\cdots\left(n-r+1\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}.$$

Se a ordem em que estes \(r\) elementos entram na seleção não é relevante então temos que remover da contagem acima as seleções repetidas. Temos que \(r\) objetos podem ser permutados de \(r!\) formas diferentes. Então, denotando por \(C\) o número de modos de permutar \(r\) entre \(n\) elementos, temos
$$ C=\frac{_{n}A_{r}}{r!}=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}. $$

O número de combinações de \(n\) elementos em grupos de \(r\) elementos, sem que a ordem seja importante, aparece em diversas aplicações da matemática e recebe uma notação especial:
$$ C=\left(\begin{array}{c} n \\ r \end{array}\right)=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}. $$
Estes são os chamados coeficientes binomiais. Eles possuem diversas propriedades interessantes. Entre elas, se \(n\) é um inteiro positivo e \(0\leq r\leq n\) então

$$
\left( \begin{array}{c} n \\ r \end{array}\right) =
\left(\begin{array}{c} n \\ n-r \end{array}\right), \;\;\;\;
\left(\begin{array}{c} n \\ r \end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c} n-1 \\ r-1 \end{array}\right) +
\left(\begin{array}{c} n-1 \\ r \end{array}\right)
$$

Exemplo 5:. Na Loteria brasileira Megasena uma aposta simples consiste em escolher 6 entre 60 números. Qual a probabilidade de se escolher os 6 números sorteados? Temos que
$$ C=\left(\begin{array}{c} 60 \\ 6 \end{array}\right)=\frac{60!}{6!(54)!}=50063860 $$

é o número de resultados possíveis. A probabilidade de se acertar com um jogo simples é \(1/50063860\).

Observe que a operação acima pode ser simplificada da seguinte forma:
$$ \frac{60!}{6!(54)!}=\frac{55\times56\times57\times58\times59\times60}{2\times3\times4\times5\times6}=50063860. $$
(Os primeiros \(54\) fatores no numerador são cancelados por \(54!\) no denominador.)

Probabilidade Condicionada

Vamos usar de um exemplo para mostrar a diferença entre escolher objetos de um lote inicial, fazendo ou não a reposição dos objetos retirados após cada escolha.

Exemplo 6: Em um lote com 100 peças, 20 são defeituosas. Retiramos 2 peças e definimos dois eventos: \(\;A=\){1ª peça com defeito} \(B=\){2ª peça com defeito}. Se há reposição da peça retirada temos:
$$P(A)=\frac{20}{100}=\frac{1}{5},\;\;\; P(B)=\frac{1}{5}.$$

Mas, se não há a reposição, após a retirada da primeira peça restam 99, mas não sabemos quantas são defeituosas. Vamos denotar por \(P(B|A)\) = a probabilidade condicionada do evento \(B,\) tendo ocorrido o evento \(A.\) Se a primeira peça tinha defeito, restam 19 peças com defeito em um lote de 99, e \(P(B|A)=\frac{19}{99}\).

Como \(A\) ocorreu, o espaço amostral fica reduzido. Observe ainda que a probabilidade de \(B\) se \(A\) não tiver ocorrido é \(P(B|\overline{A})=\frac{20}{99}\).

Exemplo 7: Ex.: Dois dados são lançados e representamos o resultado por \(\left(x_{1},\,x_{2}\right).\) O espaço amostral é

$$
S=\left\{ \begin{array}{cccc}
(1,1) & (1,2) & \ldots & (1,6) \\
(2,1) & (2,2) & \ldots & (2,6) \\
\vdots & & & \vdots \\
(6,1) & (6,2) & \ldots & (6,6)
\end{array}\right\},
$$
consistindo de 36 eventos simples. Considere 2 eventos: \(A\) onde a soma dos dados é 10; \(B\) onde o primeiro resultado é maior que o segundo:

$$
\begin{array}{rl}
A= & \{(x_1,x_2)|x_1 + x_2=10\} = \{(4,6),(5,5),(6,4)\} \\ & \\
B= & \left\{(x_1,x_2)|x_1 \gt x_2\right\} \\
= & \left\{(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),\right. \\
& \left.(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)\right\}
\end{array}
$$

A probabilidade de ocorrerem \(A\) e \(B\) são, respectivamente,
$$ P\left(A\right)=\frac{3}{6},\;\;P(B)=\frac{15}{36},$$
enquanto a probabilidade condicionada de ocorrer \(B\) tendo ocorrida \(A\) é $$ P(B|A)=\frac{1}{3}. $$ O espaço amostral se reduz para \(A={(4,6),\,(5,5),\,(6,4)}\) e, entre estes eventos apenas \((6,4)\) é favorável. Da mesma forma a probabilidade de ocorrer \(A\) tendo ocorrido \(B\) é
$$ P(A|B)=\frac{1}{15}, $$

pois \(\text{ord}(B)=15\) e apenas o evento \(\left(6,4\right)\) é favorável. Observe ainda que a probabilidade de que \(A\) e \(B\) ocorram simultaneamente é
$$ P(A\cap B)=\frac{1}{36}.$$

Note que:
$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{1}{36}\frac{36}{15}=\frac{1}{15}$$
$$P(B|A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}=\frac{1}{36}\frac{36}{3}=\frac{1}{3}$$

Isto sugere a definição de probabilidade condicionada (que pode ser formalmente demostrada):

$$ P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} $$

para \(P(A)\gt 0\). É claro que, se \(P(A)=0\), \(P(B|A)=0\). Podemos então escrever

$$ P(A\cap B)=P(B|A)P(A)=P(A|B)P(B). $$

Exemplo 8: Entre 100 calculadoras temos aparelhos novos (N) e usados (U), eletrônicos (E) e manuais (M), de acordo com a tabela:

Uma é escolhida ao acaso e verifica-se que é nova. Qual probabilidade de que ela seja eletrônica?

Como já se vericou que a calculadora é nova, o espaço amostral fica reduzido à apenas 70 unidades. Nele apenas 40 calculadoras são eletrônicas. Usando a definição de probabilidade condicionada temos

$$ P(E|N)=\frac{P(E\cap N)}{P(N)}=\frac{40/100}{70/100}=\frac{4}{7}.$$

Exemplo 9: Retomamos a situação das 100 peças, sendo 20 com defeito. Qual a probabilidade de se escolher 2, sem reposição, e serem ambas defeituosas?

Definimos os eventos A = {1ª com defeito}; B = {2ª com defeito}. O evento favorável é \(A\cap B\) e sua probabilidade é

$$ P(A\cap B)=P(B|A)P(A)=\frac{19}{99}\frac{20}{100}=\frac{19}{495}. $$

Uma observação será útil antes de prosseguirmos: seja \(\{M_{i}\}\) \(i=1,\ldots,\,k,\) é uma partição de \(S\). Podemos decompor \(B\) em partes mutuamente excludentes

$$ A=(A\cap M_{1})\cup\cdots\cup(A\cap M_{k}). $$

Portanto:

$$ P(A)=\sum_{i}P(A\cap M_{i})=\sum_{i}P(A|M_{i})P(M_{i}). $$


Exemplo 10: Na mesma situação anterior, qual a probabilidade de, escolhendo 2 peças, a segunda ter defeito? Novamente temos \(A=\) {1ª com defeito}; \(B=\) {2ª com defeito}. Queremos calcular \(P(B)\). Podemos escrever \(B\) como a união disjunta \(B=\left(B\cap A\right)\cup\left(B\cap\bar{A}\right)\). Então

$$
\begin{array}{rl}
P(B)= & P\left(B\cap A\right)+P\left(B\cap\bar{A}\right)=P(B|A)P(A)+P(B|\bar{A})P(\bar{A}) \\
= & \frac{19}{99}\frac{1}{5}+\frac{20}{99}\frac{4}{5}=\frac{1}{5}.
\end{array}
$$

Exemplo 11: Um produto é manufaturado por 3 fábricas diferentes que chamaremos de \(F_{1},\,F_{2}\)e \(F_{3}\). A quantidade de peças produzida por cada fábrica e a porcentagem de defeitos são exibidas na tabela:

Fábrica produção/dia peças com defeito
F1 2 2%
F2 1 2%
F3 1 4%

Após um certo tempo a produção das 3 fábricas é colocada em um depósito e uma peça é retirada ao acaso. Qual é a probabilidade dela ser defeituosa? Vamos definir os seguintes eventos \(D=\) {peça com defeito}; \(F_i\) = {peça fabricada por \(F_i\)}, \(i=1,2,3\). Podemos usar a união disjunta \(D=\cup_{i}(D\cap F_{i})\) para calcular

$$
\begin{array}{rl}
P(A)=& \sum_{i}P(D\cap F_{i})=\sum_{i}P(D|F_{i})P(F_{i})\\
=& P(D|F_{1})P(F_{1})+P(D|F_{2})P(F_{2})+P(D|F_{3})P(F_{3}) \\
=& 00,2\frac{1}{2}+00,2\frac{1}{4}+00,4\frac{1}{4}=0,025.
\end{array}
$$

Podemos ainda fazer a seguinte pergunta: Suponha que a peça retirada é defeituosa. Qual é a probabilidade de que ela tenha sido produzida na \(F_1?\) Queremos, portanto, \(P(F_{1}|D)\). Usamos

$$
\begin{array}{rl}
P(F_1|D)= & \frac{P(D|F_1)P(F_1)}{P(D)}=\frac{P(D|F_1)P(F_{1})}{\sum_{i=1}^{3}P(D|F_i)P(F_i)}= \\
& \frac{(0,02)\frac{1}{2}}{(0,02)\frac{1}{2}+(0,02)\frac{1}{4}+(0,04)\frac{1}{4}}=0,04,
\end{array}
$$

onde, na segunda igualdade, foi usado o fato de que \({F_i}\) é uma partição do espaço amostral.

Teorema de Bayes

Seja \({B_i}\) uma partição do espaço amostral e \(A\) um evento de \(S.\) Então
$$ P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)\,P(B_i)}{\sum_{k=1}^{3}P(A|B_k)\,P(B_k)},\:i=1,…,\,n. $$

Eventos independentes

Dois eventos são ditos independentes se a ocorrência de um não afeta a probabilidade de ocorrência do outro.

Exemplo 12: Um dado é jogado 2 vezes. Definimos os eventos \(A=\){1º mostra número par}, \(B=\){2º cai 5 ou 6}. Vemos que são dois eventos não relacionados. Temos

$$ P(A)=\frac{1}{2},\;\; P(B)=\frac{1}{3}.$$
$$ P(A\cap B)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}, $$

pois \(A\cap B=\{(2,5),(2,6),(4,5),(4,6),(6,5),(6,6)\}\). Consequentemente

$$ P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{1}{2}. $$

Observamos que \(P(A|B)=P(A).\) Da mesma forma \(P(B|A)=P(B).\)

Definição: \(A\)e \(B\)são eventos independentes se, e somente se, \(P(A\cap B)=P(A)P(B).\)

Uma boa revisão sobre a Teoria dos Conjuntos pode ser vista em Gigamatematica: Conjuntos Enumeráveis

Raízes da Equação do Segundo Grau

Equações do Segundo Grau

Como demonstrar a fórmula das raízes de uma equação do segundo grau?
x1, x2 e x3 são as raízes de f, uma função qualquer.
Usamos a notação [afirmação1] \(\Rightarrow\) [afirmação2] significando que a primeira afirmação implica na segunda, ou seja, que a segunda afirmação decorre logicamente da primeira.

As raízes de uma função qualquer \(y = f(x)\) são os valores de \(x\) que tornam nula a função, \(f(x)=0\). Graficamente são os pontos onde o gráfico da função corta o eixo horizontal, \(\mathcal{O}x\).

No caso de uma função polinomial do segundo grau, \(f(x)=ax^{2}+bx+c\), cujo gráfico é uma parábola, queremos encontrar a solução de
$$ax^{2}+bx+c=0$$

onde \(a,b,c,\) são números reais quaisquer. Caso \(a=0\) a equação é do primeiro grau, muito mais fácil de resolver:
$$bx+c=0 \Rightarrow x=\frac{-c}{b}.$$

Se \(a\neq0\) podemos dividir a equação por \(a\) ficando com

$$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0.$$

A operação seguinte é chamada de completar quadrados e é muito útil em muitos contextos. Note que o produto notável
$$\left( x + \frac{b}{2a} \right)^{2} = x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b}{4a},$$

O que nos permite reescrever a expressão acima como:
$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0,$$

ou ainda
$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}=\frac{b^2-4ac}{4a^{2}}.$$

Uma conveção útil consiste em denotar \(\Delta=b^{2}-4ac\). \(\Delta\) é a letra grega delta, que aqui define o que chamamos de discriminante da equação, por um motivo que já veremos. Temos agora
$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=\frac{\Delta}{4a^{2}}.$$

Extraindo as raízes de ambos os lados temos
$$x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4a^{2}}}=\pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a},$$

sendo que esta é a solução que preocuramos,
$$x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

No Brasil esta tem sido chamada, incorretamente, de fórmula de Bhaskara. Bhaskara foi um grande matemático e algebrista hindu que escreveu sobre tópicos variados. Existem textos que atribuem a ele descobertas importantes até mesmo na área do cálculo diferencial. Parece, no entanto, que não foi ele quem inventou ou provou esta fórmula. Alguns textos atribuem esta autoria a Sridhara, um matemático que viveu quase um século antes de Bhaskara.

O termo \(\Delta\) é chamado de discriminante porque podemos saber se a equação tem raízes reais ou não apenas pelo estudo de seu sinal. Existem três casos:

Figura 1

\(\Delta>0;\) existe \(\sqrt{\Delta}\) real e a equação tem as duas soluções dadas acima;

\(\Delta=0;\) \(\sqrt{\Delta} = 0\) e a equação possui apenas uma solução real, \(x=-b/2a\);

\(\Delta<0;\) não existe \(\sqrt{\Delta}\) real e a equação não possui raízes reais.

As três situações estão ilustradas na figura 1, onde representamos parábolas com \(a>0\), com concavidade voltada para cima, e \(a<0\), com concavidade para baixo.

Outra solução: mudança de coordenadas

Às vezes você consegue mostrar um resultado, ou resolver um exercício de uma forma diferente daquela que aparece no seu livro texto ou que foi mostrada por seu professor. Sempre é útil explorar estas outras possibilidades e, por isso, vamos desenvolver uma outra forma de chegar à mesma conclusão já exibida.

Observe que as raízes de uma equação do segundo grau na forma de \(y=ax^{2}+c\) (onde \(b=0\)) são simples de serem obtidas
$$
x^{2}=-\frac{c}{a}\Rightarrow x=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}.
$$

Figura 3

Uma equação deste tipo correponde à uma parábola simétrica em torno do eixo \(\mathcal{O}y\), (figura 3). O vértice desta parábola ocorre em \(x=0\), enquanto o vértice da parábola mais geral ocorre em \(x=-b/2a.\) Podemos fazer uma transformação de coordenadas deslocando o eixo \(\mathcal{O}x\) fazendo \(X=x+b/2a\), onde \(X\) (maiúsculo) foi usado para diferenciar da antiga coordenada. Isso equivale a estabelecer outro sistema de coordenadas de forma a fazer com que a parábola tenha seu vértice em \(X=0\), o que é mostrado na figura 4. Como
$$
x=X-\frac{b}{2a} \;\;\; \mbox{ portanto } \;\;\; x^{2}=X^{2}-\frac{b}{a}X+\frac{b^{2}}{4a^{2}}
$$
e a expressão da parábola pode ser escrita da seguinte forma
$$
y=aX^{2}-bX+\frac{b^{2}}{4a}+bX-\frac{b^{2}}{2a}+c=aX^{2}-\frac{b^{2}}{4a}+c.
$$

Figura 4

As raizes são, portanto,
$$
X=\pm\frac{1}{2a}\sqrt{b^{2}-4ac}.
$$
Como \(x=X-b/2a\), podemos encontrar a solução para \(x\):
$$
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
$$
como esperado! Esta é uma solução um pouco mais complexa que a primeira mas esta técnica (a de se encontrar outro sistema de coordenadas que simplificam a solução de um problema) é usada em muitas situações, na matemática e suas aplicações. Vale a pena conhecer e dominar este conceito!

Raízes complexas

Este é um tópico um pouco mais avançado, normalmente só visto nos últimos semestres do ensino médio. No entanto não há porque um aluno curioso não possa ler e compreender esta seção! Leia também, neste site, a história dos números complexos e (muitas) outras mais operações que se pode fazer com eles, na seção sobre história do cálculo e no texto sobre variáveis complexas.

Este é um bom momento para antecipar um tópico muito interessante e útil da matemática – os números complexos. Historicamente os complexos só foram compreendidos com o estudo das equações do terceiro grau. No entanto não precisamos de tanto para introduzir e compreender estes números. Suponha, por exemplo, que precisamos resolver a seguinte equação do segundo grau: \(x^{2}+1=0\). Ela corresponde ao caso \(a=1, b=0, c=1\), da equação geral, ou seja \(\Delta=-1\) e não soluções reais. Temos
$$x^{2}+1=0\Rightarrow x^{2}=-1\Rightarrow x^{2}=\pm\sqrt{-1}.$$

Como sabemos, nenhum número real é raiz quadrada de \(\sqrt{-1}\) pois \((-1)^{2}=+1\) e \((+1)^{2}=+1\). Este problema intrigou os matemáticos por muito tempo, até que se propôs tratar o número \(i=\sqrt{-1}\) nas equações como obedecendo as mesmas regras sob as operações já usadas com os números reais. Suas propriedades foram estudadas e \(i\) foi denominado de “a unidade imaginária” (um nome um tanto infeliz que acabou por causar certa confusão e dificuldade na aceitação de seu uso).
Com esta convenção a raiz quadrada de um numero negativo pode ser obtida, por exemplo:
$$\sqrt{-9}=\sqrt{-1\times9}=\sqrt{-1}\sqrt{9}=3i.$$

Isto está correto \((3i)^2=-9\). Esta obordagem se mostrou eficaz e os números complexos (que possuem partes imaginárias) são de grande importância teórica e nas aplicações da matemática.
As seguintes consequências podem ser verificadas:
$$i^2 = i\times i=\left(\sqrt{-1}\right)^{2}=-1;$$
$$i^3 = i\times i\times i=i^2 \times i =-i;$$
$$i^4 = i^2\times i^2=(-1) \times (-1) =+1;$$

e assim por diante. Vamos ver como isso funciona resolvendo a seguinte equação de segundo grau
$$x^{2}-2x+2=0.$$

Identificamos que, neste caso, \(a=1,\,b=-2,\,c=2\). O discriminante é \(\Delta=b^2-4ac=-4\). Opa! Temos ai um caso de equação que não possui raíz real. Mas, como combinado, usaremos \(\sqrt{-4}=2i,\) de onde vemos que as raízes são
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2\pm21}{2}=1\pm i.$$

Figura 2

Isto significa que encontramos duas raízes distintas: \(x=1+i\) e \(x=1-i\) que podem ser verificadas substituindo-se estes valoes na equação original.

Um número da forma \(x=a+ib\), onde a e b são reais, é denominado um número complexo. Ele possui uma parte real, a, e uma parte imaginária, b. Estes números podem ser representados no plano de Argand, figura 2, onde a parte real é desenhada ao longo do eixo \(x\) (horizontal), a parte imaginária ao longo do eixo \(y\) (vertical).

Representamos matematicamente este conjunto da seguinte forma:
$$\Bbb{C}=\left\{ x+iy;\,x,y\in\Bbb{R}\right\} .$$

Desafios e Quebra-Cabeças

Um problema de lógica razoavelmente difícil! Vejo alguém de olhos azuis!

O Problema de Monty Hall

A televisão americana manteve por muitos anos um programa chamado Let’s make a deal! (Vamos negociar). Nele o apresentador (que era o canadense Monty Hall) apresentava três portas fechadas para um concorrente. Em uma delas havia um automóvel, nas duas outras uma cabra. O concorrente ganharia o automóvel se escolhesse a porta com o automóvel. Uma vez escolhida uma das portas Hall abria outra porta entre as restantes, onde havia uma cabra, e perguntava ao concorrente se ele queria trocar de portas. O que você deve fazer para ter maior chance de ganhar o automóvel?

Sem perda de generalidade, vamos supor que você tenha escolhido a porta nº 1. O anfitrião do programa então abre a porta nº 3, que tem uma cabra. E diz: “Você quer trocar para a porta nº 2?”
É vantajoso mudar de escolha?

Muitos estatísticos se recusaram (e ainda se recusam) a aceitar essa solução e sua explicação, embora provas formais tenham sido desenvolvidas para mostrar isso. Conta-se que até Paul Erdös, um dos matemáticos modernos mais prolíficos, se recusou a aceitá-la até ver uma simulação de computador que mostra que essa é a escolha correta.

Encontre a Jóia Falsa

Você tem em mãos 9 pedras do mesmo tamanho e mesma aparência. Todas são diamantes, exceto uma delas, constituída de material mais leve. Você tem uma balança de pratos (que apenas serve para comparar pesos).

Como encontrar a pedra falsa fazendo apenas 2 pesagens?

Mais uma na Balança

Você recebe um carregamento de 10 caixas. Em cada caixa há 10 objetos de peso igual e conhecido, exceto por uma delas onde, por defeito na fabricação, todos os objetos pesam, cada um, 1kg a mais que os das outras caixas. O único instrumento disponível é uma balança graduada onde é possível ler o peso em kg.

Como descobrir a caixa com os objetos defeituosos fazendo apenas uma única medida?

A Distância mais Curta

Figura 1

Dados dois pontos A e B que estão do mesmo lado de uma reta r e não são pontos desta reta, qual é o caminho mais curto ligando A e B e que toca a reta r, (figura 1)?

Gauss e a soma dos 100 primeiros inteiros

Conta-se que Gauss teria encontrado a soma dos 100 primeiros inteiros em 30 segundos, na escola primária. Seu professor, aborrecido com a algazarra que faziam as crianças, teria mandado que todos calculassem esta soma e Gauss apresentou a resposta rapidamente. Esta é, na verdade, uma operação que pode ser feita de cabeça se você tiver a criatividade de Gauss …

Os olhos azuis na Ilha

Um problema de lógica razoavelmente difícil.

Este é um problema bem definido e com solução lógica. Não é uma pegadinha nem um jogo de palavras.

200 pessoas moram em uma ilha, 100 com olhos azuis, 100 com olhos castanhos e uma guru, com olhos verdes. Ninguém na ilha sabe a cor de seus próprios olhos, não pode olhar em espelhos nem contar um ao outro qual é esta cor. Todos são excelentes lógicos – se uma conclusão pode ser deduzida logicamente eles o farão imediatamente. Todos podem ver os olhos dos demais moradores a qualquer momento e podem contar quantas pessoas têm olhos de cada cor.

Uma pessoa de olhos azuis pode ver 100 pessoas com olhos castanhos e 99 pessoas com olhos azuis (e uma com verde, a guru), mas isso não permite que ele saiba a cor de seus próprios olhos; para ele podem existir 101 pessoas de olhos castanhos e 99 de olhos azuis. Ou ele poderia até ter olhos verdes ou pretos!

Todas as noites um barco pára na ilha e qualquer morador que descobrir a cor de seus olhos deixará a ilha. Todos conhecem as regras aqui listadas.

Um dia, antes que chegue o barco, a guru anuncia para todos:

Posso ver alguém de olhos azuis.

Quem deixa a ilha, e em que noite?

O Teste de Wason

O teste de Wason foi usado para testar competência de seus sujeitos (as pessoas testadas). No estudo original, feito em 1966, apenas 10% dos testados acertavam a resposta. Quatro cartas estão dispostas em uma mesa à sua frente mostrando A, 7, D e 4.

Você recebe a informação de que cada uma delas contém uma letra em uma face, um dígito na outra. Você deve verificar a seguinte hipótese: todas as cartas que contém uma vogal contém um número par. Quais cartas devem ser levantadas para verificar a hipótese?


Leia mais sobre o Vies de Confirmação e Teste de Wason.

Rolagem de discos

Esta questão apareceu no SAT americano (um teste usado para admissões nas universidades, aplicado no mundo todo) em 1982. Apenas 3 alunos entre os 300 mil que fizeram o teste acertaram. Até os examinadores que prepararam o problema erraram a solução e a questão teve que ser retirada da pontuação. No entanto é possível resolver essa questão com conhecimentos do nosso ensino médio.

O raio do disco A (vermelho, na figura) é de 1/3 do raio do disco B (azulado). O disco A desliza sem escorregar sobre o disco B até dar uma volta completa em torno do disco B e retornar para a sua posição original.

Quantas voltas o disco A terá dado em torno de si mesmo?