2. Funções Analíticas

Funções de uma variável complexa

Uma função \(f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}\) é uma operação que transforma pontos do plano complexo em outros pontos. A cada função de uma variável complexa
$$
w=f\left( z\right) =u\left( x,y\right) +i\left( x,y\right)
$$
estão associadas duas funções reais: \(u\left( x,y\right) =\text{Re}f\left( z\right) \;\text{ e }\; v(x,y)=\text{Im}f\left( z\right)\). Como estas funções levam pontos do plano \(\mathbb{C}\) em pontos de \(\mathbb{C}\) há uma dificuldade natural em se visualizar geometricamente seu efeito. Em algumas situações é útil visualizar funções complexas como transformações. Neste caso se observa como um determinado conjunto de pontos de \(\mathbb{C}\) é levado no próprio \(\mathbb{C}\) pela função.

Exemplo 1: O valor absoluto é uma função que tem como argumento números complexos e retorna números reais: \(\;f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{R}\). Representaremos esta função por \(\;f(z) = \left\vert z \right\vert\) e a definimos como
$$
w=f\left( z\right) =\left\vert z\right\vert =\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
$$
A imagem desta função é \(\mathbb{R}^{+}\).

Exemplo 2: A função
$$
w=f\left( z\right) =\frac{2z-3i}{\left( z-2\right) \left( z+i\right) }
$$
é válida para todos os pontos de \(\mathbb{C}\), exceto \(z=2\) e \(z=-i\). Seu domínio é, portanto, \(D\left(f\right) =\mathbb{C}-\left\{ 2\right\} -\left\{ -i\right\}\).

Exercício Resolvido: Encontre as partes real e imaginária da função
$$
w=\frac{3}{z-5}.
$$
Em coordenadas cartesianas temos
$$
w=\frac{3}{x-5+iy}=\frac{3\left( x-5-iy\right) }{\left( x-5\right) ^{2}+y^{2}}=\frac{3x-15-3iy}{\left( x-5\right) ^{2}+y^{2}}.
$$
Portanto
$$
u\left( x,y\right) = \frac{3x-15}{\left( x-5\right) ^{2}+y^{2}} \;\;\;\;\text{ e }\;\;\;\; v\left( x,y\right) =\frac{3y}{\left( x-5\right) ^{2}+y^{2}}
$$
são as partes real e imaginária, respectivamente.

Limites e Continuidade

Algumas definições são necessárias para prosseguirmos nosso estudo.

Definição: Se \(z_{0}\) é um ponto de acumulação do domínio \(D\) de uma função \(f\) então
$$
\lim_{z\rightarrow z_{0}}f\left( z\right) =L
$$
se, dado qualquer \(\epsilon >0\) existe um \(\delta >0\) tal que
$$
z\in D,\;0<\left\vert z-z_{0}\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( z\right) -L\right\vert <\epsilon .
$$
Equivalentemente:
$$
z\in D\cap V_{\delta }\left( z_{0}\right) \Rightarrow f\left( z\right) \in V_{\varepsilon }\left( L\right).
$$

Definição: Se \(\lim_{z\rightarrow z_{0}}f\left( z\right) =f\left( z_{0}\right)\) então \(f\) é contínua em \(z_{0}\).

Teorema: Seja \(f=u+iv\) e \(L=U+iV\). Então
$$
\lim_{z\rightarrow z_{0}}f\left( z\right) =L\Longleftrightarrow \lim_{z\rightarrow z_{0}}u=U\text{ }\;\;\;\;\;\text{ e }\;\;\;\;\lim_{z\rightarrow z_{0}}v=V.
$$

Corolário: Uma função \(f\left(z\right) =u\left( x,y\right) +iv\left( x,y\right)\) é contínua se, e somente se, as funções \(u\) e \(v\) são contínuas.

Teorema: Se \(\lim_{z\rightarrow z_{0}}f\left( z\right) =F\) e \(\lim_{z\rightarrow z_{0}}g\left( z\right) =G\) então

(a) \(\lim_{z\rightarrow z_{0}}\left[ f\left( z\right) +g(z)\right] =F+G\)(b) \(\lim_{z\rightarrow z_{0}}\left[ f\left( z\right).g(z)\right] =F.G\)

(c) \(\lim_{z\rightarrow z_{0}}\left[ f\left( z\right) /g(z)\right] =F/G\), se \(G\neq 0\).

Teorema: Se \(\lim_{z\rightarrow z_{0}}f\left( z\right) =F\) então existe uma vizinhança \(V_{\delta }\left( z_{0}\right)\) onde \(f\left(z\right)\) é limitada.

Teorema: A soma e o produto de funções contínuas são contínuas. O quociente é contínuo se o denominador não se anula.

Analiticidade

Diferente do que acontece com as funções de uma variável real, quando se analisa o comportamento de uma função de uma variável complexa na vizinhança de um ponto \(z_{0}\) é necessário considerar os diferentes caminhos tomados para se chegar a \(z_{0}\) no plano complexo. De modo análogo ao que ocorre com funções de duas variáveis reais, diremos que uma função \(f:D\rightarrow \mathbb{C}\) é derivável em \(z_{0}\) se sua derivada não depende do caminho tomado para se chegar a \(z_{0}\).

Definição: Uma função \(f:D\rightarrow \mathbb{C}\) é derivável em \(z\in D\) se existe o limite
$$
\lim_{\Delta z\rightarrow 0}\frac{f\left( z+\Delta z\right) -f\left(
z\right) }{\Delta z}\equiv f^{\prime }\left( z\right).
$$
Este limite deve ser único, não podendo depender de como \(z+\Delta z\) se aproxima de \(z\) ou, equivalentemente, de como \(\Delta z\rightarrow 0\).

Exemplo 3: A função \(f\left( z\right) =\left\vert z\right\vert ^{2}\) não é derivável em nenhum ponto de \(\mathbb{C}\). Para ver isto fazemos \(f\left( z\right) =\left\vert z\right\vert ^{2}=z \bar{z}\) e, usando a definição,
$$
f^{\prime }\left( z\right) =\lim_{\Delta z\rightarrow 0}\frac{\left(
z+\Delta z\right) \left( \bar{z}+\Delta \bar{z}\right) -z\bar{z}}{\Delta z}
=\lim_{\Delta z\rightarrow 0}\frac{z\Delta \bar{z}}{\Delta z}+\Delta \bar{z}+
\bar{z}.
$$
Escrevendo o incremento em forma polar,
$$
\Delta z=re^{i\theta };\ \Delta \bar{z}=re^{-i\theta },
$$
e lembrando que \(\Delta z\rightarrow 0\) equivale a \(r\rightarrow 0\) temos que
$$
f^{\prime }\left( z\right) =\lim_{r\rightarrow 0}\ \left( ze^{-2i\theta
}+re^{-i\theta }+\bar{z}\right) =ze^{-2i\theta }+\bar{z}.
$$
Observe que este limite depende do ângulo \(\theta\) com que se aproxima de \(z\) e, portanto, o limite não é único. Dizemos que esta função só tem derivada no ponto \(z=0\) e, neste ponto, \(f^{\prime}\left( 0\right) =0\).

Definição: Uma função \(f:D\rightarrow \mathbb{C}\) é analítica em uma região \(R\) se é derivável em cada ponto de \(R\). \(f\) é analítica no ponto \(z_{0}\) se é analítica numa vizinhança \(V_{\delta }\left( z_{0}\right)\). Uma função é dita inteira se for analítica em todo o plano complexo. As expressões holomorfa ou regular são também empregadas.

Regras de derivação

As funções elementares, extendidas para o plano complexo, são analíticas. Veremos alguns exemplos simples deste fato.

Exemplo 4: A função contínua \(f\left( z\right)=z_0\;\) (uma constante) é analítica e sua derivada é nula em todo ponto.

Exemplo 5: Se \(f\left( z\right) =z^{2}\) então
$$
f^{\prime }\left( z\right) =\lim_{\Delta z\rightarrow 0}\frac{f\left(
z+\Delta z\right) -f\left( z\right) }{\Delta z}=\lim_{\Delta z\rightarrow 0}
\frac{\left( z+\Delta z\right) ^{2}-z^{2}}{\Delta z}=
$$
$$
= \lim_{\Delta z\rightarrow 0}\frac{2z\Delta z+\Delta z^{2}}{\Delta z}==\lim_{\Delta z\rightarrow 0}2z+\Delta z=2z.
$$
Observe que este limite não depende de como \(\Delta z\rightarrow 0\). Usando o binômio de Newton podemos generalizar este resultado para funções \(f\left( z\right) =z^{n}\), cujas derivadas são
$$
f^{\prime }\left( z\right) =nz^{n-1}.
$$

Observamos que a soma e o produto de funções analíticas são analíticas. O quociente é analítico se o denominador for não-nulo. As seguintes regras se aplicam:

a. \(\left(f+g\right)^{\prime}=f^{\prime}+g^{\prime }\)
b. \(\left(fg\right)^{\prime}=f^{\prime}g+fg^{\prime }\)
c. \(\left(\frac{f}{g}\right)^{\prime}=\frac{f^{\prime}g-fg^{\prime }}{g^{2}},\;\;\text{ se }\;\;g\neq 0\).

Além disto temos um resultado importante: se \(f\) é uma função derivável em \(z_{0}\) então ela é contínua neste ponto. Para ver isto notamos que
$$
f^{\prime }\left( z_{0}\right) =\lim_{z\rightarrow z_{0}}\frac{f\left(z\right) -f\left( z_{0}\right) }{z-z_{0}}.
$$
Definimos

(1)

$$
g\left( z\right) =\frac{f\left( z\right) -f\left( z_{0}\right) }{z-z_{0}}-f^{\prime }\left( z_{0}\right)
$$
e, portanto,
$$
\lim_{z\rightarrow z_{0}}g\left( z\right) =0.
$$
De (1) podemos escrever
$$
f\left( z\right) =f\left( z_{0}\right) +\left( z-z_{0}\right) g\left(z\right) +\left( z-z_{0}\right) f^{\prime }\left( z_{0}\right)
$$
e, desta última expressão
$$
\lim_{z\rightarrow z_{0}}f\left( z\right) =f\left( z_{0}\right).
$$
Logo ela é contínua.

Exemplo 6: A função
$$
f\left( z\right) =\frac{\left( z+i\right) \left( 3z+1\right) ^{2}}{z\left(z-i\right) \left( z+2\right) ^{2}}
$$
só deixa de ser analítica nos pontos \(z=0\), \(z=i\) e \(z=-2\).

Condições de Cauchy-Riemann

Seja \(f\left( z\right) =u+iv\) uma função derivável em \(z=x+iy\). Então o limite
$$
\lim_{\Delta z\rightarrow 0}\frac{f\left( z-\Delta z\right) -f\left(
z\right) }{\Delta z}=f^{\prime }\left( z\right)
$$
existe e independe de como \(\Delta z\rightarrow 0\). Tomamos em particular dois caminhos. Fazendo \(\Delta z=k\), que corresponde a \(z\) se aproximando de \(z_{0}\) ao longo do eixo real, temos
$$
f^{\prime }\left( z\right) =\lim_{k\rightarrow 0}\frac{1}{k}\left[ u\left(
x+k,y\right) +iv\left( x+k,y\right) -u\left( x,y\right) -iv\left( x,y\right)
\right]
$$
$$
=\lim_{k\rightarrow 0}\frac{1}{k}\left[ u\left( x+k,y\right) -u\left(
x,y\right) +iv\left( x+k,y\right) -iv\left( x,y\right) \right] =
$$
$$
=\frac{\partial u\left( x,y\right) }{\partial x}+i\frac{\partial v\left(
x,y\right) }{\partial x}.
$$
Por outro lado, fazendo \(\Delta z=it\), o que corresponde a tomar \(z\) se aproximando de \(z_{0}\) ao longo do eixo imaginário, temos
$$
f^{\prime }\left( z\right) =\lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{it}\left[ u\left(x,y+t\right) +iv\left( x,y+t\right) -u\left( x,y\right) -iv\left( x,y\right)
\right].
$$
Para explicitar as partes real e imaginária deste limite multiplicamos numerador e denominador por \(-i\),
$$
f^{\prime }\left( z\right) =\lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t}\left[ v\left(x,y+t\right) -v\left( x,y\right) -iu\left( x,y+t\right) +iu\left( x,y\right) \right] =
$$
$$
=\frac{\partial v\left( x,y\right) }{\partial y}-i\frac{\partial u\left(x,y\right) }{\partial y}.
$$
Para que a função seja derivável os limites tomados para os dois casos devem ser iguais. Identificando as partes reais e imaginárias chegamos às equações de Cauchy-Riemann:
$$
\frac{\partial u\left( x,y\right) }{\partial x}=\frac{\partial v\left(x,y\right) }{\partial y};
$$
$$
\frac{\partial u\left( x,y\right) }{\partial y}=-\frac{\partial v\left(x,y\right) }{\partial x}.
$$
Para simplificar a notação faremos
$$
\frac{\partial u}{\partial x}=u_{x};\;\ \frac{\partial v}{\partial y}=v_{y};\ \;\frac{\partial u}{\partial y}=u_{y};\ \;\frac{\partial v}{\partial x}=v_{x},
$$
de forma que as equações de Cauchy-Riemann podem ser escritas simplesmente como
$$
u_{x}=v_{y};\;\;\ \;u_{y}=-v_{x}.
$$
Estas condições, no entanto, são necessárias mas não suficientes para que \(f=u+iv\) seja uma função analítica. O seguinte teorema exibe as condições para que isto seja verdadeiro.

Teorema: Sejam \(u\left( x,y\right)\) e \(v\left(x,y\right)\) funções reais com derivadas parciais contínuas numa região \(R\). Então as equações de Cauchy-Riemann são condições necessárias e suficientes para que \(f=u+iv\) seja analítica.

Observe que, para uma função analítica, podemos tomar\ \(\Delta z\rightarrow 0\) ao longo de qualquer caminho, em particular podemos fazer \(\Delta z=\Delta x\), como fizemos na derivação das equações de Cauchy-Riemann. Sua derivada é, portanto
$$
\frac{df\left( z\right) }{dz}=\frac{\partial f\left( z\right) }{\partial x}.
\label{dparc}
$$
Se for conveniente podemos também usar a derivada parcial em \(y\).

Exemplo 8: A função \(f\left( z\right) =\bar{z}\) não é analítica. Note que \(\bar{z}=x-iy\). Dai
$$
u\left( x,y\right) =x,\; v\left( x,y\right) =-y,\; u_{x}=1,\; v_{x}=0,\; u_{y}=0,v_{y}=-1.
$$

Exemplo 9: Como já sabemos a função \(f\left(z\right) =z^{2}\) é analítica. Observe que, em coordenadas cartesianas,
$$
f\left( z\right) =\left( x+iy\right) ^{2}=x^{2}-y^{2}+2xyi.
$$
Suas partes real e imaginária são
$$
u\left( x,y\right) =x^{2}-y^{2};\ \ v\left( x,y\right) =2xy
$$
e suas derivadas parciais

(2)

$$
\begin{array}{ll}
\frac{\partial u}{\partial x}=2x, & \frac{\partial v}{\partial y}=2x \\
\frac{\partial u}{\partial y}=-2y,\ \ \ \ & \frac{\partial v}{
\partial x}=2y.
\end{array}
$$
Como \(u_{x}=v_{y}\), \(\ u_{y}=-v_{x}\) e as derivadas parciais são contínuas então a função é analítica. Sua derivada é, usando (2),
$$
\frac{dz^{2}}{dz}=\frac{\partial z^{2}}{\partial x}=u_{x}+iv_{x}=2x+2iy=2z.
$$

Exemplo 10: Vamos verificar que se a função \(f\left(z\right) =1/z\) é analítica e encontrar sua derivada. Precisamos primeiro escrever a função de forma a explicitar sua parte real e imaginária,
$$
f\left( z\right) =\frac{1}{z}=\frac{1}{x+iy}=\frac{1}{x+iy}\frac{x-iy}{x-iy}=
\frac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}.
$$
Portanto
$$
u\left( x,y\right) =\frac{x}{x^{2}+y^{2}},\;\;\;v\left( x,y\right) =\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}.
$$
Lembrando que a derivada de um quociente é
$$
\left( \frac{f}{g}\right) ^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-fg^{\prime }}{g^{2}}
$$
calculamos
$$
u_{x}=\frac{x^{2}+y^{2}-x\left( 2x\right) }{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}}=
\frac{y^{2}-x^{2}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}},
$$
$$
u_{y}=\partial _{y}\left[ x\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{-1}\right] =\frac{-2xy}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}},
$$
$$
v_{x}=\partial _{x}\left[ -y\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{-1}\right] =\frac{2xy}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}},
$$
$$
v_{y}=-\frac{x^{2}-y^{2}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}}=\frac{y^{2}-x^{2}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}}.
$$
Observamos que as equações de Cauchy-Riemann, \(u_{x}=v_{y},\;u_{y}=-v_{x},\;\) são satisfeitas em todo o plano complexo. No entanto as derivadas parciais de \(u\) e \(v\) não são contínuas em \(\left(x,y\right) =\left( 0,0\right)\) de onde concluímos que \(f\left(z\right)\) é analítica em \(\mathbb{C}-\left\{ 0\right\}\). Fora de \(z=0\) a função é analítica e podemos usar (2) para obter sua derivada:
$$
\frac{d}{dz}\left( \frac{1}{z}\right) =\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{z}\right) =\frac{\partial }
{\partial x}\left( \frac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}\right) =-\frac{1}{z^{2}}.
$$
Obtenha, como um exercício, a última igualdade.

Exercício Resolvido: Verifique se são analíticas e em que região são analíticas as funções:

a. \(f(z)=e^z\)   b. \(f(z) =z\bar{z}\)   c. \(f(z) =1\)

Encontre as derivadas das funções, quando existirem.

a. A função exponencial pode ser escrita como
$$
f\left( z\right) =e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}\left( \cos y+i\text{sen }y\right).
$$
Portanto
$$
u\left( x,y\right) =e^{x}\cos y\;\;\;\Rightarrow \;\;\;u_{x}=e^{x}\cos y,\;\;\;u_{y}=-e^{x}\text{sen }y
$$
$$
v\left( x,y\right) =e^{x}\text{sen }y\;\;\;\Rightarrow \;\;v_{x}=e^{x}\text{sen }y,\;\;\;v_{y}=e^{x}\cos y.
$$
Como as condições de Cauchy Riemann são satisfeitas e as derivadas parciais são contínuas a função é analítica em todo o plano complexo. Além disto sua derivada é
$$
\frac{d\,e^{z}}{dz}=\frac{\partial \,e^{z}}{\partial x}=u_{x}+iv_{x}=e^{x}\cos y+ie^{x}\text{sen }y=e^{x}e^{iy}=e^{z}.
$$

b. A função \(f\left( z\right) =z\bar{z}=(x+iy)\left( x-iy\right)=x^{2}+y^{2}\) só é analítica em \(z=0\) pois
$$
u\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}\;\;\;\Rightarrow \;\;\;u_{x}=2x,\;\;\;u_{y}=2y
$$
$$
v\left( x,y\right) =0\;\;\;\Rightarrow \;\;v_{x}=0,\;\;\;v_{y}=0.
$$

c. Já a função constante \(f\left( z\right) =1\) é analítica em \(\mathbb{C}\) pois \(u=1,\;v=0\), e todas as derivadas são nulas, portanto contínuas. Sua derivada é
$$
\frac{d\,1}{dz}=\frac{\partial \,1}{\partial x}=0.
$$

Equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares

Algumas vezes é mais fácil trabalhar com as funções em coordenadas polares para testar sua analiticidade. Para obter as equações de Cauchy-Riemann nestas coordenadas partimos das relações entre as coordenadas polares e as coordenadas cartesianas,
$$
r\left( x,y\right) =\sqrt{x^{2}+y^{2}};\;\;\theta \left( x,y\right) =\arctan\left( \frac{y}{x}\right)
$$
ou, inversamente,
$$
x=r\cos \theta ,\ \ y=r\text{sen }\theta .
$$
Se \(f\) é uma função de \(x\) e \(y\), que, por sua vez, são funções de \(r\) e \(\theta\),
$$
f=f\left( x\left( r,\; \theta \right) ,\;\; y\left( r,\; \theta \right) \right)
$$
podemos relacionar as derivadas parciais calculadas nos dois sistemas de coordenadas por meio da regra da cadeia:
$$
\frac{\partial f}{\partial r}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{
\partial r}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r},
$$
$$
\frac{\partial f}{\partial \theta }=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{
\partial x}{\partial \theta }+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{
\partial \theta }.
$$
Como estas duas relações são válidas independentemente da função \(f\) considerada podemos escrever as relações de operadores,
$$
\frac{\partial }{\partial r}=\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial x}{
\partial r}+\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r},
$$
$$
\frac{\partial }{\partial \theta }=\frac{\partial }{\partial x}\frac{
\partial x}{\partial \theta }+\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial y}{
\partial \theta }.
$$
Precisaremos das derivadas
$$
\begin{array}{ll}
x_{r}=\cos \theta , & y_{r}=\text{sen }\theta , \\
x_{\theta }=-r\text{sen }\theta ,\ \ \ & y_{\theta }=r\cos \theta .
\end{array}
$$
Então
$$
\frac{\partial }{\partial r}=\cos \theta \frac{\partial }{\partial x}+\text{
sen}\theta \frac{\partial }{\partial y},\; \; \; \; \frac{\partial }{
\partial \theta }=-r\text{sen }\theta \frac{\partial }{\partial x}+r\cos
\theta \frac{\partial }{\partial y}.
$$
Em particular
$$
\begin{array}{ll}
u_{r}=\cos \theta ~u_{x}+\text{sen }\theta ~u_{y}, & v_{r}=\cos \theta ~v_{x}+
\text{sen }\theta ~v_{y}, \\
u_{\theta }=-r\text{sen }\theta ~u_{x}+r\cos \theta ~u_{y},\; \; \; \; &
v_{\theta }=-r\text{sen }\theta ~v_{x}+r\cos \theta ~v_{y}.
\end{array}
$$
Usando as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas cartesianas (\(u_{x}=v_{y}\) e \(u_{y}=-v_{x}\) ) podemos escrever
$$
\begin{array}{ll}
u_{r}=\cos \theta & v_{y}-\text{sen }\theta ~v_{x}=\frac{1}{r}v_{\theta }, \\
u_{\theta }=-r\text{sen }\theta & v_{y}-r\cos \theta ~v_{x}=-rv_{r}.
\end{array}
$$
Estas são, portanto, as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares:
$$
\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta },
$$
$$
\frac{\partial v}{\partial r}=-\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}.
$$
Observe que, se a função é analítica, sua derivada é
$$
\frac{df\left( z\right) }{dz}=\frac{\partial f\left( z\right) }{\partial x}.
$$
A derivada parcial em \(x\) pode ser associada às derivadas em \(r\) e \(\theta\) da seguinte forma: primeiro calculamos as derivadas parciais
$$
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{x}{r}=\cos \theta,
$$
$$
\frac{\partial \theta }{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\text{arctag } \left( \frac{y}{x}\right) =\frac{1}{1+\left( y/x\right) ^{2}}\frac{-y}{x^{2}}
=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}=\frac{-\text{sen }\theta }{r}.
$$
Em seguida, usando a regra da cadeia, temos
$$
\frac{\partial }{\partial x}=\frac{\partial }{\partial r}\frac{\partial r}{
\partial x}+\frac{\partial }{\partial \theta }\frac{\partial \theta }{
\partial x}=\cos \theta \frac{\partial }{\partial r}-\frac{\text{sen }\theta
}{r}\frac{\partial }{\partial \theta }
$$
portanto
$$
\frac{df\left( z\right) }{dz}=\cos \theta \frac{\partial f\left( z\right) }{
\partial r}-\frac{\text{sen }\theta }{r}\frac{\partial f\left( z\right) }{
\partial \theta }.
$$
Apenas como referência vamos listar a derivada parcial em \(y:\)
$$
\frac{\partial }{\partial y}=\frac{\partial }{\partial r}\frac{\partial r}{
\partial y}+\frac{\partial }{\partial \theta }\frac{\partial \theta }{
\partial y}=\text{sen }\theta \frac{\partial }{\partial r}+\frac{\cos \theta
}{r}\frac{\partial }{\partial \theta },
$$
enquanto \(r\) e \(\theta\) tem derivadas em \(y\)
$$
\frac{\partial r}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\sqrt{x^{2}+y^{2}}=
\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{r\text{sen }\theta }{r^{2}}=\text{sen }
\theta ,
$$
$$
\frac{\partial \theta }{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\text{arctag}
\left( \frac{y}{x}\right) =\frac{1}{1+\left( y/x\right) ^{2}}\frac{1}{x}=
\frac{x}{x^{2}+y^{2}}=\frac{\cos \theta }{r}.
$$

Exemplo 11: Vamos verificar se a função \(f\left(z\right) =1/z\) é analítica. Já resolvemos este exercício em coordenadas cartesianas mas vale notar que a verificação fica mais simples em coordenadas polares. Para isto escrevemos

$$
f\left( z\right) =\frac{1}{z}=\frac{1}{re^{i\theta }}=\frac{e^{-i\theta }}{r}
=\frac{1}{r}\left( \cos \theta -i\text{sen }\theta \right).
$$
Portanto
$$
u\left( r,\theta \right) =\frac{1}{r}\cos \theta ,\;\;\;v\left( r,\theta
\right) =-\frac{1}{r}\text{sen }\theta .
$$
Calculamos agora
$$
u_{r}=-\frac{1}{r^{2}}\cos \theta ,\;\;\;\;\;u_{\theta }=-\frac{1}{r}
\text{sen }\theta ,
$$
$$
v_{r}=\frac{1}{r^{2}}\text{sen }\theta, \;\;\;\;\;\;v_{\theta }=-\frac{1}{r}\cos \theta.
$$
portanto \(u_{r}=\frac{1}{r}v_{\theta },\;v_{r}=-\frac{1}{r}u_{\theta }\), as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas. No entanto as derivadas parciais não são contínuas em \(r=0\) logo \(f\left(z\right)\) não é analítica em \(z=0,\;\) como já havíamos concluído usando a representação em coordenadas cartesianas.

Exemplo 12: Verifique se a função \(f\left( z\right) =1/z^{2}\) é analítica. Escrevemos a função em coordenadas polares,

$$
f\left( z\right) =\frac{1}{z^{2}}=\frac{1}{r^{2}e^{2i\theta }}=\frac{
e^{-2i\theta }}{r^{2}}=\frac{1}{r^{2}}\left( \cos 2\theta -i\text{sen }
2\theta \right).
$$
Portanto
$$
u\left( r,\theta \right) =\frac{1}{r^{2}}\cos 2\theta ,\;\;\;v\left(
r,\theta \right) =-\frac{1}{r^{2}}\text{sen }2\theta .
$$
As derivadas parciais de \(u\) e \(v\), em coordenadas polares, são
$$
u_{r}=-\frac{2}{r^{3}}\cos 2\theta ,\;\;\;\;\;u_{\theta }=-\frac{2}{r^{2}}\text{sen }2\theta ,
$$
$$
v_{r}=\frac{2}{r^{3}}\text{sen }2\theta ;\;\;\;\;\;\;v_{\theta }=-\frac{2}{
r^{2}}\cos 2\theta .
$$
portanto \(u_{r}=\frac{1}{r}v_{\theta },\;v_{r}=-\frac{1}{r}u_{\theta }\). As derivadas parciais não são contínuas em \(r=0\;\;\) logo \(f\left(z\right)\) não é analítica em \(r=0\).

Exercício Resolvido: Verifique se são analíticas e em que região são analíticas:
a. \(f\left( z\right) =\frac{1}{z^{3}},\;\;\;\)b.\( \; f\left( z\right) =\sqrt{z}\).

Para estas funções é mais fácil fazer o teste em coordenadas polares.

a. Escrevemos \(z=re^{i\theta }\), logo
$$
f\left( z\right) =\frac{1}{z^{3}}=\frac{1}{r^{3}e^{3\theta i}} =r^{-3}\left( \cos 3\theta -i\text{sen }3\theta \right).
$$
Foi usado aqui
$$
\frac{1}{e^{3\theta i}}=e^{-3\theta i}=\cos \left( -3\theta \right) +i \text{sen }\left( -3\theta \right) =\cos 3\theta -i\text{sen }3\theta ,
$$
pois o cosseno é uma função par enquanto o seno é impar. Temos então
$$
u=r^{-3}\cos 3\theta \;\;\;\Rightarrow \;\;\;u_{r}=-3r^{-4}\cos 3\theta ,\;\;\;u_{\theta }=-3r^{-3}\text{sen }3\theta
$$
$$
v=-r^{-3}\text{sen }3\theta \;\;\;\Rightarrow \;\;v_{r}=3r^{-4}\text{sen }3\theta ,\;\;\;v_{\theta }=-3r^{-3}\cos 3\theta .
$$
Então a função é analítica, exceto em \(z=0\), onde as derivadas parciais não são contínuas. Observe que neste ponto a função nem mesmo está definida.

b. Escrevemos \(z=re^{i\theta }\) e tomamos uma de suas raízes, observando que o mesmo resultado seria obtido com a outra raiz,
$$
f\left( z\right) =\sqrt{z}=\sqrt{re^{i\theta }}=\sqrt{r}e^{i\theta /2}=\sqrt{r}\left( \cos \frac{\theta }{2}+i\text{sen }\frac{\theta }{2}\right).
$$
Temos então
$$
u=\sqrt{r}\cos \frac{\theta }{2}\;\;\;\Rightarrow \;\;\;u_{r}=\frac{1}{2\sqrt{r}}\cos \frac{\theta }{2},\;\;\;u_{\theta }=-\frac{\sqrt{r}}{2}\text{
sen}\frac{\theta }{2},
$$
$$
v=\sqrt{r}\text{sen }\frac{\theta }{2}\;\;\;\Rightarrow \;\;v_{r}=\frac{1}{2
\sqrt{r}}\text{sen }\frac{\theta }{2},\;\;\;v_{\theta }=\frac{\sqrt{r}}{2}
\cos \frac{\theta }{2}.
$$
Então a função é analítica exceto em \(z=0\). Note que a função está definida em \(z=0\) mas suas derivadas parciais, \(u_{r}\) e \(v_{r}\), não são contínuas neste ponto.

Exercício Resolvido: Verifique se é analítica a função logaritmo, \(f\left( z\right) =\ln z=\ln \left(re^{i\theta }\right)\).

Observe que o logaritmo, que voltaremos a estudar ainda neste capítulo, pode ser escrito da seguinte forma, usando a propriedade \(\ln \left(ab\right) =\ln a+\ln b:\)
$$
\ln z=\ln \left( re^{i\theta }\right) =\ln r+\ln e^{i\theta }=\ln r+i\theta ,
$$
para \(0\leq \theta \leq 2\pi\). Nesta região temos
$$
u\left( r,\theta \right) =\ln r,\ \ v\left( r,\theta \right) =\theta .
$$
As derivadas parciais são
$$
\begin{array}{lll}
u_{r}=\frac{1}{r}, & & v_{\theta }=0, \\
v_{r}=0, & & v_{\theta }=1,
\end{array}
$$
e, portanto a função é analítica em todo o plano complexo exceto na origem, onde \(u_{r}\) não é contínua.

Interpretação geométrica da analiticidade

Para o estudo que se segue será útil fazer uma revisão dos conceitos de curva de nível e gradiente. Dada uma função de duas variáveis, \(z=u\left( x,y\right)\), então \(u\left( x,y\right) =k\), uma constante, formam famílias de curvas em \(\mathbb{R}^{2}\), cada curva correspondendo a um valor da constante \(k\). Estas são as chamadas curvas de nível de \(u\) consistindo no conjunto de pontos de \(\mathbb{R}^{2}\) que são levados no mesmo valor \(k\) pela função \(u\). Definimos o gradiente de \(u\) como o vetor
$$
\text{grad}u=\vec{\bigtriangledown}u=\left( \frac{\partial u}{\partial x},~
\frac{\partial u}{\partial y}\right)
$$
e observamos que o gradiente é perpendicular a um vetor tangente às curvas de nível, como ilustrado na figura. Para ver isto note que, sobre as curvas de nível, temos \(u\left( x,y\right) =k\) e portanto
$$
0=du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy=\left(
\frac{\partial u}{\partial x},~\frac{\partial u}{\partial y}\right) \cdot
\left( dx,~dy\right).
$$
Em outros termos temos
$$
\vec{\bigtriangledown}u\cdot d\vec{x}=0\Rightarrow \vec{\bigtriangledown} u\bot d\vec{x}.
$$

Podemos agora enunciar o seguinte teorema:

Teorema: Se a função \(f=u+iv\) é analítica em uma região \(R\) então as curvas de nível das famílias \(u\left( x,y\right) = \; \text{ constante e } \; v\left( x,y\right) =\) constante se cruzam em ângulo reto (são ortogonais) em todo ponto \(z_{0}\in R\) satisfazendo \(\;f^{\prime }\left( z_{0}\right) \neq 0\).

Demonstração: \(\text{grad}u=\vec{\bigtriangledown} u=\left( u_{x},~u_{y}\right)\) é normal às curvas \(u=\) cte enquanto \(\vec{\bigtriangledown}v=\left( v_{x},~v_{y}\right)\) é normal às curvas \(v=\) cte. Tomamos o produto escalar
$$
\vec{\bigtriangledown}u\cdot \vec{\bigtriangledown}v=\left(
u_{x},~u_{y}\right) \cdot \left( v_{x},~v_{y}\right) =u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}.
$$
Usando as condições de Cauchy-Riemann para a analiticade de \(f\) temos
$$
\vec{\bigtriangledown}u\cdot \vec{\bigtriangledown}v=-u_{x}u_{y}+u_{y}u_{x}=0,
$$
de onde concluímos que \(\vec{\bigtriangledown}u\bot \vec{\bigtriangledown}v\).

Observe que estas curvas, \(u\) e \(v\) constante, são curvas no domínio da função no plano complexo, representado pelas coordenadas \(z=x+iy\) como ilustrado na figura. As curvas \(u\) e \(v\) constante na imagem, \(w=f\left( z\right)\) são perpendiculares por definição.

Exemplo 13: Vamos verificar a perpendicularidade estudada acima para a função
$$
w=z^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy.
$$
As curvas \(u\left( x,y\right) =k\) são as hipérboles
$$
x^{2}-y^{2}=k_{1}\Rightarrow \frac{x^{2}}{k_{1}}-\frac{y^{2}}{k_{1}}=1,
$$
enquanto \(v\left( x,y\right) =k\) são também hipérboles, dadas por
$$
2xy=k_{2}\Rightarrow y=\frac{k_{2}}{2x}.
$$
Algumas vezes é útil considerar o último teorema sob a seguinte
forma:

Teorema: Se a função \(f=u+iv\) é analítica em uma região \(R\) então as famílias de curvas

$$
\begin{array}{ll}
F_{1}: & u\left( x,y_{0}\right) +iv\left( x,y_{0}\right) , \\
F_{2}: & u\left( x_{0},y\right) +iv\left( x_{0},y\right) ,
\end{array}
$$

parametrizadas por \(x\) e \(y\) respectivamente, são ortogonais em \(z_{0}\in R\), desde que \(f^{\prime }\left( z_{0}\right) \neq 0\).

Demonstração: Em forma vetorial as famílias \(F_{1}\) e \(F_{2}\) e suas respectivas tangentes, \(t_{1}\) e \(t_{2}\), são
$$
\begin{array}{ll}
F_{1}=\left( u\left( x,y_{0}\right) ,\ v\left( x,y_{0}\right) \right) ;\ &
t_{1}=\frac{\partial F_{1}}{\partial x}=\left. \left( u_{x},~v_{x}\right)
\right\vert _{\left( x_{0},y_{0}\right) },\; \; \\
F_{2}=\left( u\left( x_{0},y\right) ,~v\left( x_{0},y\right) \right) ;\ &
t_{2}=\frac{\partial F_{2}}{\partial y}=\left. \left( u_{y},~v_{y}\right)
\right\vert _{\left( x_{0},y_{0}\right) },
\end{array}
$$
lembrando que as tangentes são calculadas no ponto \(\left(x_{0},y_{0}\right)\). As tangentes são ortogonais, pois, tomando seu produto escalar obtemos
$$
t_{1}\cdot t_{2}=u_{x}u_{y}+v_{x}v_{y}=-u_{x}v_{x}+v_{x}u_{x}=0.
$$
Isto pode ser visualizado na figura abaixo.

Exemplo 14: Vamos visualizar a função \(w=\exp \left(z\right) =e^{z}\) como uma transformação e observar que as curvas \(\left( x_{\ },y_{0}\right)\) e \(\left( x_{0},y\right)\) no plano \(xy\) são levadas em curvas que se interceptam ortogonalmente no plano \(uv\). Notamos primeiramente que
$$
w=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}\left( \cos y+i\text{sen }y\right).
$$
As partes real e imaginária e suas derivadas são
$$
\begin{array}{lll}
u\left( x,y\right) =e^{x}\cos y, & u_{x}=e^{x}\cos y, & u_{y}=-e^{x}\text{sen }y, \\
v\left( x,y\right) =e^{x}\text{sen }y, & v_{x}=e^{x}\text{sen }y, & v_{y}=e^{x}\cos y.
\end{array}
$$
Como as condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas e as derivadas parciais são contínuas a função é analítica. Além disto sua derivada é
$$
\frac{de^{z}}{dz}=\frac{\partial e^{z}}{\partial x}=\frac{\partial }{
\partial x}\left( e^{x+iy}\right) =e^{x+iy}=e^{z},
$$
e
$$
\vec{\nabla}u\cdot \vec{\nabla}v=u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}=0.
$$
A reta \(\left( x,~0\right)\) é levada em \(w=e^x\), que é a semi-reta \(u\gt 0,\; v=0\) do plano \(uv\). A reta \(\left( x,~\pi /4\right)\) é levada em \(w=e^{x}e^{i\pi /4}\), que é a semi-reta bissetriz do primeiro quadrante. A reta \(\left( 0,\ y\right)\) é levada em \(w=e^{iy}\), que é a circunferência de raio \(1\). Estas e outras retas de \(xy\) e sua imagem no plano \(uv\) estão representadas na figura. Observe que nenhum ponto de \(\mathbb{C}\) é levado na origem da imagem.

Exercícios

1. Encontre as partes real e imaginárias das seguintes funções:
$$
\begin{array}{ll}
\text{a) }\;\; w=z^{2}-5z+3 & \;\; \text{b) }\;\; w=\frac{z+2}{z-i} \\
\text{c) }\;\; w=e^{iz} & \;\; \text{d) }\;\; w=\sqrt{z}
\end{array}
$$

2. Qual é o domínio máximo de definição das seguintes funções?

$$
\begin{array}{ll}
\text{a)}\ f\left( z\right) =\frac{z}{x}-\frac{y}{z}\ \ \ \ \
& \text{b)}\ f\left( z\right) =\frac{z^{2}+\left( z-1\right) ^{3}}{\left(
e^{z}-1\right) \cos y}
\end{array}
$$

3. Mostre, usando a definição, que
$$
\frac{d}{dz}\left( \frac{1}{z}\right) =-\frac{1}{z^{2}}
$$
para \(z\neq 0\). Obtenha a mesma derivada usando
$$
\frac{d}{dz}\left( \frac{1}{z}\right) =\frac{\partial }{\partial x}\left(
\frac{1}{z}\right)
$$
na região onde \(f\) é analítica.

4. Calcule as derivadas de
$$
\begin{array}{ll}
\text{a)}\ f\left( z\right) =z^{5}+3iz^{2}-1\ \ \ \ \ & \text{b)
}\ f\left( z\right) =\left( z^{2}-1\right) ^{2}\left( iz+1\right) ^{3} \\
\text{c)}\ f\left( z\right) =\frac{z-1}{z-i} & \text{d)}\ f\left(
z\right) =ze^{iz}
\end{array}
$$

5. Mostre por indução que \(\left( z^{n}\right) ^{\prime }=nz^{n-1}\) para todo \(n\) inteiro positivo.

6. Verifique se são analíticas e, em caso afirmativo, em que região são analíticas e quais as derivadas das funções:
$$
\begin{array}{lll}
\text{a)}\;\;w=z^{3} & \text{b)}\;\;w=e^{y+ix} & \text{c)}\;\;w=\bar{z} \\
\text{d)}\;\;w=\sqrt{z} & \text{e)}\;\;w=e^{-z} & \text{f)}\;\;w=x+iy\; \text{ a identidade.}
\end{array}
$$

7. Dadas as funções
$$
\text{(a)}\;\; w=z^{2}\;\; \text{(b)}\;\; w=\frac{1}{z}
$$
faça os gráficos das famílias de curvas \(\ u\left( x,y\right)=c_{1}\) e\ \(v\left( x,y\right) =c_{2}\) e verifique se elas se cruzam ortogonalmente.

Outras funções importantes

<h3Logaritmo

Embora já tenhamos usado o logaritmo em um exercício para mostrar que é uma função analítica em \(\mathbb{C}\) será útil fazermos um estudo mais completo desta função. Como uma revisão nos lembraremos de que o logaritmo natural ou neperiano pode ser definido como a área sob a curva do hipérbole \(y=1/t\), como ilustrado na figura.

Como consequência temos as propriedades:

i) O logaritmo é a inversa da exponencial: \(y=\ln x\Leftrightarrow x=e^{y}\),
ii) a função está definida para \(x>0\) real, \(\ln 1=0 \text{ e } \ln e=1\),
iii) \(\ln \left( ab\right) =\ln a+\ln b\), \(\ln \left( a/b\right) =\ln a-\ln b\),
iv) \(\ln a^{n}=n\ln a\).
Além disto valem os limites
\(\lim_{x\rightarrow 0}\ln x=-\infty ,\ \lim_{x\rightarrow \infty }\ln x=\infty.\)

Uma das motivações que levaram ao estudo dos números complexos foi exatamente a necessidade de se atribuir algum sentido ao logaritmo de números negativos, que não está definido para os reais. Como veremos a extensão desta função para os complexos está definida em \(\mathbb{C}-\left\{ 0\right\}\). Esta extensão é obtida de modo muito natural escrevendo-se
$$
\ln z=\ln re^{i\theta }=\ln r+\ln e^{i\theta }=\ln r+i\theta ,
$$
lembrando que a parte real está bem definida se \(z\neq 0\) pois, neste caso, \(r=\left\vert z\right\vert >0\). Se \(z\) é real então \(\theta =0\) e \(\ln z=\ln r\) e o logaritmo coincide com a função real. Com esta definição podemos dar um sentido ao logaritmo de um número negativo. Um exemplo disto é a célebre identidade escrita por Euler “associando os 4 números mais importantes”,
$$
e^{i\pi }=-1\Rightarrow \ln \left( -1\right) =i\pi .
$$

Observe, no entanto, que definida desta forma a função tem um problema. Ela é uma função “multivalente” , isto é, o mesmo ponto \(z\) pode corresponder a diversos pontos na imagem, o que não é compatível com a definição usual de uma função. Isto ocorre por uma ambiguidade na forma de se expressar o ponto \(z\), no domínio da função. Um ponto pode ser escrito como
$$
z=re^{i\theta }=re^{i\left( \theta +2k\pi \right) },\ k=0,~\pm 1,~\pm 2,…
$$
que pode ser levado em diversos pontos da imagem,
$$
\ln z=\ln re^{i\left( \theta +2k\pi \right) }=\ln r+i\left( \theta +2k\pi
\right) ,\ k\in \mathbb{Z}.
$$
Para torná-la uma função “univalente” podemos proceder da seguinte forma: para qualquer valor do argumento \(\theta\) em \(z=re^{i\theta }=re^{i\left( \theta+2k\pi \right) }\) tomamos \(\theta _{0}\) como o valor do argumento no intervalo \(\left[ 0,~2\pi \right)\). Então
$$
\theta _{0}=\theta +2k\pi ,\ k\in \mathbb{Z}
$$
e definimos o ramo principal (ou determinação) do \(\ln\) como \(\ln \theta =\ln \theta _{0}\). Se restringirmos \(\arg \left( z\right)\) aos intervalos
$$
2k\pi \leq \theta \lt 2\left( k+1\right) \pi ,\ k\in \mathbb{Z}
$$
teremos para cada valor de \(k\) um ramo do \(\ln\), ou seja
$$
\ln _{k}z=\ln r+i\theta .
$$
O logaritmo fica, desta forma, univocamente determinado se informarmos o ramo que está sendo usado. Os pontos \(\theta =0\) representam uma reta de corte em \(\mathbb{C}\), representada na figura (a) e são chamados pontos de ramificação. Pode ser interessante, dependendo da aplicação, estabelecer outra reta de corte definindo ramos diferentes para o \(\ln\). Podemos tomar
$$
\alpha \leq \theta \lt \alpha +2 \pi \;\;\text{ ou }\;\; \alpha \lt \theta \leq \alpha +2\pi,
$$
como representado na figura (b). Ao tomar estas restrições dizemos que \(\mathbb{C}\) foi cortado ao longo de \(z=re^{i\alpha }\).

Como já visto o logaritmo é analítico em \(z\neq 0\) no ramo principal, conclusão que pode ser ampliada para qualquer ramo. Por outro lado, usando a regra da cadeia, obtemos sua derivada,
$$
\frac{d}{dz}\ln \left( z\right) =\frac{\partial }{\partial x}\ln \left(z\right) =\frac{\partial }{\partial x}\left( \ln r+i\theta \right)
=\left(\frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{\partial\theta }{\partial x}\frac{\partial }{\partial \theta }\right)
\left( \ln r+i\theta \right),
$$
e as derivadas \(r_x=\cos \theta,\;\; r_y=-\text{sen }\theta /r\)
$$
\frac{d}{dz}\ln \left( z\right) =\left( \frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{\partial \theta }{\partial x}\frac{\partial }{\partial \theta }\right) \left( \ln r+i\theta \right) =\left( \frac{1}{r}\frac{\partial r}{\partial x}+i\frac{\partial \theta }{\partial x}\right) =
$$
$$
=\frac{\cos \theta }{r}-i\frac{\text{sen }\theta }{r}=\frac{e^{-i\theta }}{r}=\frac{1}{re^{i\theta }}=\frac{1}{z}.
$$

Um maneira prática de se visualizar o efeito da função logaritmo, e de outras funções igualmente, é encará-la como uma transformação entre pontos de \(\mathbb{C}\). Na tabela seguinte estão listados alguns conjuntos de pontos no domínio e sua imagem pelo logaritmo.

$$
\begin{array}{lll}
\text{Imagem } & z & \text{Domínio, } f\left( z\right) \\
\text{ponto } & z=0 & \ln 0=1 \\
\text{ponto } & z=i & \ln \left( i\right) =i\pi /2 \\
\text{reta } & \theta = cte. & v=\theta \left( \text{reta}\right) \\
\text{círculo } & r=1 & u=0\; \text{ (reta)} \\
\text{círculo } & r \gt 1 & u= \text{ cte. positivo (reta.)}
\end{array}
$$

Cada ramo tem como imagem uma faixa no plano \(w\), satisfazendo \(-\infty\lt u\lt \infty,\;\; 0\leq v \lt 2\pi\). A totalidade dos ramos cobre o plano \(w\). Observe na figura que retas \(\theta =\) cte. no plano \(z\) são levadas em \(w=\ln r+i\theta\) no plano \(w\), que são retas \(u=\) cte., enquanto circunferências \(r=\) cte. são levadas nas retas \(v=\) cte.no plano \(w\). A circunferência \(r=1\) tem como imagem a reta \(u=0\) (o eixo \(\mathcal{O}v)\) enquanto circunferências com raios menores (maiores) que 1 são levadas em retas verticais à esquerda (direita) do eixo \(\mathcal{O}v\).

Observe as funções exponencial e logaritmo são inversas mútuas: tome
$$
w=\ln _{k}z=\ln r+i\left( \theta +2k\pi \right) ,\ k=0,1,2,…
$$
Então, tomando a exponencial deste último termo temos
$$
e^{w}=e^{\ln _{k}z}=e^{\left[ \ln r+i\left( \theta +2k\pi \right) \right]
}=re^{i\left( \theta +2k\pi \right) }=re^{i\theta }=z.
$$
Por outro lado
$$
\ln _{k}\left( e^{w}\right) =\ln _{k}e^{\left[ \ln r+i\left( \theta +2k\pi\right) \right] }
=\ln _{k}\left( re^{i\theta }\right) =\left[ \ln r+i\left(\theta +2k\pi \right) \right] =w,
$$
como foi afirmado. Outras propriedades adicionais do logaritmo são:

i) \(\ln \left( z_{1}.z_{2}\right) =\ln \left( z_{1}\right) +\ln \left(z_{2}\right)\)
ii) Da propriedade anterior se conclui que \(\ln \left( z^{2}\right) =2\ln z\), ou, por indução, \(\ln \left( z^{n}\right) =n\ln z\).

 

Funções trigonométricas e Hiperbólicas

A partir da equação de Euler e seu conjugado complexo
$$
\begin{array}{l}
e^{iy}=\cos y+i\text{sen }y \\
e^{-iy}=\cos y-i\text{sen }y
\end{array}
$$
podemos verificar que as funções trigonométricas seno e cosseno podem ser escritas como
$$\begin{array}{l}
\cos y=\frac{1}{2}\left( e^{iy}+e^{-iy}\right), \\
\text{sen }y=\frac{1}{2i}\left( e^{iy}-e^{-iy}\right),
\end{array}
$$
definidas apenas para valores reais de \(y\). Podemos extender as funções para ter validade sobre todo o plano complexo fazendo
$$
\cos z=\frac{1}{2}\left( e^{iz}+e^{-iz}\right) ,
$$

(3)

$$
\text{sen }z=\frac{1}{2i}\left( e^{iz}-e^{-iz}\right).
$$
De forma análoga definimos
$$
\text{tag}z=\frac{\text{sen }z}{\cos z},\ \text{cotg}z=\frac{\cos z}{\text{sen }z},\ \sec z=\frac{1}{\cos z},\ \csc z=\frac{1}{\text{sen }z},
$$
respectivamente a tangente, cotangente, secante e cossecante. As derivadas das funções continuam formalmente iguais as derivadas no eixo real:
$$
\left( \text{sen }z\right) ^{\prime }=\cos z,\ \left( \cos z\right)^{\prime }=-\text{sen }z,
$$
como pode ser facilmente verificado derivando-se as expressões em (3). Da mesma forma se verifica que
$$
\begin{array}{l}
\text{sen }\left( -z\right) =-\text{sen }z,\ \ \cos \left( -z\right) =\cos z, \\
\text{sen }^{2}z+\cos ^{2}z=1, \\
\text{sen }\left( z_{1}+z_{2}\right) =\text{sen }z_{1}\cos z_{2}+\cos z_{1}\text{sen }z_{2}, \\
\cos \left( z_{1}+z_{2}\right) =\cos z_{1}\cos z_{2}-\text{sen }z_{1}\text{sen }z_{2}, \\
\text{sen }z=\cos \left( \frac{\pi }{2}-z\right) ;\ \ \cos z=\text{sen }\left( \frac{\pi }{2}-z\right).
\end{array}
$$

As funções hiperbólicas são extendidas para o plano complexo através das definições:
$$
\text{senh}z=\frac{1}{2}\left( e^{z}-e^{-z}\right) ,
$$
$$
\cosh z=\frac{1}{2}\left( e^{z}+e^{-z}\right).
$$
Com estas definições valem
$$
\left( \text{senh }z\right) ^{\prime }=\cosh z;\ \ \left( \cosh z\right) ^{\prime }=\text{senh}z.
$$

Exercícios :

1. Mostre que \(\ln \left( -1\right) =\left( 2k+1\right) \pi i\) e \(\ln \left(i\right) =\left( \frac{4k+1}{2}\right) \pi i,~k=0,\pm 1,\pm 2,…\).

2. Mostre que, se \(x\neq 0\),
$$
\ln \left( x+iy\right) =\frac{1}{2}\ln \left( x^{2}+y^{2}\right) +i\left(
\theta _{0}+2k\pi \right) ,
$$
onde \(\theta _{0}\) é uma das determinações de \(\text{arctg}\left( y/x\right)\).

3. Determine as raízes de

$$
\begin{array}{lll}
\text{(a)}\ e^{z}=-1, & & \text{(b)}\ e^{2z}=-e, \\
\text{(c)}\ e^{z}=-\sqrt{3}+3i, & & \text{(d)}\ \ln z=\pi i/2, \\
\text{(e)}\ e^{z}+6e^{-z}=5, & & \text{(f)}\ e^{3z-4}=-1.
\end{array}
$$

4. Mostre as seguintes relações:
$$
\begin{array}{lll}
\text{(a)}\ \left( \text{sen }z\right) ^{\prime }=\cos z, & \text{(b)}\
\left( \cos z\right) ^{\prime }=-\text{sen }z, & \text{(c)}\ \text{sen }^{2}z+\cos ^{2}z=1, \\
\text{(d)}\ \left( \text{senh}z\right) ^{\prime }=\cosh z, & \text{(e)}\ \left( \cosh z\right) ^{\prime }=\text{senh}z, & \text{(f)}\ \text{sen }\left( iz\right) =i\text{senh }z, \\
\text{(g)}\ \cos \left( iz\right) =\cosh z, & \text{(h)}\ \cosh ^{2}z-\text{senh}^{2}z=1, & \text{(i)}\ \text{senh}\left( z+i\pi \right) =-
\text{senh}z, \\
\text{(j)}\ \cosh \left( z+i\pi \right) =-\cosh z, & \text{(k)}\;\; \cos \left(x+iy\right) =\cos x\cosh y-i\text{sen }x\text{ senh }y.&
\end{array}
$$

1. A Álgebra dos Complexos

Números complexos

A álgebra dos complexos

Para compreender a necessidade dos números complexos podemos considerar a solução de equações do tipo

(1)

$$
x^{2}+1=0.
$$

Para obter uma solução definimos \(\sqrt{-1}=i,\) a que damos o nome de unidade imaginária. Como consequência desta definição as raízes de (1) são \(i\) e \(-i\) pois
$$
i^{2}=\left( \sqrt{-1}\right) ^{2}=-1;\,\;\;\;\;\left( -i\right) ^{2}=-1.
$$
Um número complexo é um número na forma \(a+bi,\) possuindo, portanto, uma parte real \(a\) e uma parte imaginária \(b\). O conjunto dos complexos é
$$
\mathbb{C} =\left\{ x+iy;\;x,y\in \mathbb{R} \right\}.
$$
Um número complexo qualquer, \(z=x+iy,\) é composto de parte real e parte imaginária, respectivamente
$$
\begin{array}{ll}
\text{Re}\left( z\right) = & x, \\
\text{Im}\left( z\right) = & y.
\end{array}
$$

Dados dois complexos \(z_{1}=x_{1}+iy_{1}\;\) e \(\; z_{2}=x_{2}+iy_{2}\;\) as seguintes operações podem ser definidas:

Adição: \(z_{1}+z_{2}=\left( x_{1}+iy_{1}\right) +\left(x_{2}+iy_{2}\right) =\left( x_{1}+x_{2}\right) +i\left( y_{1}+y_{2}\right) \)Subtração: \(z_{1}-z_{2}=\left( x_{1}+iy_{1}\right) -\left(x_{2}+iy_{2}\right) =\left( x_{1}-x_{2}\right) +i\left( y_{1}-y_{2}\right) \)

Multiplicação: \(\ z_{1}\cdot z_{2}=\left( x_{1}+iy_{1}\right) \cdot\left( x_{2}+iy_{2}\right) =\left( x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}\right) +i\left(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right) \)

Divisão: para \(z_{2}\) \(\neq 0:\)
$$
\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}=\frac{x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}\frac{x_{2}-iy_{2}}{x_{2}-iy_{2}}=\frac{\left(
x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\right) +i\left( x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}\right) }{\left(
x_{2}\right) ^{2}+\left( y_{2}\right) ^{2}}.
$$

Observe que \(z_{1}=z_{2}\) se, e somente se, \(x_{1}=x_{2}\) e \(y_{1}=y_{2}\), de forma que uma equação complexa envolve, na verdade, duas equações reais.

Representação cartesiana e polar

Figura 1: Representaçãp cartesiana e polar

O conjunto dos complexos pode ser representado por meio do plano complexo, em sua forma cartesiana, mostrada na figura 1 (a) ou polar, figura (b).

As coordenadas cartesianas e polares se relacionam da seguinte forma:

(2)

$$
\left\{
\begin{array}{ll}
x= & r\cos \theta \\
y= & r\text{sen }\theta\end{array}\right. \Rightarrow \left\{
\begin{array}{ll}
r= & \sqrt{x^{2}+y^{2}}, \\
\theta = & \arctan \left( \frac{y}{x}\right).\end{array}\right.
$$
Podemos portanto escrever \(z=x+iy\) como
$$
z=r\left( \cos \theta +i\text{sen }\theta \right) ,
$$
onde as variáveis \(\left( r, \theta \right) \) e \(\left( x, y\right)\) se relacionam de acordo com as expressões em (2).

Definições: O valor absoluto de \(z=x+iy\) é denotado por
$$
\left\vert z\right\vert =\sqrt{x^{2}+y^{2}}=r,
$$
enquanto \(\theta \) é chamado de argumento de \(z,\; \theta =\text{Arg}\left( z\right).\) O conjugado complexo de \(z\) é denotado por \(\bar{z}\) e definido como
$$
\bar{z}=x-iy.
$$

Figura 2: Valor absoluto e complexo conjugado

Vemos na figura 2 que \(\left\vert z\right\vert \) é a distância do ponto até a origem enquanto \(\bar{z}\) é o complexo obtido de
\(z\) por reflexão no eixo real. Observe que, em termos destas definições temos:
$$
z\bar{z}=\left\vert z\right\vert ^{2},
$$
enquanto a divisão entre complexos pode ser escrita como
$$
\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{z_{1}\bar{z}_{2}}{z_{2}\bar{z}_{2}}=\frac{z_{1}\bar{z}_{2}}{\left\vert z_{2}\right\vert ^{2}}.
$$

Exercícios Resolvidos:

(1) Encontre as partes reais e imaginárias dos números complexos:
$$
z_{1}=\frac{1-i\sqrt{2}}{\sqrt{2}+i};\ \;\;\;\;\;\ z_{2}=\left( 1+i\right)^{8}.
$$
Racionalizamos o primeiro:
$$
z_{1}=\frac{1-i\sqrt{2}}{\sqrt{2}+i}\frac{\sqrt{2}-i}{\sqrt{2}-i}=\frac{\sqrt{2}-i-2i-\sqrt{2}}{3}=-i,
$$
e o segundo
$$
z_{2}=\left( 1+i\right) ^{8}=\left[ \left( 1+i\right) ^{2}\right]^{4}=\left( 2i\right) ^{4}=2^{4}=16.
$$
Portanto \(\text{Re}\left( z_{1}\right) =0,\;\text{Im}\left( z_{1}\right)=-1;\;\text{Re}\left( z_{2}\right) =16,\;\text{Im}\left( z_{2}\right) =0.\)

(2) Escreva na sua forma polar e calcule os conjugados complexos de:
$$
z_{3}=i,\;\;z_{4}=\frac{i}{1-i}.
$$
O argumento de \(z_{3}\;\) pode ser visto apenas pela posição do ponto no plano complexo, \(\theta =\pi /2,\,\) enquanto seu valor absoluto é \(\left\vert z_{3}\right\vert =\sqrt{1^{2}+0}=1.\) Então
$$
z_{3}=i=\cos \frac{\pi }{2}+i\;\text{sen }\frac{\pi }{2},
$$
$$
\bar{z}_{3}=\bar{\imath}=-i\;\;\text{ ou }\;\;\bar{z}_{3}=\cos \frac{\pi }{2}-i\;\text{sen }\frac{\pi }{2}.
$$
Quanto a \(z_{4}\;\) é melhor racionalizá-lo antes
$$
z_{4}=\frac{i}{1-i}\frac{1+i}{1+i}=\frac{-1+i}{2}.
$$
Portanto \(x=-\frac{1}{2}\) e \(y=\frac{1}{2}\) e
$$
r=\sqrt{\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}+\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},
$$
$$
\theta =\arctan \left( -1\right) =\frac{3\pi }{4}.
$$
Observe que \(\tan \left( 3\pi /4\right) =\tan \left( 7\pi /4\right) =-1.\) Sabemos no entanto que \(\theta =3\pi /4\) porque \(z_{4}\) está no segundo quadrante. Seu complexo conjugado é:
$$
z_{4}=\frac{-1-i}{2}
$$

Produto e quociente na forma polar

Algumas operações são mais simples se os números dados estão na forma cartesiana, como ocorre na adição. Outras poderão ser muito simplificadas se escrevermos os termos envolvidos em forma polar. Dados
$$
z_{1}=r_{1}\left( \cos \theta _{1}+i\text{sen }\theta _{1}\right) \;\;\text{ e }\;\;z_{2}=r_{2}\left( \cos \theta _{2}+i\text{sen }\theta_{2}\right)
$$
encontramos o produto:
$$
z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\left( \cos \theta _{1}+i\text{sen }\theta _{1}\right)\left( \cos \theta _{2}+i\text{sen }\theta _{2}\right) =
$$
$$
r_{1}r_{2} \left[ \cos \theta _{1}\cos \theta _{2}-\text{sen }\theta _{1}\text{sen }\theta _{2}+i\left( \cos \theta _{1}\text{sen }\theta _{2}+\text{sen }\theta _{1}\cos \theta _{2}\right) \right].
$$
Usando as identidades trigonométricas:
$$\begin{array}{l}
\cos A\cos B-\text{sen }A\text{sen }B=\cos \left( A+B\right), \\
\cos A\text{sen }B+\text{sen }A\cos B=\text{sen }\left( A+B\right),
\end{array}
$$
obtemos
$$
z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\left[ \cos \left( \theta _{1}+\theta _{2}\right) +i\text{sen }\left( \theta _{1}+\theta _{2}\right) \right] .
$$
Isto significa que, para multiplicar dois complexos, multiplicamos seus valores absolutos e somamos seus argumentos. Para efetuar a divisão observe antes que
$$
\frac{1}{\cos \theta _{1}+i\text{sen }\theta _{1}}=\frac{1}{\cos \theta _{1}+i\text{sen }\theta _{1}}\frac{\cos \theta _{1}-i\text{sen }\theta _{1}}{\cos\theta _{1}-i\text{sen }\theta _{1}}=\cos \theta _{1}-i\text{sen }\theta _{1},
$$
já que o denominador é \(\cos ^{2}\theta _{1}+\text{sen }^{2}\theta_{1}=1.\) Temos então que, se \(z_{2}\neq 0,\)
$$
\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}\left( \cos \theta _{1}+i\text{sen }\theta_{1}\right) }{r_{2}\left( \cos \theta _{2}+i\text{sen }\theta _{2}\right) }=\frac{r_{1}}{r_{2}}\left( \cos \theta _{1}+i\text{sen }\theta _{1}\right)\left( \cos \theta _{2}-i\text{sen }\theta _{2}\right) =
$$
$$
\frac{r_{1}}{r_{2}}\left[ \cos \left( \theta _{1}-\theta _{2}\right) +i\text{sen }\left( \theta _{1}-\theta _{2}\right) \right] .
$$

Fórmulas de de Moivre e de Euler

Considere \(n\) números complexos, expressos por
$$
z_{k}=r_{k}\left( \cos \theta _{k}+i\text{sen }\theta _{k}\right),\;\; k=1,..n.
$$
Para multiplicar todos estes números podemos operar dois a dois até incluir os \(n\) números, obtendo
$$
z_{1}z_{2}\ldots z_{n}=r_{1}r_{2}\ldots r_{n} \left[ \cos \left( \theta
_{1}+\theta _{2}+\ldots +\theta _{n}\right) +i\text{sen }\left( \theta
_{1}+\theta _{2}+\ldots +\theta _{n}\right) \right] .
$$
Se todos os \(n\) fatores são iguais temos
$$
z\;\; z\ldots z=z^{n}=r^{n}\left( \cos n\theta +i\text{sen }n\theta \right).
$$
Se \(\left\vert z\right\vert =1\) então \(r=1\) e obtemos a fórmula de de Moivre:
$$
\left( \cos \theta +i\text{sen }\theta \right)^{n}=\left( \cos n\theta +i\text{sen }n\theta \right).
$$
Observe que a fórmula acima vale também para expoentes negativos, pois
$$
\left( \cos \theta +i\text{sen }\theta \right) ^{-n}=\frac{1}{\cos n\theta +i\text{sen }n\theta }=\cos n\theta -i\text{sen }n\theta .
$$
Usando o fato de que o cosseno é par e o seno é ímpar, ou seja,

(3)

$$
\cos \left( -\theta \right) =\cos \theta;\;\;\text{sen }\left( -\theta\right) =-\text{sen }\theta,
$$
podemos escrever
$$
\left( \cos \theta +i\text{sen }\theta \right) ^{-n}=\cos \left( -n\theta\right) +i\text{sen }\left( -n\theta \right).
$$

Outra expressão importante foi obtida por Euler da seguinte forma: partimos das expansões em séries de potências para as funções exponencial, seno e cosseno, respectivamente
$$
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots +\frac{x^{n}}{n!}+\cdots ,
$$
$$
\text{sen }x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots
$$
$$
\cos x=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots.
$$
Fazendo \(x=i\theta \) no argumento da exponencial obtemos
$$
e^{i\theta }=1+i\theta +\frac{\left( i\theta \right) ^{2}}{2!}+\frac{\left(i\theta \right) ^{3}}{3!}+\cdots +\frac{\left( i\theta \right) ^{n}}{n!}+\cdots =
$$
$$
=1+i\theta -\frac{\theta ^{2}}{2!}-\frac{i\theta ^{3}}{3!}+\frac{\theta ^{4}}{4!}+\frac{i\theta ^{5}}{5!}-\cdots.
$$
Agrupando os termos reais e imaginários temos
$$
e^{i\theta }=1-\frac{\theta ^{2}}{2!}+\frac{\theta ^{4}}{4!}-\cdots +i\left(
\theta -\frac{\theta ^{3}}{3!}+\frac{\theta ^{5}}{5!}-\cdots \right).
$$
Podemos agora identificar a parte real com o cosseno e a parte imaginária com o seno e, portanto,
$$
e^{i\theta }=\cos \theta +i\text{sen }\theta.
$$
Ela nos permite escrever números complexos em uma forma alternativa, muito útil para a realização de diversas operações,
$$
z=x+iy=r\left( \cos \theta +i\text{sen }\theta \right) =re^{i\theta }.
$$
Observe que, nesta representação, o complexo conjugado é
$$
\bar{z}=r\left( \cos \theta -i\text{sen }\theta \right) =re^{-i\theta },
$$
onde usamos a paridade das funções trigonométricas, descrita nas equações (3).

A multiplicação e divisão dos complexos se torna bem mais simples se eles estão escritos em sua forma exponencial. Se \(z_{1}=r_{1}e^{i\theta _{1}}\) e \(z_{2}=r_{2}e^{i\theta _{2}}\) então
$$
z_{1}z_{2}=\left( r_{1}e^{i\theta _{1}}\right) \left( r_{2}e^{i\theta
_{2}}\right) =r_{1}r_{2}e^{i\left( \theta _{1}+\theta _{2}\right) },
$$
$$
\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}e^{i\theta _{1}}}{r_{2}e^{i\theta _{2}}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}e^{i\left( \theta _{1}-\theta _{2}\right) }.
$$
Igualmente
$$
z^{n}=\left( re^{i\theta }\right) ^{n}=r^{n}e^{in\theta },
$$
$$
z^{-n}=\frac{1}{r^{n}}e^{-in\theta }.
$$

Extração de raízes

Dados dois números complexos, \(z,\,p\in \mathbb{C}\) dizemos que \(z\) é a raíz enésima de \(p,\) \(z=\sqrt[n\,]{p},\) se \(z^{n}=p.\) Tomando \(p=r\left( \cos \theta +i\text{sen }\theta \right) \) então

(4)

$$
z=\sqrt[n\,]{p}=\sqrt[n\,]{r}\left[ \cos \left( \frac{\theta +2k\pi }{n}\right) +i\text{sen }\left( \frac{\theta +2k\pi }{n}\right) \right] ,
$$
\(k=0,1,\cdots ,n-1.\) Isto está correto porque
$$
z^{n}=r\left[ \cos \left( \theta +2k\pi \right) +i\text{sen }\left( \theta
+2k\pi \right) \right] =r\left[ \cos \theta +i\text{sen }\theta \right] =p,
$$
uma vez que o seno e o cosseno são funções periódicas de período \(2\pi .\) Temos portanto \(n\) raízes distintas,

(5)

$$
z_{k}=\sqrt[n\,]{r}\left[ \cos \left( \frac{\theta +2k\pi }{n}\right) +i\text{sen }\left( \frac{\theta +2k\pi }{n}\right) \right].
$$
Observe que se fizermos \(k=n\) então
$$
z_{n}=\sqrt[n\,]{r}\left[ \cos \left( \frac{\theta }{n}+2\pi \right) +i\text{sen }\left( \frac{\theta }{n}+2\pi \right) \right] =z_{0},
$$
ou seja, retornamos à raiz correspondente à \(k=0.\) Existem portanto \(n\) raízes \(n\)-ésimas distintas de um número complexo qualquer \(p\neq 0.\)

Exercício Resolvido: Calcule as raízes n-ésimas de 1.

Primeiro representamos \(1\) em sua forma polar, correspondendo à \(r=1,\,\theta =0.\) Logo \(1=\cos 0+i\text{sen }0.\) Agora podemos extrair as raizes
$$
w_{k}=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\text{sen }\frac{2k\pi }{n}.
$$
Observe que, se denotarmos
$$
w=\cos \frac{2\pi }{n}+i\text{sen }\frac{2\pi }{n},
$$
podemos representar as demais raízes por meio da fórmula de de Moivre,
$$
w^{k}=\cos \left( \frac{2k\pi }{n}\right) +i\text{sen }\left( \frac{2k\pi
}{n}\right).
$$
Estas são as chamadas raízes da unidade, \(w=\sqrt[n\,]{1},\) dadas por:
$$
1,w,w^{2},\ldots ,w^{n-1}.
$$

Exercício Resolvido: Vamos encontrar as raízes quartas de da unidade, \(\sqrt[4\,]{1}\), um caso particular do exercício anterior. Estas raízes são \(1,\;w,\;w^{2},\;w^{3}\) onde
$$
w=\cos \frac{\pi }{2}+i\text{sen }\frac{\pi }{2}=i.
$$
As demais raízes são
$$
w^{2}=i^{2}=-1,\;\;\;\;\;\text{ e }\;\;\;\;w^{3}=i^{3}=-i.
$$
As raízes são, portanto: \(1,\) \(i\), \(-1,\;-i.\)

Observe que a fórmula (4) para as raízes de um número qualquer pode ser escrita como
$$
z_{k}=\sqrt[n\,]{r}\left( \cos \frac{\theta }{n}+i\text{sen }\frac{\theta
}{n}\right) \left( \cos \frac{2k\pi }{n}+i\text{sen }\frac{2k\pi }{n}\right) =\sqrt[n\,]{r}\left( \cos \frac{\theta }{n}+i\text{sen }\frac{\theta }{n}\right) w^{k}.
$$
As raízes de um número \(z\) qualquer são dadas pelo produto de uma de suas raízes com as raízes \(n-\) ésimas da unidade.

Exercício Resolvido: Calcule as raízes \(\sqrt[3\,]{27}.\)

Uma das raízes é \(3.\) As raízes cúbicas da unidade são \(1,\;w,\;\; w^{3},\) onde
$$
w=\cos \frac{2\pi }{3}+i\text{sen }\frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}.
$$

As raízes são, portanto, \(z_{0}=3,\)
$$
z_{1}=3\left( \cos \frac{2\pi }{3}+i\text{sen }\frac{2\pi }{3}\right) =-\frac{3}{2}+i\frac{3\sqrt{3}}{2},
$$
$$
z_{2}=3\left( \cos \frac{4\pi }{3}+i\text{sen }\frac{4\pi }{3}\right) =-\frac{3}{2}-i\frac{3\sqrt{3}}{2}.
$$
As três raízes estão sobre um círculo de raio \(3\) e são representadas graficamente na figura.

 

Exercício Resolvido: Calcule as raízes cúbicas de \(-1\) e as represente graficamente no plano complexo. Começamos por escrever em forma polar:
$$
\sqrt[3]{-1}=\sqrt[3]{\cos \pi +i\text{sen }\pi }.
$$
Sabemos que temos três raíz:
$$
z_{k}=\cos \frac{\pi +2k\pi }{3}+i\text{sen }\frac{\pi +2k\pi }{3},\;\;k=0,1,2.
$$
Portanto
$$
z_{0}=\cos \frac{\pi }{3}+i\text{sen }\frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\left( 1+i\sqrt{3}\right) ,
$$
$$
z_{1}=\cos \pi +i\text{sen }\pi =-1,
$$
$$
z_{2}=\cos \frac{5\pi }{3}+i\text{sen }\frac{5\pi }{3}=\frac{1}{2}\left(
1-i\sqrt{3}\right).
$$
Note que, se fizermos \(k=3\) obteremos novamente a raiz \(z_{0}.\)

Exercício Resolvido: Calcule as raízes \(\sqrt{-i}\). Observe que
$$
\sqrt{-i}=\sqrt{\cos 3\pi /2+i\text{sen }3\pi /2}.
$$
As duas raízes são, portanto:
$$
z_{k}=\cos \left( \frac{3\pi }{4}+k\pi \right) +i\text{sen }\left( \frac{3\pi }{4}+k\pi \right) ,\;\;k=0,1,
$$
ou seja
$$
z_{0}=\cos \frac{3\pi }{4}+i\text{sen }\frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left( -1+i\right) ,
$$
$$
z_{1}=\cos \frac{7\pi }{4}+i\text{sen }\frac{7\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left( 1-i\right) ,
$$
Representamos graficamente as raízes obtidas nos dois exercícios na figura.

Exercício Resolvido: Decomponha o polinômio \(P\left( z\right)=z^{3}+1\) em um produto de fatores do \(1\)º grau. As raízes de \(P\left( z\right) \) já foram encontradas no problema 2(a). Usando o teorema fundamental da álgebra temos
$$
P\left( z\right) =\left( z-z_{0}\right) \left( z-z_{1}\right) \left(z-z_{2}\right)
$$
ou seja
$$
P\left( z\right) =\left( z+1\right) \left( z-\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt{3}}{2}\right) \left( z-\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2}\right).
$$

Subconjuntos de \(\mathbb{C}\)

Algumas definições são necessárias para a continuidade de nosso estudo e a solução dos próximos exercícios. Façamos uma lista destas definições:

  1. Um disco aberto é a região
    $$
    D_r \left( z_0 \right) =\left\{ z;\;\left\vert z-z_{0}\right\vert \lt r \right\},
    $$
    representada graficamente na figura seguinte.
  2. Uma vizinhança de \(z_{0},\) que denotaremos por \(V_{r}\left( z_{0}\right) \) é qualquer subconjunto de \(\mathbb{C}\) que contenha \(D_{r}\left( z_{0}\right).\)
  3. Dado um conjunto de \(C\subset \mathbb{C}\) chamaremos de seu complementar o conjunto \(C^{\prime }= \mathbb{C} – C,\) o conjunto dos pontos do plano complexo que não estão em \(C.\)
  4. Um ponto \(z_{0}\) qualquer é dito um ponto interior de \(C\) se existe um disco aberto centrado em \(z_{0}\) inteiramente contido em \(C.\)
  5. Um conjunto é aberto se todos os seus pontos são pontos interiores. Um conjunto é fechado se seu complementar é aberto.
  6. A fronteira de \(C\) é o conjunto de pontos \(z\) tais que qualquer vizinhança de \(z\) contém pontos de \(C\) e de seu complementar.
  7. Nenhum ponto interior de um conjunto é um ponto de fronteira.
  8. \(C\) é aberto \(\Leftrightarrow C\) não contém pontos de sua fronteira.
  9. \(C\) é fechado \(\Leftrightarrow C\) contém todos os pontos de sua fronteira.
  10. \(z_{0}\) é um ponto de acumulação de \(C\) se qualquer vizinhança de \(z_{0}\) contém infinitos ponto de \(C.\) Portanto, pontos do interior e pontos da fronteira, pertencendo ou não a \(C,\) são pontos de acumulação.
  11. Um ponto isolado de \(C\) é um ponto de \(C\) que não é ponto de acumulação.
  12. Um aberto \(C\) é conexo se dois quaisquer de seus pontos podem ser unidos por um arco inteiramente contido em \(C.\)
  13. Uma região é um conjunto aberto e conexo.
  14. \(C\) é limitado se existe um número \(k\) positivo tal que \(\left\vert z\right\vert \leq k,\) \(\forall z\in C.\) Um conjunto limitado e fechado é dito compacto.
  15. No conjunto
    $$
    V_{k}=\left\{ z\in C\ ;\ \left\vert z\right\vert >k\right\}
    $$
    incorporamos o infinito (um único ponto!) para formar o chamado plano complexo extendido.

Exemplo: No conjunto infinito
$$
C=\left\{ 0,\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{4},\ldots ,\frac{n}{n+1},\ldots \right\}
$$
\(1\) é o único ponto de acumulação, sendo todos os outros pontos isolados. Note que este único ponto de acumulção não está contido em \(C.\)

Exemplo: Vamos discutir com mais detalhes o conjunto
$$
D_r \left( z_0\right) =\left\{ z;\;\left\vert z-z_{0}\right\vert \lt r \right\}.
$$
Se denotarmos \(z=x+iy\;\) e \(\;z_{0}=x_{0}+iy_{0}\) então
$$\left\vert z-z_{0}\right\vert =\sqrt{\left( x-x_{0}\right) ^{2}+\left( y-y_{0}\right)^{2}}.$$
Portanto os pontos de \(D_r\left(z_0\right)\) satisfazem a relação
$$ \left( x-x_0\right)^{2}+\left(y-y_0\right)^{2} \lt r^{2},$$
ou seja, são os pontos interiores ao círculo de raio \(r\) e centro em \(z_0\).

Exemplo: \(\left\vert z-3i\right\vert \lt 5\) é o disco aberto interior ao círculo de raio 5 e centro em \(3i\), como na figura (a). O conjunto \(z=z_0+re^{i\theta }, 0 \leq \theta \leq 2\pi\) é a circunferência de centro em \(z_{0}\) e raio \(r\).

Exemplo: Qual é o conjunto \(\text{Re}\left(z^{2}\right) \lt 0\)? Observamos primeiro que
$$
\text{Re}\left( z^{2}\right) =\text{Re}\left( r^{2}e^{2i\theta }\right) =r^{2}\cos 2\theta .
$$
O cosseno \(\cos 2\theta\) é negativo em duas situações: \(\pi /2 \lt 2\theta \,\lt 3\pi /2 \;\;\text{ou}\;\; -3\pi /2\lt 2\theta \, \lt -\pi /2.\) O conjunto procurado é a parte do plano complexo dado por
$$
\frac{\pi }{4}<\theta \,\lt \frac{3\pi }{4}\;\; \text{ ou }\;\;\frac{-3\pi }{4}\lt \theta \,\lt \frac{-\pi }{4},
$$
as retas bissetrizes excluídas, como representado na figura.

Exercícios

1. Dados \(z_1 =\left( 3+5i\right)\;\;\text{ e } \;\; z_{2}=\left( -2+i\right)\) calcule \(z_{1}+z_{2},\;\; z_{1}-z_{2},\; z_{1}.z_{2},\; z_{1}/z_{2}.\) Represente graficamente cada um dos números complexos envolvidos.

2. Calcule:
$$
\begin{array}{llll}
\text{(a)}\frac{1}{2+3i}\ \ \ \ \ & \text{(b)}\frac{1+i}{1-i} & \text{(c)} \frac{1-i}{1+i} & \text{(d)} \frac{4-3i}{i-1} \\
\text{(e)}\frac{1}{\left( 1+i\right) ^{2}} & \text{(f)}\ \left( \frac{1+i}{1-i}\right)^{30} & \text{(g)}\ \left( 1-i\right)
\left(\sqrt{3}+i\right). &
\end{array}
$$

3. Mostre que
a.
$$
\sum\limits_{n=0}^{N}i^{n}=\left\{
\begin{array}{ll}
1, & \;\;\text{ se }\;\;r=0, \\
1+i, & \;\;\text{ se }\;\;r=1, \\
i, & \;\;\text{ se }\;\;r=2, \\
0, & \;\;\text{ se }\;\;r=3,
\end{array}\right.
$$
onde \(r\) é o resto da divisão de \(N\) por 4 seja, \(N\equiv r\text{ mod }4.\)

b. \(\left( x+iy\right) ^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy\)

c. \(\left( x-iy\right) ^{2}=x^{2}-y^{2}-2ixy\)

d. \(\left( x+iy\right) ^{2}\left( x-iy\right) ^{2}=\left(x^{2}+y^{2}\right) ^{2}\)

e. \(\left( x+iy\right) ^{n}\left( x-iy\right) ^{n}=\left(x^{2}+y^{2}\right) ^{n}\)

4. Mostre que

a. \(\text{Re}\left[ -i\left( 2-3i\right) ^{2}\right] =-12\)

b. \(\frac{1-i\sqrt{2}}{\sqrt{2}+i}=-i\)

c. \(\text{Im}\left[ \frac{\left( 1-i\sqrt{3}\right) ^{2}}{i-2}\right] =\frac{2}{5}\left( 1+2\sqrt{3}\right) \)

d. \(\frac{1+i\tan \theta }{1-i\tan \theta }=\cos 2\theta +i\text{sen }2\theta \)

5. Escreva na forma polar e represente graficamente:

$$
\begin{array}{llll}
\text{(a) }-2+2i & \text{(b) }1+i\sqrt{3} & \text{(c)} -\sqrt{3}+i & \text{(d)} \left( \frac{i}{1+i}\right) ^{5} \\
\text{(e) }\frac{1}{-1-i\sqrt{3}} & \text{(f)} -1-i & \text{(g)} \frac{-3+3i}{1+i\sqrt{3}}.&
\end{array}
$$

6. Mostre que \(\cos 3\theta =\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \text{sen }^{2}\theta \;\; \text{ e } \text{sen }3\theta =-\text{sen }^{3}\theta +3\cos^{2}\theta \text{sen }\theta.\)
Sugestão: calcule as partes real e imaginária de \(\left( \cos\theta +i\text{sen }\theta \right)^{3}.\)

7. Mostre que: a. \(\left\vert \frac{2+i}{2-i\sqrt{3}}\right\vert =\frac{5}{7}\;\;\;\) b. \(\left\vert \frac{\left( \sqrt{3}+i\right)\left( 1-3i\right) }{\sqrt{5}}\right\vert =2\sqrt{2}.\)

8. Encontre as seguintes raízes e represente-as graficamente:
$$
\begin{array}{llll}
\text{(a) } \sqrt[3]{-1} \;\;\;\; & \text{(b) }\sqrt{2i} & \text{(c) } \sqrt{-2i} & \text{(d) } \sqrt[3]{i} \\
\text{(e) } \sqrt[3]{-i} & \text{(f) } \left( -1+i\sqrt{3}\right) ^{1/4}.& &
\end{array}
$$

9. Decomponha os polinômios em fatores do \(2\)º grau com coeficientes reais:

a. \(P\left( x\right) =x^{4}+1\;\;\;\;\) b. \(P\left( x\right) =x^{4}+9\)

10. Decomponha os polinômios em um produto de fatores do primeiro grau:

a. \(P(z)=z^{6}-64 \)
b. \(P(z)=z^{6}+64\)
c. \(P(z)=z^{4}-\left( 1-i\right) z^{2}-i.\)

11. Mostre que, se \(w\) é uma raíz \(n\)-ésima qualquer da unidade diferente de 1 (\(w=\sqrt{1},\) \(w\neq 1\) ) então
a. \(1+w+w^{2}+\ldots + w^{n-1}=0.\)
b. \(1+2w+3w^{2}+\ldots + nw^{n-1}=\frac{n}{w-1}.\)

12. Escreva na forma exponencial, \(z=re^{i\theta }\):
a. \(1+i,\;\;\;\) b. \(1-i,\;\;\;\) c. \(-1+i,\;\;\;\) d. \(-1-i\).

13. Mostre que:
$$
\begin{array}{ll}
\text{(a)} \exp \left( 3+7\pi i\right) =-e^{3} & \text{(b)} \exp \left( \frac{3-2\pi i}{6}\right) =\frac{\sqrt{e}\left( 1-i\sqrt{3}\right) }{2} \\
\text{(c)} \cos \theta =\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2} & \text{(d)}\ \text{sen }\theta =\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}
\end{array}
$$
14. Represente graficamente os conjuntos no plano complexo:
$$
\begin{array}{llll}
\text{(a) }\text{Re}\left( z\right) <-3 & \text{(b) }\left\vert z-2i\right\vert >2 & \text{(c) }\left\vert z+1\right\vert \leq 2 & \text{(d) }\left\vert z-1+i\right\vert \lt 3 \\
\text{(e) }\text{Im}\left( z^{2}\right) \lt 0 & \text{(f) }\left\vert
z-2\right\vert =\left\vert z-3i\right\vert & \text{(g) }\left\vert
z\right\vert \gt 2, \left\vert \arg \left( z\right) \right\vert <\pi
& \text{(h) }\text{Re}\left( 1-z\right) =\left\vert z\right\vert.
\end{array}
$$

Algumas Soluções

3a. Queremos mostrar que
$$
\sum\limits_{n=0}^{N}i^{n}=\left\{
\begin{array}{ll}
1, & \text{ se }\;\;r=0, \\
1+i, & \;\;\text{ se }\;\;r=1, \\
i, & \;\;\text{ se }\;\;r=2, \\
0, & \;\;\text{ se }\;\;r=3,
\end{array}
\right.
$$
onde \(r\) é o resto da divisão de \(N\) por 4 seja, \(N\equiv r\text{ mod }4\). Denotando \(N=4p+r\) observamos que

$$ i^{N}=i^{4p+r}=i^{4p}\ i^{r}=i^{r} $$
pois \(i^{4p}= (i^4)^p=1\). Este resultado é válido inclusive se \(N \lt 4\) quando \(p=0\). Vamos escrever a soma procurada como

$$ S_{N}=\sum\limits_{n=0}^{N}i^{n}=1+i+i^{2}+\ldots +i^{N} $$
e, portanto,
$$ iS_{N}=\sum\limits_{n=0}^{N}i^{n+1}=i+i^{2}+i^{3}+\ldots +i^{N+1}. $$
Subtraindo
$$ S_{N}-iS_{N}=S_{N}\left( 1-i\right) =1-i^{N+1} $$
temos uma expressão adicional para a soma procurada, ou seja
$$ S_{N}=\frac{1-i^{N+1}}{1-i}=\frac{1-i^{r+1}}{1-i}=S_{r} $$
onde a última igualdade é devida à expressão (4). Isto significa que somar os \(N\) termos equivale a somar os \(r\) primeiros termos:
$$
\begin{array}{l}
S_{0}=\sum\limits_{n=0}^{0}i^{n}=1, \\
S_{1}=\sum\limits_{n=0}^{1}i^{n}=1+i, \\
S_{2}=\sum\limits_{n=0}^{2}i^{n}=1+i+i^{2}=i, \\
S_{3}=\sum\limits_{n=0}^{3}i^{n}=1+i+i^{2}+i^{3}=0.
\end{array}
$$

Veremos que um procedimento semelhante facilitará a solução das questões 11a e 11b.

3e. \(\left(x+iy\right)^{n}\left(x-iy\right)^{n}=z^{n}\bar{z}^{n}=\left(z\bar{z}\right)^{n}=\left(\left\vert z\right\vert ^{2}\right)^{n}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{n}.\)

9a. Para decompor o polinômio \(P\left( x\right) =x^{4}+1\) em fatores do \(2\)º grau com coeficientes reais usaremos o produto notável \(\left( a+b\right) \left( a-b\right) =a^{2}-b^{2}.\) Escrevemos \(1=-i^{2}\) e assim
$$ P\left( x\right) =x^{4}-i^{2}=\left( x^{2}+i\right) \left( x^{2}-i\right). $$
Os dois fatores, no entanto, contém coeficientes complexos. Para obter a decomposição com coeficientes reais podemos usar a raíz de \(i\):
$$i=w^{2}\Rightarrow w=\frac{1+i}{\sqrt{2}}.$$
Tomando o conjugado complexo de \(i=w^{2}\) obtemos \(-i=\bar{w}^{2}\) e reescrevemos o polinômio
$$
P\left( x\right) =\left( x^{2}-\bar{w}^{2}\right) \left( x^{2}-w^{2}\right)=\left( x+\bar{w}\right) \left( x-\bar{w}\right) \left( x+w\right) \left(x-w\right).
$$
Reagrupando os termos de forma conveniente temos
$$
\begin{array}{rl}
P\left(x\right) = & \left[ \left( x+w\right) \left( x+\bar{w}\right) \right] \left[ \left( x-w\right) \left( x-\bar{w}\right) \right] = \\
= & \left( x^{2}+\bar{w}x+wx+w\bar{w}\right) \left( x^{2}-wx-\bar{w}x+w\bar{w}\right).
\end{array}
$$
Usamos agora as seguintes propriedades
$$w+\bar{w}=2\text{Re}\,w=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$$
$$w\bar{w}=\left\vert w\right\vert ^{2}=\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}+\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right) ^{2}=1,$$
podemos completar o exercício:
$$P\left( x\right) =\left( x^{2}+\sqrt{2}x+1\right) \left( x^{2}-\sqrt{2}x+1\right).$$

11. Sendo \(w\) uma raíz \(n\)-ésima qualquer da unidade diferente de 1 (\(w=\sqrt{1},\;\;w\neq 1\)) então:

(a) \(1+w+w^{2}+\ldots +w^{n-1}=0.\) Escrevemos
$$ L=1+w+w^{2}+\ldots +w^{n-2}+w^{n-1} $$
$$ wL=w+w^{2}+\ldots +w^{n}=w+w^{2}+\ldots +w^{n-1}+1, $$
onde usamos \(w^{n}=1\). Observemos acima que \(wL=L\) donde
$$ wL-L = L\left(w-1\right) =0. $$
Como \(w\neq 1\) concluímos que \(L=0.\)

(b) \(1+2w+3w^{2}+\ldots + nw^{n-1}=\frac{n}{w-1}.\) Definimos
$$ S=1+2w+3w^{2}+\ldots +nw^{n-1}, $$
portanto
$$ wS=w+2w^{2}+3w^{3}+\ldots +nw^{n}=w+2w^{2}+3w^{3}+\ldots +n. $$
Dai
$$ S \left( 1-w\right) =1+w+w^{2}+\ldots + w^{n-1}-n. $$
Usando o resultado do ítem anterior \(1+w+w^{2}+\ldots + w^{n-1}=0\) e
$$ S=\frac{n}{w-1}.$$

(13a) \(\exp \left( 3+7\pi i\right) =e^{3}e^{7\pi i}=-e^{3}.\) Observe que \(e^{7\pi i}=e^{6\pi i}e^{\pi i}=\) \(-1.\)

(14h) Buscamos conjunto no plano complexo satisfazendo \(\text{Re}\left(1-z\right) =\left\vert z\right\vert .\) Escrevendo em forma cartesiana
$$ z=x+iy, z-1=x-1+iy. $$
Sua parte real é
$$ \text{Re}\left(1-z\right) =x-1 \;\; \text{ e } \text{Re}\left(1-z\right) =\left\vert z\right\vert \Rightarrow x-1=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. $$
Elevando os dois lados ao quadrado temos
$$ x^{2}+y^{2}=\left( x-1\right) ^{2}=1-2x+x^{2} $$
que é a parábola
$$ x=\frac{1}{2}\left( 1-y^{2}\right). $$

Variáveis Complexas

Variáveis Complexas

Nestas notas apresentamos o estudo das variáveis complexas e algumas aplicações, incluindo alguns exercícios resolvidos e exercícios propostos. O resumo não é completo mas procura esclarecer apenas os aspectos da mais importantes da teoria. A leitura dos exercícios resolvidos e a solução dos exercícios propostos é essencial para a plena compreensão do assunto.

Números complexos, variáveis complexas e funções destas variáveis formam um parte da matemática extremamente importante devido à grande quantidade de suas aplicações e porque lançam um entendimento fundamental sobre a base da matemática e sobre o cálculo.

História das Variáveis Complexas

As equações do segundo grau apareceram na Matemática aproximadamente 1700 anos antes de Cristo e se encontram registradas nas tabuletas de argila da Suméria. Em alguns casos elas levavam a raízes de números negativos que, em geral, eram descartadas. O primeiro exemplo de raiz de número negativo foi encontrado em um texto atribuído a Heron de Alexandria, aproximadamente 75 d.C., em um cálculo sobre o desenho de uma pirâmide onde surge a necessidade de se calcular a raiz \(\sqrt{84-100}\). Heron, no entanto, simplesmente substituiu este número por \(\sqrt{100-84}\).

Em torno do ano de 275 d.C. Diofanto de Alexandria, resolvendo um problema geométrico, chegou à equação do segundo grau
$$
24x^2-172x+366=0
$$
cujas raízes são \(x=(\pm 43\sqrt{-167})/12\). Diofanto, no entanto, prosseguiu sem dar maiores explicações sobre o significado da raiz de um número negativo. Por volta de 850 d.C. o matemático indiano Mahavira afirmou que … como na natureza das coisas um negativo não é um quadrado ele não tem, portanto, raiz quadrada. Deve-se a Bhaskara, que viveu aproximadamente de 1114 até 1185, a afirmação: O quadrado de um afirmativo é um afirmativo; e a raiz quadrada de um afirmativo é dupla: positiva e negativa. Não há raiz quadrada de um negativo pois ele não é um quadrado.

Um grande impulso para a descoberta e aprimoramento dos números complexos se deu no início do século XVI quando os algebristas italianos reconheceram a necessidade da adoção de raízes imaginárias, na época também chamadas de raízes impossíveis, para a solução de equações do terceiro grau dos seguintes tipos:
$$
x^{3}+ax=b,\;\; x^{3}=ax+b \;\;\text{ e }\;\; x^{3}+b=ax.
$$
Também as equações do segundo grau apresentavam desafios. Luca Paccioli (1445 – 1514) observou em uma publicação datada de 1494 que a equação \(x^2+c=bx\) é solúvel se \(b^2 \geq 4c\) enquanto o francês Nicola Chuquet (1445 – 1500) fez observações semelhantes sobre soluções impossíveis em uma publicação de 1484.

Em 1545 Gerônimo Cardano publicou uma fórmula para resolver equações do terceiro grau que ficou conhecida como Fórmula de Cardano embora se saiba que foi Tartaglia quem sugeriu a ele a solução para estas equações. Em seu livro Ars Magna Cardano apresentou o que se considera ser a primeira publicação do conceito de número complexo. Cardano fez a seguinte pergunta: Se alguém pede que você divida 10 em duas partes, que multiplicadas resultariam em 30 ou 40, é evidente que este problema não tem solução. Em seguida ele faz um comentário surpreendente: No entanto, resolveremos isto da seguinte maneira, … e prossegue encontrando as raízes \(5+\sqrt{-15}\) e \(5-\sqrt{-15}\) cuja soma é \(10.\) Neste ponto ele afirmou que, … colocando de lado a tortura mental envolvida, multiplicando as duas raízes temos 25 — (–15). Portanto o produto é 40. Apesar das descobertas de Cardano mais de dois séculos se passaram até que os números complexos fossem aceitos como entidades matemáticas legítimas. Durante este intervalo muitos autores se recusaram a usar tais estranhas entidades.

Em 1572 Raphael Bombelli publicou um livro sobre o mesmo tema onde estudava as raízes da equação \(x^{3}=15x+4,\) usando a fórmula de Cardano. Ele mostrou que esta equação, além de possuir uma raiz real \(x=4,\) também admite uma raiz na forma de
$$
x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}
$$
que ele, assim como fez Cardano, chamou de um sofisma. Acredita-se que esta foi a primeira vez em que surgiu uma equação que admitia como solução um termo envolvendo raízes de números negativos, embora existisse também uma solução real. Motivado por este fato Bombelli procurou compreender melhor o que estava se passando, embora enfrentando grandes dificuldades, em particular devido a não possuir uma notação adequada. A partir do trabalho de Bombelli os números complexos passaram a ser usados como instrumentos auxiliares de cálculo, mesmo que se duvidasse de sua existência.

A primeira tentativa para atribuir um significado concreto aos números complexos por meio de uma interpretação geométrica é devida a John Wallis (1616 – 1703) em um trabalho onde se fazia analogias entre quantidades imaginárias e quantidades negativas, em seu livro De Algebra Tractatus.

Em 1702 Jean Bernoulli afirmou que um número e seu oposto (\(a\) e \(-a\) ) tem o mesmo logaritmo. Esse fato intrigou os matemáticos do início do século XVIII que não sabiam como atribuir um valor ao logaritmo de um número negativo. Coube a Euler explicar a questão em 1747, em uma carta dirigida a d’Alembert. Foi Euler quem empregou pela primeira vez a notação \(i=\) \(\sqrt{-1},\) embora o símbolo \(\sqrt{-1}\) já tivesse sido usado Albert Girard em 1629.

No século XVII Descartes percebeu a distinção entre raízes reais e imaginárias embora os principais progressos no estabelecimento da disciplina só foram obtidos no século XVIII, através dos trabalhos de Abraham de Moivre e Euler. Em 1707 de Moivre publicou a solução da equação de grau ímpar por um método análogo ao de Cardano. De Moivre publicou a fórmula que leva seu nome,
$$
(\cos \theta +i\text{sen }\theta )^{n}=\cos (n\theta )+i\text{sen }(n\theta ),
$$
em 1722, inicialmente apenas para alguns valores particulares do argumento \(\theta\). Em 1748 Euler mostrou que a fórmula está correta para qualquer valor do argumento, permitindo com isto o cálculo de raízes de números complexos. Neste período começou a se consolidar a representação geométrica para os complexos, o que facilitou muito a sua aceitação por parte dos matemáticos da época e fez com que muitos deles se dedicassem a este tema e contribuíssem para este campo da matemática.

No século XVIII Kuhn e Caspar Wessel apresentaram novos progressos na direção da teoria atualmente conhecida. Os escritos de Wessel foram publicados nos Anais da Academia de Copenhagen de 1799, sendo um texto extremamente claro e completo, mesmo em comparação com as obras modernas. Ele também considerou a esfera e apresentou uma teoria dos quatérnions a partir da qual desenvolveu um tratamento completo da trigonometria esférica. Em seu texto Wessel apresentou a representação geométrica para os complexos que usamos até os dias de hoje. Seu objetivo, além de justificar os complexos, era o de representar direções de forma analítica. Apesar de ter sido bem sucedido na representação geométrica dos complexos, de definir as operações de soma, subtração, multiplicação e divisão deste números, o artigo estava escrita em dinamarquês e não teve ampla divulgação nem se tornou conhecido dos matemáticos da época.

Em 1804 o abade Buée apresentou independentemente o mesmo conceito sugerido por Wallis, de que \(\sqrt{-1}\) deveria ser representado em uma reta perpendicular ao eixo real. O artigo de Buée só foi publicado em 1806, no mesmo ano em Argand produziu um panfleto sobre o mesmo assunto. O trabalho de Argand foi reconhecido como o introdutor da representação geométrica e deu origem ao termo hoje usado, plano de Argand, para representar o plano complexo.

Euler foi o primeiro a usar, em 1777, o símbolo \(i\) como a unidade imaginária, \(i=\sqrt{-1}.\) Ele observou que \(ii=-1\) o que leva à \(1/i=-i\). O símbolo, no entanto, só apareceu em uma publicação no ano de 1794 em seu livro Institutionum Calculi Integralis e só foi amplamente divulgado se tornou de uso comum quando Gauss o adotou em 1801. Embora os termos real e imaginário já tivessem sido usados René Descartes em 1637, a expressão número complexo só foi introduzida por Gauss em 1832.

Quando Gauss se interessou pela teoria dos complexos, em 1831, ele a considerou bastante incompleta e trabalhou para aperfeiçoá-la e difundi-la entre os matemáticos da época. Gauss estava interessado em descobrir as propriedades geométricas de quantidades complexas. Assim como Wessel, ele procurava entidades análogas aos complexos que pudessem ser usadas na descrição de direções no espaço tri-dimensional.

A formalização completa dos números complexos como pares ordenados de números reais foi desenvolvida em 1833 por Hamilton e em 1847 por Cauchy. Também se deve mencionar que os esforços de Cauchy e Abel foram importantes para que a teoria fosse amplamente aceita e utilizada. Vários outros matemáticos fizeram contribuições importantes: Kummer (1844), Kronecker (1845), Scheffler (1845, 1851, 1880), Bellavitis (1835, 1852), Peacock (1845), e De Morgan (1849). Também se deve lembrar os artigos de Möbius sobre aplicações geométricas dos complexos, e Dirichlet pela expansão da teoria para envolver os primos, congruências ou reciprocidade, entre outros aspectos estudados.

Além da familiar forma dos complexos, \(a+bi\), onde \(i\) é a raiz de \(x^{2}+1=0,\) outros estudos foram empreendidos. Eisenstein estudou números do tipo de \(a+bj\), onde \(j\) é a raiz complexa de \(x^{3}-1=0\). Uma generalização devida em grande parte a Kummer estuda as raízes complexas derivadas de \(x^{k}-1=0,\) onde \(k\) é um primo. Galois estudou números complexos baseadas nas raízes imaginárias de uma congruência irredutível \(F(x)\equiv 0 (\text{mod }p)\) onde \(p\) é primo. Estudos mais recentes da teoria, após o ano de 1884, foram realizados por Weierstrass, Schwarz, Dedekind, Hölder, Berloty, Poincaré, Study e Macfarlane.

A terminologia atualmente empregada na matemática em relação aos complexos é principalmente devida a seus fundadores. Argand chamava \(\cos \phi +i\text{sen }\phi \) de fator de direção, e \(r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) o módulo do complexo. Cauchy (1828) denominava \(\cos \phi +i\text{sen }\phi \) a forma reduzida l’expression réduite); Gauss usou \(i\) para denotar \(\sqrt{-1}\), introduziu a expressão número complexo para se referir ao número da forma \(a+bi\), com \(a\) e \(b\) reais, e chamou \(a^{2}+b^{2}\) de a norma. A expressão coeficiente de direção, ainda hoje utilizada, é devida a Hankel (1867), e valor absoluto, para módulo, é devida a Weierstrass.